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Warning: TT: undefined function: 32 UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y MECANICACARRERA DE INGENIERIA MECANICA SISTEMAS TERMICOS IIINOMBRES: NICOLAS GOYES FECHA:23 de mayo de 2020 CURSO: 7mo “A”TEMA: COEFICIENTE DE CONDUCTIVIDAD TERMICA "퐾" VARIABLE.INTRODUC...

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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y MECANICA CARRERA DE INGENIERIA MECANICA SISTEMAS TERMICOS III

NOMBRES: NICOLAS GOYES CURSO: 7mo “A”

FECHA:23 de mayo de 2020

TEMA: COEFICIENTE DE CONDUCTIVIDAD TERMICA "𝐾" VARIABLE.

INTRODUCCION. La presente consulta tratará acerca de la conductividad térmica de los materiales, recordando que dicho valor es inherente a cada tipo de material, por lo tanto ya sea: madera, hierro, acero, plástico, resinas, etc, tendrán un coeficiente de conductividad térmica diferente durante el curso de Sistemas térmicos III hemos denotado dicho valor con el símbolo 𝑘. En esta consulta a parte de realizar un breve recuento de lo que es la conductividad térmica. Si bien durante los ejercicios que hemos resulto en clases hemos tomado un coeficiente 𝑘 como una constante ya que la conductividad térmica si varia a medida que la temperatura cambia, pero este cambio en la mayoría de los materiales es moderado así que se lo puede descartar y usar un valor promedio como lo hemos venido haciendo en los ejercicios propuestos en clases. Como primer punto en la consulta trataremos brevemente la definición de lo que es la conductividad termina para posteriormente enfocarnos en el procedimiento que se debe tomar en el caso de que la variación de la conductividad térmica con la temperatura, en un intervalo de temperaturas es grande, y ese será nuestro objetivo a cumplir en este trabajo investigativo.

DESARROLLO. Como primero punto pongámonos a pensar en una situación común, un día frio de invierno en nuestras casas, si usted es observador habrá notado que el piso del baño se siente más frio que la alfombra o un mueble de madera es interesante pensar debido a que sucede este fenómeno ya que al estar dentro de la casa ambos elementos se encuentran a la misma temperatura. Ahora el hecho de que cada material transfiere el calor a distintas tasas es por lo cual experimentamos dicha sensación, El piso del baño por su constitución ya sea piedra, conducen considerable más rápido el calor que las alfombras y las telas, asimismo que se sienten más fríos en invierno puesto que transfieren el calor hacia fuera de nuestro pie a mayor rapidez de lo que lo hacen las alfombras u maderas. Para generalizar un poco podemos expresar que los materiales que son buenos conductores de electricidad también lo son para conducir calor como, por ejemplo: aluminio, cobre, plata y oro. Asimismo, materiales aislantes son malos conductores de calor (madera, plástico).

Figura 1 las moléculas en dos cuerpos con diferente temperatura poseen distintas energías cinéticas promedio. Las colisiones que ocurren en la superficie de contacto transfieren energía de las regiones de alta temperatura a las de baja temperatura.

ECUACION QUE DESCRIBE LA TASA DE CONDUCCION DE CALOR. Hay cuatro factores (𝑘, 𝐴, ∆𝑇, 𝑑) que influyen en la tasa la cual un material conduce calor. Estos se incluyen en la ecuación de abajo, que se dedujo y confirmó mediante la experimentación: 𝑄 𝑘 𝐴∆𝑇 = 𝑡 𝑑

Figura 2 la conducción de calor ocurre a través de cualquier material, representado aquí por una barra rectangular, sea una ventana de vidrio o la grasa de una morsa.

DEFINICION DE CONDUCTIVIDAD TERMICA. “Caracteriza la cantidad de calor necesario por m2, para que, atravesando durante la unidad de tiempo, 1 m de material homogéneo obtenga una diferencia de 1 °C de temperatura entre las dos caras. Es una propiedad intrínseca de cada material y se mide en W/(K∙m)” [1].

