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Apuntes de la UNED...

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Soluciones a las cuestiones y ejercicios Modelo de Barro (puede haber preguntas relativas a otros temas anteriores)

1. Considere la función de producción con la que se ha trabajado en el tema. ¿Cómo es la productividad marginal del capital privado? ¿Puede responder a la pregunta sin necesidad de operar? La función de producción es

Y = AK  g 1-

0 <  < 1 (1)

Para saber cómo es la productividad marginal del capital privado podríamos examinar el signo de la segunda derivada de la función de producción con respecto a K, como hemos hecho en ejercicios anteriores. Obtendríamos que la segunda derivada es negativa, y por tanto concluiríamos que la productividad marginal del capital privado es decreciente (véase, por ejemplo, ejercicio 1 de los propuestos para el tema 2). No obstante, es posible contestar la pregunta sin necesidad de operar: puesto que 0 <  < 1, deducimos que la productividad marginal del capital privado es decreciente. Comentario: en caso de duda sobre el signo siempre es mejor realizar el álgebra y asegurarse. Cuando ya se tiene familiaridad con este tipo de modelos, sin embargo, resulta útil recurrir a trucos como este. Ahorra tiempo y permite comprender más rápidamente las ideas que se transmiten en un seminario, una conferencia o un artículo. 2. ¿Cómo es la productividad marginal del capital público? ¿Puede responder a la pregunta sin necesidad de operar? Aplicando el mismo argumento que en el problema anterior, 0 <  < 1, podemos deducir que la productividad marginal del capital público es también decreciente. Comentario: la función de producción presenta productividad marginal decreciente en cada input. 3. ¿Cómo es la productividad marginal de un concepto amplio de capital formado por capital público y capital privado? ¿Puede responder a la pregunta sin necesidad de realizar demasiadas operaciones? La productividad marginal de un concepto amplio de capital formado por capital público y capital privado es no decreciente. Si sumamos los exponentes de ambos inputs obtenemos: +1–=1 La función de producción presenta rendimientos constantes a escala en capital privado y capital público (o, en términos matemáticos, es homogénea de grado 1 en capital público y privado). Este es el rasgo fundamental que permite la existencia de crecimiento endógeno en el modelo.

El crecimiento no decae porque la productividad marginal del concepto amplio de capital no disminuye conforme aumenta la cantidad de este en la economía. Repetimos aquí el comentario realizado a la pregunta 1. 4. ¿Puede aportar algún ejemplo reciente que ilustre lo que ha respondido en la primera parte de la pregunta 2? Queremos ilustrar el hecho de que la productividad marginal del capital público es decreciente: sucesivas unidades de capital público aportan cada vez menos a la producción. En general, el capital público aporta eficiencia a la economía porque su uso permite ahorrar tiempo y dinero a los ciudadanos. Ahora bien, si una infraestructura se usa poco (porque existen alternativas) el ahorro que genera será pequeño y su impacto sobre el producto (medido como la derivada de Y con respecto a esa infraestructura) será débil. Observamos que algunas autopistas radiales cercanas a Madrid soportan muy poco tráfico. Eso quiere decir que su grado de utilización es escaso. La productividad marginal de esas autopistas es pequeña con respecto a la que presentan otras autopistas o carreteras que gozan de un tráfico mucho mayor. Podemos inferir, por poner un caso, que la productividad marginal de las primeras autopistas construidas para acceder al aeropuerto de Barajas es alta, mientras que la de otras más recientes (como la R2) es baja. Si se siguieran construyendo autopistas que conectasen Madrid y Barajas, podría llegarse (hipotéticamente) a un caso en el que la productividad marginal de la enésima autopista fuera prácticamente cero. Comentario 1. Que la productividad marginal sea decreciente no quiere decir que sea cero. En la función de producción que manejamos hemos visto que la productividad marginal del capital público es positiva, aunque cada vez menor. Siempre o casi siempre existirán ciudadanos que ahorran tiempo y/o dinero al emplear algunas infraestructuras. ¿Cuál es el problema, entonces? El problema es que si comparamos la aportación de esas infraestructuras con su coste, vemos que el segundo puede exceder exceder a la primera, lo que sugeriría que los recursos empleados en su construcción podrían haberse utilizado de modo más ventajoso para los ciudadanos en usos alternativos. Comentario 2. En la práctica es posible que se diseñen y ejecuten infraestructuras que luego se infrautilizan debido a un cálculo incorrecto de la demanda. Es posible que, cuando se proyectaron las radiales, se realizara un análisis de los proyectos usando un VAN (o una Tir) que estimaba un exceso de ingresos esperados, fruto a la vez de suponer una demanda excesivamente optimista. El error de sobredimensionar la demanda esperada es muy común y no ocurre solo en las decisiones públicas; sucede también en algunas empresas privadas que experimentan un proceso de crecimiento. Al considerar futuras inversiones, pueden confeccionar planes de negocio excesivamente optimistas fruto, en parte, de una estimación también excesivamente optimista de la demanda futura del bien o servicio que suministran. Si, además, la expansión se cubre con financiación ajena y no con recursos propios, el riesgo aumenta exponencialmente. Al realizar un análisis de este tipo, ya sea para tomar decisiones en el sector público o en el privado, es importante trabajar con escenarios no solo optimistas sino también pesimistas, y ver si el VAN del proyecto sigue saliendo positivo incluso en los escenarios más conservadores o pesimistas. Siempre existirá el riesgo del sobredimensionamiento de la demanda porque la economía no es una ciencia exacta pero, en la medida en que se considera un mayor número de

