3.4. Modelo de Bertrand PDF

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Matilde Machado para bajar las transparencias: http://www.eco.uc3m.es/~mmachado/

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 

En el modelo de Cournot, las empresas deciden cuanto producir y el precio de mercado se ajusta para equilibrar la oferta y la demanda. Pero la frase “el precio se ajusta” es muy imprecisa, en la práctica como funciona este ajustamiento?

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Es quizás más natural pensar en las empresas fijando precios y dejando que los consumidores decidan cuanto quieren comprar a esos precios. En este contexto surge el modelo de Bertrand (1883).

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Los supuestos son los mismos que los del modelo de Cournot pero las empresas eligen precios y no cantidades:  2 Empresas  Las empresas eligen precios simultáneamente (es decir antes de observar el precio de su rival)  El producto de las empresas es homogéneo (sustitutos perfectos) ⇒ el consumidor compra del productor que le ofrezca un precio más barato  Coste marginal constante = c para ambas empresas  Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir no hay restricciones de capacidad) Economía Industrial - Matilde Machado

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Ejemplos de competencia a la Bertrand pueden ser entre gasolineras en la misma ruta/calle. La gasolina es un bien homogéneo y el conductor (en EEUU) por lo menos puede mirar el precio sin parar a la ida y en el regreso de su trabajo.

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand La demanda que enfrenta la empresa i es dada por:

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⎧ D( pi ) si pi < p j capta toda la demanda del mercado ⎪ ⎪1 Di ( pi , pj ) = ⎨ D ( pi ) si pi = pj (o cualquier otra cantidad) ⎪2 si pi > p j pierde toda la demanda ⎪⎩ 0 Di(pi,pj)

pj D(

0

p i)

0.5D(pi)

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 

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El objetivo es de nuevo encontrar las funciones de reacción (ahora en precios) y luego el equilibrio de Nash El equilibrio de Nash se caracteriza por un vector de precios (p*i,p*j) tal que cada empresa maximiza su beneficio dado el precio de la otra empresa. i i * * * ⎧Π ⎪ ( pi , p j ) ≥ Π ( pi , p j ) ∀ pi ⎨ j * * * j ⎪⎩Π ( pi , pj ) ≥ Π ( pi , pj ) ∀ pj

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La paradoja de Bertrand dice que el único equilibrio es aquél en que p*i=p*j=c y por tanto los beneficios de equilibrio son nulos Πi∗=Πj*=0.

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Vamos a demostrar que este es el único equilibrio en el modelo de Bertrand. La prueba se construye por contradicción. Prueba: 1) Supongamos que (sin pérdida de generalidad) p*1>p*2>c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. La empresa 1 no tendría demanda D1=0 ⇒ Π 1=0 La empresa 2 tendría toda la demanda del mercado D2=D(p*2) y Π2=(p*2-c)D(p*2)>0 Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2-ε. (ε es pequeño) lo que llevaría a Π1>0. Demostramos que la situación p*1>p*2>c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 2) Supongamos que p*1=p*2>c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. en este caso las empresas se reparten el mercado. Vamos a suponer que en partes iguales: Π1= (p*1-c)(½D(p*1))>0 Π2= (p*2-c)(½D(p*2))= Π1> 0 Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2ε. (ε es muy pequeño) en cuyo caso se ganaría toda la demanda del mercado y Π1’= (p’1-c)D(p’1)≈ (p*1-c)D(p*1) > Π1= (p*1-c)(½D(p*1))>0 Demostramos que la situación p*1=p*2>c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand Economía Industrial - Matilde Machado

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Gráficamente la situación 2)

p*2

p*2- ε

Π’ c q

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 3) Supongamos que p*1>p*2=c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. en este caso la empresa 1 no tiene demanda Π1= 0 Π2= (p*2-c)D(p*2)=0 (toda la demanda) Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 2 a p*1 no es p*2 sino p’2= p*1-ε. (ε es pequeño) en cuyo caso mantendría toda la demanda del mercado y Π2’= (p’2-c)D(p’2)>0 Demostramos que la situación p*1>p*2=c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand Economía Industrial - Matilde Machado

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 4) El único equilibrio posible es p*1=p*2=c. Pero hay que probar que es de hecho un equilibrio en este caso las empresas se reparten el mercado pero no tienen beneficios. Π1= 0 Π 2= 0 Si la empresa 1 ↓ p1 ⇒ Π 1= (p*1-ε-c)D(p*1-ε)=-εD(p*1-ε) p ⎪⎪ R i( p j ) = ⎨ p j − ε si c < p j ≤ p M ⎪ si p j ≤ c ⎪⎩c

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand Gráficamente la función de reacción de las empresas es: R2(p1) p1 R1(p2)

pM

si p2 > p M ⎧ pM ⎪ M R1 ( p 2 ) = ⎨ p2 − ε si c < p2 ≤ p ⎪c si p2 ≤ c ⎩

El equilibro de Nash es único y se da donde se cruzan las funciones de reacción (p*2=c,p*1=c) y la demanda se reparte entre los dos D*1=D*2=D/2

c 45º c Economía Industrial - Matilde Machado

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pM Modelo de Bertrand

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand El caso Asimétrico: Costes marginales diferentes c1>c2 . En este caso el resultado anterior ya no se verifica. El equilibrio de Bertrand implica: p*=c1 (en realidad c1-ε, ε pequeño) y la empresa 2 capta todo el mercado y obtiene beneficios>0 ⎧Π1 = 0 ⎪ ⎨Π 2 = (c1 − ε − c2 ) D( c1 − ε ) ≈ (c1 − c2 ) D(c1 ) > 0 N    ⎪⎩ p2 + Nota: Si c1>pM(c2) entonces el equilibrio sería p2=pM(c2)=argmax{p}(p-c2)D(p) Economía Industrial - Matilde Machado

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand La paradoja del modelo de Bertrand se puede solucionar si se cambian cada uno de los 3 supuestos básicos del modelo. 1.

Solución de Edgeworth: introducción de restricciones de capacidad, que impiden la empresa vender más cantidad de las que físicamente puede producir. La idea es que al precio de competencia perfecta c, cada empresa por si sola no puede abastecer toda la demanda. El (p*1,p* 2)=(c,c) ya no es un equilibrio del mercado. ¿Porqué? Se prueba por contradicción. Imaginemos que es un equilibrio. Entonces Π1=0, Π2=0, si la empresa 1 sube el precio entonces la empresa 2 enfrenta toda la demanda pero no la puede absorber. Π2=(c-c)K=0 donde K0 y D 1(p1)=D(p1)-K por tanto la empresa 1 tiene incentivos en desviarse ⇒el punto inicial no es un equilibrio.

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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand 2.

3.

Dimensión Temporal (juegos repetidos): Si consideramos que los competidores no se “encuentran” en el mercado una sola vez sino que probablemente tiene una relación de largo plazo entonces pueden darse cuenta que una guerra de precios (p1=p2-ε) solo conduce a Π=0. Diferenciación del producto. Si los productos no son homogéneos (ej: distintas marcas, distinta localización) entonces una reducción de precios no implica que el rival se quede sin demanda, es decir no implica ganarse todo el mercado por lo que p=c ya no será un equilibrio. Conclusión: El análisis de Bertrand es un caso extremo, al introducir supuestos más realistas se suaviza la competencia y el precio de equilibrio será mayor que coste marginal Los modelos de oligopolio no tienen que ser el mismo para todas las industrias sino que uno u otro se adapta mejor a una u otra industria

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