Figura 3 Conductividad térmicas de algunos materiales.

CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE 𝑘(𝑇 ). Recordaremos que en muchos de los casos la constante 𝑘 varia a medida que incremente o disminuya la temperatura, dicha variación es moderada en muchos de los casos por lo que se utiliza un valor promedio para la conductividad y se la considera constante. Sin embargo, “cuando la variación de la conductividad térmica con la temperatura, en un intervalo específico de temperaturas es grande, puede ser necesario tomar en cuenta esta variación para minimizar el error” [2].

Figura 4 “Variación de la conductividad térmica de algunos sólidos con la temperatura” [2].

En usual, al percibir en cuenta la alteración de la conductividad térmica con la temperatura se complica el estudio. Pero cuando se trata de casos simples unidimensionales, se pueden obtener relaciones de transferencia de calor de proceder directa. Cuando se conoce la variación de la conductividad térmica con la temperatura, 𝑘(𝑇 ), se puede determinar el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas entre 𝑇1 𝑦 𝑇2 , a partir de: 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 =

𝑇

2 ∫𝑇 𝑘(𝑇)𝑑𝑇 1

𝑇2 − 𝑇1

“Esta relación se basa en el requisito de que la razón de la transferencia de calor a través de un medio con conductividad térmica promedio constante 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 es igual a la razón de transferencia a través del mismo medio con conductividad variable 𝑘(𝑇 ). Note que en el caso de conductividad térmica constante 𝑘(𝑇 ) = 𝑘 , la ecuación que describimos en anteriormente se reduce a 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑘, como era de esperarse. Entonces se puede determinar la razón de la transferencia de calor en operación estacionaria a través de una pared plana, una capa cilíndrica o una capa esférica, para el caso de conductividad térmica variable, si se reemplaza la conductividad térmica constante 𝑘 de las ecuaciones que las hemos estado utilizando para resolver ejercicios, por la expresión (o valor) de 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 ” [2].

𝑄𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎󰇗 = 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐴 󰇗 𝑄𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐿

𝑄󰇗𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑟1 𝑟2

𝑇1 − 𝑇2 𝐿

𝑇1

𝐴 ∫ 𝑘(𝑇 )𝑑𝑇 = 𝐿 𝑇2

𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 2𝜋𝐿 ∫ 𝑘(𝑇 )𝑑𝑇 𝑟 𝑟 = ln ( 2 ) 𝑇2 ln ( 2) 𝑟1 𝑟1

4𝜋𝑟1 𝑟2 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 = ∫ 𝑘(𝑇 )𝑑𝑇 𝑟2 − 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 𝑇2

Con frecuencia nosotros tendremos la facultad de aproximar la variación en la conductividad térmica de un material con la temperatura, en el intervalo de interés, como una función lineal la cual la expresaremos como: 𝑘(𝑇 ) = 𝑘0 (1 + 𝛽𝑇)

En donde 𝛽 lo denominaremos como “coeficiente de temperatura de la conductividad térmica”. En este apartado, el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas 𝑇1 , 𝑇2 se puede determinar a partir de:

𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 =

𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚

𝑇2

∫𝑇1 𝑘0 (1 + 𝛽𝑇)𝑑𝑇

𝑇2 − 𝑇1 𝑇2 + 𝑇1 = 𝑘0 (1 + 𝛽 ) = 𝑘(𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 ) 2

Figura 5 “Variación de la temperatura en una pared plana durante la conducción unidimensional de calor en estado estacionario, para los casos de conductividad térmica constante y variable” [2].

“Note que, en este asunto, la conductividad térmica media es igual al valor de la conductividad térmica en la temperatura promedio. Se mencionó con anterioridad que, en un muro plano, la temperatura varía linealmente mientras la conducción unidimensional de calor en estado estacionario cuando la conductividad térmica es constante. Pero éste ya no es el caso cuando la conductividad térmica cambia con la temperatura, incluso linealmente, como se modelo en la figura 5” [2]. Para poder llegar un a un mejor entendimiento de lo que hemos expuesto hasta ahora se procederá a efectuar un ejemplo analítico con el fin de utilizar ecuaciones y conceptos descritos con anterioridad en este trabajo investigativo: Ejemplo 1. Conducción de calor a través de una pared con 𝑘(𝑇 ).