escenarios y posibilidades, el riesgo de cometer un error (que puede poner en juego la supervivencia de la empresa, como muestra la historia reciente) disminuye.

5. Suponga que le encargan un análisis sobre el impacto de la infraestructura en el crecimiento de un grupo de países más o menos homogéneos. Estima el siguiente modelo: 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑷𝑰𝑩𝒊,𝒕 = ∝𝒊 + 𝜷𝟎 𝒑𝒓𝒐𝒙𝒚 𝒊𝒏𝒇𝒓𝒂𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒂𝒊,𝒕 + 𝜷𝟏 𝑿𝒊,𝒕 + 𝜺𝒊,𝒕 Donde i son países y t tiempo.  es el término de error. Sus resultados indican que:  = 0.03 𝜷

De acuerdo con el estadístico t correspondiente a , el parámetro es significativo desde el punto de vista estadístico al 99%. ¿Qué conclusiones obtiene del estudio? Los datos empleados sugieren que el impacto de la infraestructura en el crecimiento de los países de la muestra es positivo. Puesto que el estadístico t correspondiente a  es significativo, se puede rechazar la hipótesis de que el impacto de la infraestructura es 0. Más bien el estudio sugiere una correlación positiva entre infraestructura y crecimiento. Comentario: en un análisis como el descrito podemos hablar de correlación pero no de causalidad; es verosímil suponer que la infraestructura impacta positivamente en el crecimiento pero no podemos descartar lo contrario, es decir, que el crecimiento de lugar a una mayor infraestructura. En otras palabras, la infraestructura puede ser endógena. Para depurar el análisis y establecer causalidades sería necesario refinarlo con técnicas apropiadas (por ejemplo, usando variables instrumentales). 6. ¿Cuál sería la conclusión si el resultado es el siguiente?  𝜷 = - 0.03 De acuerdo con el estadístico t correspondiente a , el parámetro no es significativo desde el punto de vista estadístico a los niveles convencionales. A primera vista los resultados parecen indicar que el impacto de la infraestructura en el crecimiento es negativo, lo que resulta sorprendente. Pero el estadístico t sugiere que la estimación del parámetro se ha realizado de forma poco precisa (probablemente con un elevado error típico), de modo que no se puede rechazar la hipótesis de que el impacto sea nulo. A su vez, esto último puede deberse a una mala calidad de los datos, o a que las infraestructuras de que se trate realicen una aportación al crecimiento tan pequeña que no se puede medir de forma empírica, o a la endogeneidad de esta última. Si este resultado se está comentando en un trabajo de investigación, se podría decir algo así como:

El análisis de los datos no encuentra evidencia a favor de un impacto positivo de la infraestructura en el crecimiento de los países de la muestra. Evidentemente, sería erróneo concluir de nuestro trabajo que la infraestructura no influye en ningún caso en el crecimiento. Hay que poner el resultado en contexto y evitar extrapolaciones demasiado aventuradas. 7. Usted es el Presidente del país A. El Consejero de Fomento propone un conjunto de medidas que tienen por objeto llevar a cabo grandes inversiones de infraestructura en los próximos ejercicios para estimular el crecimiento. El tipo impositivo en el país es bajo. ¿Está de acuerdo a priori con el Consejero de Fomento? Si el tipo impositivo es bajo es probable que el país A se encuentre en el tramo creciente de la curva que relaciona tipo impositivo y tasa de crecimiento. En este escenario un aumento del tipo impositivo originado por nuevas inversiones en infraestructura da lugar a una tasa de crecimiento más alta, porque el impacto positivo de la nueva infraestructura es mayor que el posible impacto negativo en la inversión privada desencadenado por la subida de impuestos. Por eso la propuesta parece razonable. 8. Usted es el Presidente del país B. El Consejero de Fomento propone llevar a cabo grandes inversiones de infraestructura en los próximos ejercicios para estimular el crecimiento. El tipo impositivo en B es bastante elevado en relación con los países de su entorno. ¿Está de acuerdo a priori con el Consejero de Fomento? En este caso el escenario es diferente al anterior; probablemente el país B está en el tramo decreciente de la función que relaciona tipo impositivo y tasa de crecimiento. Si es así, y las inversiones en infraestructuras van a financiarse con más impuestos, el efecto crowding out o expulsión sobre la inversión privada será mayor que el efecto beneficioso de una mayor infraestructura, de modo que la tasa de crecimiento será menor. La propuesta se desaconseja. 9. Considere la función que relaciona tamaño del estado y tasa de crecimiento. ¿Cómo calcularía matemáticamente el tipo impositivo óptimo? La tasa de crecimiento como función de  es: 1 1−𝛼 𝐾󰇗 = 𝑠(1 − 𝜏)𝐴𝛼 𝜏 𝛼 − 𝛿 𝐾

El tipo impositivo óptimo es aquel que maximiza la tasa de crecimiento. Por lo tanto, para obtener el tipo impositivo óptimo es necesario derivar la expresión de la tasa de crecimiento con respecto a , igualar a 0 y despejar . Puesto que la función que relaciona tipo impositivo y tasa de crecimiento es cóncava (recordemos su gráfica), la condición necesaria de máximo es también suficiente. Dicho de otro modo, no es necesario verificar el signo de la derivada segunda (sí deberíamos hacerlo si no conocemos la forma de la función). Definamos la tasa de crecimiento de la economía como , de modo que 𝛾≡ Entonces

𝐾󰇗 𝐾

1 1−𝛼 𝛼

𝛾 = 𝑠(1 − 𝜏)𝐴𝛼 𝜏

− 𝛿 (1)

Derivando en (1) con respecto a t e igualando a cero, (ojo: es la derivada de un producto), 1 1−𝛼 𝛼

−𝑠𝐴𝛼 𝜏

1

+ 𝑠(1 − 𝜏)𝐴𝛼 (

1 − 𝛼 1−𝛼 −1 ) 𝜏 𝛼 𝜏 = 0 (2) 𝛼

Reordenando en (2), 1

𝑠(1 − 𝜏)𝐴𝛼 (

1 1−𝛼 1 − 𝛼 1−𝛼 −1 ) 𝜏 𝛼 𝜏 = 𝑠𝐴 𝛼 𝜏 𝛼 𝛼

Simplificando, (1 − 𝜏) (

1−𝛼 1 ) =1 𝛼 𝜏

(1 − 𝜏) (

1−𝛼 )= 𝜏 𝛼

Despejando  obtenemos que el tipo impositivo óptimo que maximiza la tasa de crecimiento, *, es 𝜏 ∗ = 1 − 𝛼 (3) La expresión (3) indica que el tipo impositivo óptimo coincide con la elasticidad del output con respecto al capital público, 1- (es el exponente de g en la función de producción, ver problema 1). Esta es la intuición: 





Si el capital público es muy productivo (y la elasticidad de Y con respecto a g es elevada), será óptimo para la economía tener un tipo impositivo más alto, que de lugar a mayores infraestructuras y por tanto a un tamaño del estado en el total de la economía mayor. Si el capital público es poco productivo, el tipo impositivo óptimo será menor, de modo que la economía destine más recursos a la inversión privada (nótese que la función de producción es homogénea de grado 1 en capital privado y capital público, es decir, una elasticidad de Y con respecto a g baja implica necesariamente una elasticidad de Y con respecto a K alta, ya que ambas suman 1) En el óptimo, la utilización de recursos por parte del estado  debe ser igual a la contribución porcentual del estado al output, 1- en este caso.

10. En estos días la prensa está anunciando que, previsiblemente, en el sector sanitario se llevarán a cabo fusiones y adquisiciones en el medio plazo. ¿Se le ocurre alguna justificación económica para este fenómeno a raíz de lo estudiado en los tres primeros temas del programa? El sector sanitario se caracteriza por un alto componente de inversión en I+D con objeto de disponer de las últimas técnicas y aparatos de diagnóstico. Además, y de modo análogo a lo que ocurre en otros sectores, está realizando un esfuerzo por adaptarse a los avances en Big Data, inteligencia artificial y otros campos relacionados, que pueden conllevar una mejora de la

calidad del servicio que prestan un gran aumento los hospitales y un aumento de la eficiencia en su gestión. Cada vez es más frecuente que los pacientes puedan descargar resultados de pruebas diagnósticas on line, por ejemplo. No obstante, se aprecia margen de mejora en muchas entidades hospitalarias. Esto sugiere que a corto y medio plazo el sector seguirá incurriendo en un notable gasto para adaptar sus procesos a las mejoras tecnológicas tanto médicas como de gestión. Este gasto, sobre todo el segundo, puede considerarse un gasto fijo para cada grupo sanitario, que debe repercutirse entre un número alto de productos o servicios. Este hecho sugeriría a priori que los grupos sanitarios privados tienen incentivos para crecer, por lo tanto desde el punto de vista económico el proceso de fusiones y adquisiciones estaría justificado. Ahora bien, para poder responder a la pregunta con más rigor necesitaríamos conocer cuál es la participación relativa del gasto en I+D en los gastos totales de un hospital. Si esta no es tan grande como se piensa en relación con determinados gastos variables (como por ejemplo los salarios del personal muy especializado), entonces no está garantizado que un tamaño mayor de lugar a una mayor eficiencia. Comentario: la disyuntiva crecer o no crecer se presenta a multitud de empresas o instituciones. Crecer es beneficioso si la tecnología que usa la empresa o institución presenta rendimientos crecientes; si no es así, crecer no conllevará necesariamente mayor eficiencia. Es un tema complejo, ampliamente estudiado y analizado en estrategia empresarial y consultoría, y al que solo quiero hacer aquí una referencia. 11. En general, en algunos ámbitos de los países desarrollados preocupa que las empresas alcancen un tamaño demasiado grande. Desde el punto de vista del crecimiento y el desarrollo, ¿podría existir, sobre todo en determinados países, el problema inverso? (el tamaño demasiado pequeño de algunas actividades productivas). Si es así, ¿por qué el tamaño demasiado pequeño de algunas actividades puede ser un obstáculo al crecimiento? Puede serle de utilidad echar un vistazo al artículo “The Economic Lives of the Poor” de Banerjee y Duflo (dos economistas muy activos en el área de Desarrollo económico y galardonados con el Nobel en 2019) en la sección “The problem of scale”. Este artículo está disponible en el foro de este tema. Puede existir el problema de que determinadas actividades económicas, sobre todo en países en desarrollo, sean demasiado pequeñas. Un tamaño demasiado pequeño impide no ya la innovación sino también la mecanización y la acumulación de un mínimo de stock de capital, que haría mucho más productivo al resto de los factores (generalmente el trabajo). Es el problema que detectan Banerjee y Duflo para algunas zonas de la India. Ejemplifican cómo un pequeño taller textil sería mucho más rentable si empleara a dos personas en lugar de solo una, ya que se podría beneficiar de la mayor productividad derivada del trabajo en equipo, la división del trabajo y la especialización. 12. Considere lo aprendido en los temas 1, 2, 3. ¿Qué es lo más importante, a su juicio, en un modelo de crecimiento para que sea capaz de generar crecimiento endógeno? a) los supuestos relativos a la función de producción b) la forma de considerar el ahorro de los agentes

c) las predicciones sobre la ratio futura capital/trabajo d) las predicciones sobre la transición al estado estacionario La respuesta correcta es la a. Cómo se considere el ahorro no es fundamental para los resultados del modelo (el modelo original de Barro consideraba el ahorro endógeno, nosotros hemos llegado a conclusiones similares considerando el ahorro exógeno). Las predicciones sobre la ratio K/L tenían cierta relevancia en modelos más antiguos de crecimiento pero no tanto en los últimos, que incluso en ocasiones trabajan con una función de producción donde no aparece explícitamente el factor trabajo por hipótesis (y para no complicar en exceso el modelo). Las predicciones sobre la transición al estado estacionario tampoco son decisivas: hemos visto modelos que realizan predicciones sobre la transición (Solow) y no generan crecimiento per capita positivo, y otros que predicen que no hay transición y generan crecimiento positivo. Y también es posible diseñar modelos con conclusiones similares al de Barro y que sí contemplen una transición al estado estacionario). Por lo tanto, la existencia o no de crecimiento en un modelo no está vinculado al hecho de que presente o no dinámica de la transición....