375179903 Unad Calculo Diferencial Trabajo Colaborativo 2 Trabajo de limites y continuidad PDF

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calculo diferencial muestra algunos ejemplos...

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Trabajo de límites y continuidad

Fabian Leonardo Gómez Cadena Hemir Figueroa Coetata Javier Orlando Parra Jaimes

Grupo: 531 Tutora: Patricia Beltrán

Universidad Nacional Abierta Y a Distancia-UNAD Calculo Diferencial Octubre 2017

2 Introducción

En el desarrollo de este trabajo aplicaremos los conocimientos adquiridos en el módulo sobre funciones límites y continuidad, y mediante el desarrollo de los ejercicios se abarcarán los diferentes temas los cuales se afianzan los conocimientos adquiridos.

3

Hemir Figueroa Coetata - Estudiante_2 Principio de sustitución

√5𝑥 − √5 1 − 𝑥

lim

𝑥→1

lim

𝑥→1

lim

𝑥→1

lim

0 𝑥→1 0

√5(1) − √5 1 − 1

2,23 − 2,23 1 − 1

Indeterminado

Forma Indeterminada lim

𝑥 → −1

(𝑥 + 1)3 𝑥3 + 1

4 lim (−1 +3 1)3 (−1) + 1

𝑥 → −1

lim

𝑥 → −1

lim

(0)3 (−1)3 + 1

𝑥 → −1

lim

(0)3 −1 + 1

𝑥 → −1

Límites al infinito

(0)3 0

lim √3𝑥 + 2 − 𝑥

𝑥→∞

lim √3∞ + 2 − ∞

𝑥→∞

lim = +∞

𝑥→∞

Límites al infinito

lim √3𝑥 + 2 − 𝑥

𝑥→∞

lim √3∞ + 2 − ∞

𝑥→∞

lim = +∞

𝑥→∞

Límite de funciones Trigonométricas: lim

𝑥→0

Ejercicios Fase 2: Grafica en Geogebra.

4𝑠𝑒𝑛90 30

5 𝑎𝑥 2 + 2 , 𝑓(𝑥) = { 3𝑥 ,

𝑆𝑖 𝑥 > −1 𝑆𝑖 𝑥 < −1

6 √𝑥 + 2 , (𝑥) = { 3𝑥 ,

𝑆𝑖 𝑥 < 7 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 7

7

Ejercicios Fase 3: Ensayo.

Los límites y continuidad Definición intuitiva de límite. Decir que existe el límite de una función f en cierto punto A equivale a decir que, fijándonos en entornos suficientemente pequeños del punto A, la función tomará en todos los puntos de tales entornos (excepto en el punto A) valores tan cercanos como queramos a una determinada cantidad, que será el límite. Tomado de: https://matematicacontablei.wordpress.com/2014/02/04/limite-y-continuidad/

El límite es la propensión de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito y para comprenderlo mejor se dice que tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En ese orden de ideas podemos decir que los límites y continuidad son una herramienta matemática empleada por la ingeniería en cualquier campo e inclusive en programación en el caso de mi profesión como futuro programador de sistemas de información.

Fabian Leonardo Gómez Cadena- Estudiante_4 Principio de Sustitución

(𝑥 2 − 9)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) 𝑥→3 𝑥 2 − 3𝑥 lim

lim

𝑥→3

Se remplaza 3

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) 𝑥(𝑥 − 3)

= lim

𝑥→3

(𝑥 + 3)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) 𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) (3 + 3)(33 + 2(3)2 − (3 ∗ 3)) = 72 = 𝑥→3 3 𝑥 lim

8 lim (𝑥 2 − 9)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) = 72 𝑥 2 − 3𝑥 Forma Indeterminada

𝑥→3

−𝑥 + 2 𝑥→2 4 − 𝑥 2 lim

lim 𝑥→2

1 1 −𝑥 + 2 = = lim (2 − 𝑥)(2 + 𝑥) 𝑥→2 (2 + 𝑥) 4 −𝑥 + 2 1 = 𝑥→2 4 − 𝑥 2 4 lim

Límites al infinito √𝑥 2 − 1 𝑥→∞ 2𝑥 + 1 lim

2 √𝑥 2 − 12 √ 1 −1 2 𝑥 𝑥 𝑥 lim = lim 1 1 𝑥→∞ 2𝑥 𝑥→∞ 2+𝑥 𝑥 +𝑥

1 𝑥2 1 𝑥→∞ = 1 2 lim 2 + 𝑥 𝑥→∞ lim √1 −

Límites de funciones Trigonométricas 3𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥 − 3) lim 2 𝑥→3 𝑥 − 6𝑥 + 9