“Consideremos una placa de bronce de 2 𝑚 de alto y 0.7 𝑚 de ancho cuyo espesor tiene un valor de 0.1 𝑚.Uno de los lados de la placa se mantiene a una temperatura constante de 600 𝐾, en tanto que el otro lado se mantiene a una temperatura de 400 𝐾, como muestra la figura ilustrativa a continuación, podemos suponer que la conductividad térmica de la mencionada placa de bronce varia linealmente en ese rango de temperaturas como 𝑊 𝑘(𝑇 ) = 𝑘0 (1 + 𝛽𝑇), en donde 𝑘0 = 38 ∗ 𝐾 𝑦 𝛽 = 9.21 ∗ 10−4 𝐾 −1 . Si descartamos los 𝑚

efectos de los bordes y se supone transferencia unidimensional de calor a través de la placa ” [2].

Ilustración 1 Esquema del ejemplo 1.

La placa con conductividad variable está sujeta a temperaturas especificas en ambos lados. Se debe determinar la razón de la transferencia de calor. Debemos considerar algunas suposiciones previo a realizar el cálculo: 1. La transferencia de calor es estacionario y unidimensional. 2. La conductividad térmica varia linealmente. 3. No hay generación de calor. Dado que la conductividad térmica es de 𝑘(𝑇 ) = 𝑘0 (1 + 𝛽𝑇).

Para este caso, la conductividad térmica promedio del medio es simplemente el valor a la temperatura promedio y se determina a partir de: 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑘0 (1 + 𝛽

𝑇2 + 𝑇1 ) = 𝑘(𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 ) 2

(600 + 400)𝐾 𝑊 ) ∗ 𝐾) (1 + (9.21 ∗ 10−4 𝐾 −1 ) 2 𝑚 𝑊 ∴ 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 = 55.5 𝐾 𝑚 Por consiguiente, podemos determinar el valor de la razón de la conducción de calor a través de la placa mediante las ecuaciones que hemos estado utilizando a lo largo de este curso: ∴ 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 = (38

𝑇1 − 𝑇2 𝐿 (600 − 400)𝐾 𝑊 ∴ 𝑄󰇗 = ( 55.5 𝐾) (2 𝑚 ∗ 0.7 𝑚) 𝑚 0.1 𝑚 ∴ 𝑄󰇗 = 155 𝑘𝑊

𝑄󰇗 = 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐴

CONCLUSIONES: Mediante el presente trabajo de investigación se llevó a cabo una breve explicación de los conceptos básicos como: Conductividad térmica, una tabla exponiendo algunas constantes de materiales, así mismo como un ejemplo cotidiano para darnos cuenta del fenómeno de la transferencia de calor, con el fin comprender que este fenómeno se presenta día a día en nuestras vidas.  Se alcanzó la meta planteada de analizar la conductividad térmica cuando esta varia a medida que a la temperatura cambia, llegando a la conclusión de usar una función lineal, inclusive se realizó un ejemplo de cálculo con el fin de llegar a una mejor compresión de los fenómenos físicos que ocurren en estos casos de análisis.



RECOMENDACIONES: 

El tema expuesto requiere de previos conocimientos como: ecuaciones diferenciales, termodinámica, por tal motivo es bueno primero darse un repaso de estos temas con el fin de facilitar el análisis porque sin estos conocimientos puede tornarse un tanto confuso.

Bibliografía [1] tecnol, «tecnol,» 12 07 2015. [En línea]. Available: https://www.tecnol.es/diccionario-tecnico/. [Último acceso: 24 05 2020]. [2] A. J. G. YUNUS A. ÇENGEL, TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA., Mexico: McGraw-Hill, 2004....