3. Guía de estudio -Operaciones con vectores 3f1e61005 d6c0b4e15cdd830303 d2586 PDF

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matemática
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Material Teórico Adicional 3: Operaciones con Vectores

OPERACIONES CON VECTORES SUMA

PRODUCTO POR ESCALAR

DEFINICIÓN

ℝ2 𝑜ℝ3

Sean 𝑢, 𝑣 ∈ . Sean 𝑢 ∈ ≠ 0, 𝑘 ∈ ℝ,𝑘 ≠ 0. · ‖𝑘𝑢‖ = |𝑘|‖𝑢‖ Si en un punto cualquiera 𝐴 se dibuja un · 𝑘𝑢 ∥ 𝑢 representante, 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐵 , de 𝑢, y en el punto 𝐵 se · Si 𝑘 > 0; 𝑢 y 𝑘𝑢 tienen 󰇍󰇍 󰇍 󰇍󰇍 dibuja un representante, 𝐵𝐶 , de 𝑣; entonces 𝑘𝑢 igual sentido. 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 representa al único el segmento dirigido 𝐴𝐶 Si 𝑘 < 0; 𝑢 y 𝑘𝑢 tienen vector 𝑢 + 𝑣, llamado suma de 𝑢 y 𝑣. { sentidos opuestos Si 𝑢 = 0 𝑜 𝑘 = 0 ⟹ 𝑘𝑢 = 0

𝑢

A

CÁLLCULO

ℝ2 :

PROPIEDADES

PRODUCTO PUNTO

B

𝑢+𝑣

ℝ𝑛 ,𝑢

Sean 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ𝑛 , 𝜃 = 𝑎𝑛𝑔(𝑢, 𝑣) ‖𝑢‖‖𝑣‖ cos 𝜃, si 𝑢. 𝑣 = { 𝑢 ≠ 0 y 𝑣 ≠ 0 0 si 𝑢 = 0 o 𝑣 = 0

PROD. VECTORIAL ℝ3 .

Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑢×𝑣= (𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 , 𝑢3 𝑣1 − 𝑢1 𝑣3 , 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 )

PROD. TRIPLE

Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ3 (𝑢𝑥𝑣). 𝑤 es el producto triple de 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 .

𝑣

C

En Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 ); 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 ). 𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 ) En ℝ3 : Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ); 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ). 𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , 𝑢3 + 𝑣3 ). Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ𝑛 1) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 ) = (𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 3) 𝑢 + 0 = 𝑢 0: vector nulo; es el elem. neutro 4) 𝑢 + (−𝑢) = 0

𝑢1 𝑢2 𝑢3 En ℝ2 : ]3 [ 𝑣1 𝑣2 𝑣 Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 ); 𝑣 = . . . (𝑣1 , 𝑣2 ). 𝑢. 𝑣 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 𝑢 × 𝑣 = (𝐶31 , 𝐶32 , 𝐶33) En ℝ3 : Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ); 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ). 𝑢. 𝑣 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + +𝑢3 𝑣3 Con deducción Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ𝑛 , 𝑘 ∈ ℝ Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ3 , 𝑘 ∈ ℝ 1) 𝑢𝑥(𝑣𝑥𝑤 ) = (𝑢𝑥𝑣)𝑥𝑤 1) 𝑢. 𝑣 = 𝑣. 𝑢 2) 𝑢. (𝑣 + 𝑤 ) = 𝑢. 𝑣 + 2) 𝑢𝑥(𝑣 + 𝑤 ) = 𝑢𝑥𝑣 + +𝑢. 𝑤 +𝑢𝑥𝑤 (𝑢 + 𝑣)𝑥𝑤 = 𝑢𝑥𝑤 + 3) 𝑘(𝑢. 𝑣) = (𝑘𝑢). 𝑣 = 𝑢. (𝑘𝑣) +𝑣𝑥𝑤 3) 𝑘(𝑢𝑥𝑣 ) = (𝑘𝑢)𝑥𝑣 = 4) 𝑢. 𝑢 ≥ 0 y 𝑢. 𝑢 = 0 ⇔ 𝑢𝑥(𝑘𝑣) 𝑢=0

En ℝ2 : Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 ); 𝑘 ∈ ℝ. 𝑘𝑢 = (𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 ) En ℝ3 : Sean 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ); 𝑘 ∈ ℝ. 𝑘𝑢 = (𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , 𝑘𝑢3 ). Sean 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ𝑛 , 𝑘, 𝑘´ ∈ ℝ 1) 𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣 (𝑘 + 𝑘´)𝑢 = 𝑘𝑢 + 𝑘´𝑢 2) 3) 𝑘(𝑘´𝑢) = 𝑘´(𝑘𝑢) = (𝑘´𝑘)𝑢 4) 1𝑢 = 𝑢

1

𝑢1 𝐷 [ 𝑣1 𝑤1

𝑢2 𝑣2 𝑤2

= (𝑢𝑥𝑣). 𝑤

𝑢3 𝑣3 ] = 𝑤3

Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ3 1) (𝑢𝑥𝑣 ). 𝑤 = 𝑢. (𝑣𝑥𝑤 ) se puede escribir: 𝑢𝑣𝑤 2) 𝑢𝑣𝑤 = 𝑣𝑤𝑢 = 𝑤𝑢𝑣; 𝑢𝑤𝑣 = 𝑣𝑢𝑤 = 𝑤𝑣𝑢 𝑢𝑣𝑤 = −𝑢𝑤𝑣

Material Teórico Adicional 3: Operaciones con Vectores Sean 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ𝑛 𝑢 ∥ 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑘𝑣 para algún 𝑘 ∈ ℝ

1)Módulo de un vector: ‖𝑢‖ = √𝑢. 𝑢 2) Distancia entre dos puntos: 𝑑(𝑃, 𝑄 ) = = ‖𝑃 − 𝑄‖ = = √(𝑃 − 𝑄). (𝑃 − 𝑄)

3)Ángulo entre vectores: 𝑢.𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ‖𝑢‖‖𝑣‖

APLICACIONES

Sean1𝑃, 𝑄 ∈ ℝ𝑛 𝐶 = (𝑃 + 𝑄) 2 Punto medio entre 𝑃 𝑦 𝑄.

4) Ortogonalidad: 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢. 𝑣 = 0 5) Vector unitario de un vector 𝒗: 1 𝑢=± 𝑣 ‖𝑣‖ 6)Descomposición de un vector en dos direcciones perpendiculares: 𝑢.𝑣 𝑢1 = 𝑣; 𝑢2 = 𝑢 − 𝑢1 𝑣.𝑣 Con deducción

2

Área de un paralelogramo Volumen de un (o de un triángulo): paralelepípedo (o de un tetraedro): A = uxv 𝑉 = |𝑢𝑣𝑤 | 1 1 𝐴𝑡 = ‖𝑢𝑥𝑣‖ 𝑉𝑡 = |𝑢𝑣𝑤 | 2 6...