9 lim

𝑥→3

Si se sabe que

(𝑥2− (𝑥3− )23) 3𝑠𝑒𝑛

𝑆𝑒𝑛𝜃 =1 𝑥→𝜃 𝜃 lim

lim 3 ∗ 𝑥→3

𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 3) 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 3) = 3∗1∗1 = 3 ∗ (𝑥 − 3) (𝑥 − 3) 3𝑠𝑒𝑛2 (𝑥 − 3) =3 𝑥→3 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 lim

Fase 2 2 (𝑥) = {𝑎𝑥 − 6, 𝑠𝑖 𝑥 < 4 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

(𝑥) = {

𝑎𝑥 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 2 2 2 + 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

10

Fase 3 La utilización de límites y continuidad, de las funciones no solo la utilizamos a nivel profesional y académico, si no en la vida cotidiana. Los límites y la continuidad inicialmente lo vemos como una cantidad de factores numéricos hipotéticos poco representables en la realidad o tal vez su aplicación no es totalmente clara al iniciar un tema como los de límites y la continuidad. Para estos, es necesario profundizar no sólo en la concepción de sus números que finalmente se representan por números enteros o fraccionarios que puede ser un poco más confuso a la hora de como anteriormente dije, su aplicación más cuando estos resultados están basados en formulas estandarizadas que nos pueden garantizar la aplicabilidad y fiabilidad de estos resultados. Sus aplicaciones en mi caso particular profesional están orientadas a los márgenes que puedan existir en los movimientos de programación al querer medir más exactamente los movimientos que de acuerdo a la variable correcta puede representarnos una continuidad de algoritmo o no. Así mismo puede ser aplicada en los procesos de producción al momento de estandarizar un producto nuevo o uno que ya se encuentre en el mercado pudiendo realizar modificaciones y nuevas trazas para darle continuidad a un producto o por el contrario parar su producción

Javier Parra - Estudiante_5 En matemáticas, los limites se utilizan para describir o analizar el comportamiento de una función, particularmente, analizar lo que ocurre con la altura de la variable

11 dependiente, cuando la variable independiente se acerca a un valor especifico. (Galván, 2011)

Principio de sustitución

√9 + 𝑥 2 𝑥 − 3

lim

𝑥→4

√9 + (4)2 4 − 3

lim

𝑥→4

lim

𝑥→4

√9 + 16 4 − 3

lim

𝑥→4

√25 1

lim = 5

𝑥→4

Forma Indeterminada (𝑥 − 2)2 lim 𝑥 → 2 𝑥2 − 4 lim

𝑥→2

lim

𝑥→2

(2 − 2)2 (2 )2 − 4 4 − 4 4 − 4

lim = 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑥→2

12 Solución indeterminación lim (𝑥 2− 2)2 𝑥 − 4

𝑥→2

Aplicando la regla de productos notables binomio al cuadrado (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 2 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑥 − 2(𝑥 ∗ 2) + 4 𝑥2 − 4

lim

𝑥→2

Eliminamos términos

lim

𝑥→2

lim

𝑥→2

−4𝑥 + 4 −4

−4 (2) + 4 −4

−8 + 4 −4 = 1 = −4 −4 lim = 1

𝑥→2

Límites al infinito lim

𝑥→∞

lim

𝑥→∞

lim

𝑥→∞

𝑥 2 − 2𝑥 + 3 𝑥3 + 1 (∞)2 − 2∞ + 3 (∞)3 + 1

∞ 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ∞

13 

Para solucionar esta indeterminación dividimos todos los términos por la x de mayor valor en este caso es la 𝑥 3 lim 𝑥 2

𝑥→∞

lim

𝑥→∞

lim

𝑥→∞

− 2𝑥 ⁄𝑥 3 + 3⁄𝑥 3 3 𝑥 3𝑥 ⁄𝑥 3 + 1 ⁄𝑥 3

⁄

1 ⁄ − 2⁄ + 3⁄ 𝑥 𝑥2 𝑥3 1 + 1⁄𝑥 3 1⁄ − 2⁄ + 3⁄ ∞ ∞ ∞ 1 1 + ⁄∞

lim

𝑥→∞

0 − 0 +0 1 + 0

lim

𝑥→∞

0 = 0 1

Límites de funciones trigonométricas lim

𝜃→0

𝑆𝑒𝑛2𝜃 𝜃

𝑆𝑒𝑛 𝑥 =1 𝑥 →0 𝑥

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 ∶ lim lim

𝜃→0

2𝑆𝑒𝑛2𝜃 2𝜃

𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 é𝑙 𝑆𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 2 ∗ lim

𝜃→0

𝑆𝑒𝑛2𝜃 = 2∗1 = 2 2𝜃

14

Ejercicios fase II Geogebra 3𝑎𝑥 2 − 4 𝑓(𝑥) = { 4𝑥 − 7 , 4𝑥, lim f (𝑥) =

𝑆𝑖 𝑥 > 2

𝑆𝑖 𝑥 < 2

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→2− ⏞< 2 𝑥

𝑥→2+ ⏞ 𝑥 >2

3𝑎𝑥 2 − 4 = lim 4𝑥 𝑥→2 4𝑥 − 7 𝑥→2 lim

3𝑎 (2)2 − 4 = lim 4(2) 𝑥→2 𝑥→2 4(2) − 7 lim

12𝑎 − 4 = lim 8 𝑥→2 𝑥→2 8 − 7 lim

12𝑎 − 4 = 𝑥→2 1 lim

12𝑎 =

lim 8

𝑥→2

8+4 = 12 1

𝑎 =

12 12

𝑎 = 1

15

16

𝑥 + 3 𝑆𝑖 𝑥 ≤ −1 𝑓(𝑥) = {2𝑥 2 + 𝑎 𝑆𝑖 𝑥 > −1 lim f (𝑥) = 𝑥→−1− ⏞≤−1 𝑥

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−1+ ⏞ 𝑥 >−1

lim (𝑥 + 3) =

lim (2𝑥 2 + 𝑎)

𝑥→−1

lim (−1 + 3) =

𝑥→−1

𝑥→−1

lim (2(−1)2 + 𝑎)

𝑥→−1

lim (−1 + 3) =

lim (2 + 𝑎)

𝑥→−1

lim 2 =

𝑥→−1

𝑥→−1

lim 2 + 𝑎

𝑥→−1

2−2=𝑎 𝑎=0

17

18 Ensayo -

ensayo no menor a una hoja de extensión debidamente citado y referenciado donde se argumente claramente cómo aplicará en el desarrollo profesional los límites y la continuidad.

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. (Wikipedia la enciclopedia libre , 2017) Además, los límites infinitos son aquellos donde la variable tiende a un valor fijo, mientras que la función tiende a más o menos infinito. En teoría de límites, cuando se obtiene cero en el denominador, se dice que se presenta una indeterminación, luego lo que se hace es que la tendencia de la variable sea al valor definido, pero por la derecha o la izquierda, esto se desarrollará en límites unilaterales. (Rondón, 2010) A medida que estudiamos los límites y la continuidad nos damos cuenta que estas aplicaciones en algún momento de nuestras carreras como ingenieros industriales nos van a permitir la optimización de recursos ya sea en cuestión de tiempo, materiales o incluso en mano de obra, además de que podemos realizar aproximaciones en un margen de mínimo error para realizar algún proceso de manufactura o algo que requiera de una precisión exacta al momento de ponerlo en funcionamiento, inclusive el desarrollo de límites y continuidad nos permite solucionar cualquier problema que tengamos con respecto a la altura, el peso y la talla de algún producto o de algún objeto que queramos calcular exactamente, además contamos con la ventaja de que podremos despejar incógnitas de manera ordenada y más fácilmente sin ningún inconveniente y esto nos permite optimizar y organizar mejor nuestras tareas y nuestro tiempo de trabajo lo cual nos lleva también a tener un manejo más adecuado de nuestras funciones y así nuestro trabajo será más sencillo en la medida de las posibilidades. En cuestión de procesos de manufactura los límites y continuidad nos permiten además calcular una determinada cantidad de componentes para la realización de un producto el cual pueda necesitar tener una medida exacta para poder desarrollar bien su proceso de ensamblado el cual nos permitirá obtener determinado resultado deseado, como en los procesos industriales en donde la calidad y la optimización de costos es una parte fundamental. También los limites me pueden permitir solucionar algún proceso que se encuentre afectado mi producción para el buen funcionamiento de fabricación de x producto, el desarrollo de los limites nos permiten razonar mucho más y así dar solución a infinidad de incógnitas para hacer nuestra vida más sencilla ya sea en lo cotidiano o en lo laboral.

19 Conclusiones

El trabajo me permitió afianzar los conocimientos que ya traía sobre funciones además de estudiar los límites y aprender a desarrollarlos para solucionar problemas y ejercicios propuestos por la tutora, además de que me permitió realizar un análisis de las aplicaciones que pueden tener estos límites en mi vida laboral.

20 Bibliografía

Galván, D. C. (2011). Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad II Límites y Continuidad. México, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. Obtenido de Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad II Límites y Continuidad. México, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V.: http://hdl.handle.net/10596/6993 Rondón, J. (2010). Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de Límites y Continuidad. Pág. 39-85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido de Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de Límites y Continuidad. Pág. 39-85. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.: http://hdl.handle.net/10596/4806 Wikipedia la enciclopedia libre . (09 de 11 de 2017). Límite matemático. Obtenido de Wikipedia la enciclopedia libre : https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico...