4주 진동의기초 미분방정식 - 솔루션 PDF

Preview

Summary

솔루션...

Description

1장 진동의 기초

1.5 진동 시스템의 모델링

임의의 시스템을 해석하기 위해 고려되는 주요 물리적이고 동적인 효과(physical dynamic effects)를 규명하고, 보존 법칙(conservation law)과 적절한 원리의 적 절한 법칙에 의해서 미분방정식과 대수적 방정식을 작성하고, 그 방정식들을 계산 하기 편리한 방정식으로 줄이는 과정을 모델링이라 한다. 초기조건 (Initial Conditions) 입력

동적 시스템 (Dynamic System)

출력

외란(Disturbances)

시스템의 거동 특성 인자

시스템의 응답특성

• 기계적인 시스템의 진동해석 -. 수학적 모델(mathematical modeling )에 의한 해석 과정 -. 실험적인 해석 과정 Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

1

1장 진동의 기초

1.5 진동 시스템의 모델링 임의의 시스템을 해석하기 위해 고려되는 주요 물리적이고 동적인 효과(physical dynamic effects)를 규명하고, 보존 법칙(conservation law)과 적절한 원리의 적 절한 법칙에 의해서 미분방정식과 대수적 방정식을 작성하고, 그 방정식들을 계산 하기 편리한 방정식으로 줄이는 과정을 모델링이라 한다. 초기조건 (Initial Conditions) 입력

동적 시스템 (Dynamic System)

출력

외란(Disturbances)

시스템의 거동 특성 인자

시스템의 응답특성

• 기계적인 시스템의 진동해석 -. 수학적 모델(mathematical modeling )에 의한 해석 과정 -. 실험적인 해석 과정 Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

2

1장 진동의 기초

1.5 진동 시스템의 모델링  Mathematical modeling steps

• Step 1. Actual Dynamic System --- Physical abstraction ⇒ model • Step 2. Mathematical formulation • ⇒ apply the appropriate law of physics to drive one or more equation that describe the behavior of the system • ⇒ differential equations • Step 3. Solution of the equation • Step 4. Interpretation of results

 Dynamics(동역학)

• 물체 사이에 작용하는 힘과 물체의 운동과의 관계를 연구하는 역학의 한 부문. • 운동을 일으키는 힘의 작용과 물체의 운동을 취급하는 고전 역학의 한 부문 • 동역학은 물체의 운동을 연구하는 운동학(運動學, kinematics)과 운동과 운동 을 일으키는 힘 사이의 관계를 연구하는 운동역학(運動力學, kinetics)으로 구 분한다 Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

3

1장 진동의 기초

1.5.1 뉴턴의 제2법칙  운동방정식을 구하는 방법 • Force, mass, acceleration을 이용하는 방법 • Work, energy를 이용하는 방법 • Impulse, momentum 을 이용하는 방법

 Newton’s second law of Motion

• the change of motion is proportional to the motive force impressed and is made in the direction of the right line in which this force is impressed. ฀฀=

฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = = ฀ ฀฀฀ 󰇘 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

여기서 m : mass of the particle v : velocity vector r : positive vector to be measured in an inertial coordinate system it suffice to be fixed on earth surface or on a large mass Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

4

1장 진동의 기초

1.5.2 운동방정식(뉴우톤 방법)  Dynamic Equation

• oscillatory motion을 연구하는데 있어 중요한 과정이다. • dynamic differential equation of motion의 development 과정이다. • 물리적인 시스템(Physical system)이 lumped mass 혹은 rigid mass의 집합체로 model이 된다면, 주어진 시스템의 운동 방정식(equation of motion)은 2계 미분 방정식으로 표현된다.

 3차원 공간에 대한 Newton’s second law ฀฀฀฀󰇘 = ฀฀฀

฀

฀฀฀฀󰇘 = ฀฀฀

฀

฀฀฀฀󰇘 = ฀฀฀฀

 D’Alembert 수정식

• 하나의 질점에 여러 개의 힘이 작용할 때, 합력은 질점에 작용하는 모든 힘의 합으로 표현할 수 있다. • 움직이는 질점에 여러 개의 힘이 작용할 때 운동방정식은 다음과 같이 표현된 다 ∑฀฀ = ฀฀฀฀ 관성력(inertia force) Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

5

1장 진동의 기초

1.5.2 운동방정식(뉴우톤 방법) (Contd..) 질점에 대한 운동방정식 Free Body Diagram

Inertia Diagram

=

Σ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀󰇘 ฀฀1 cos ฀฀1 + ฀฀2 cos ฀฀2 + ฀฀3 cos ฀฀3 = ฀฀฀฀󰇘 Σ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀󰇘 ฀฀1 sin ฀฀1 + ฀฀2 sin ฀฀2 + ฀฀3 sin ฀฀3 = ฀฀฀฀󰇘 Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

x방향 성분

y방향 성분

6

1장 진동의 기초

1.5.2 운동방정식(뉴우톤 방법) (Contd..)  강체의 평면 운동 3 가지 형태

• 병진운동(translation) • 평행한 경로를 따라 움직일 때 • 직선병진(rectilinear translation), 곡선병진(curvilinear translation)

• 고정축에 대한 회전운동(rotation about a fixed axis) • 강체가 하나의 고정된 축 주위로 회전할 때, 회전 축상의 점을 제외한 다른 질점들은 원형 경로를 따라 움직인다.

• 일반 평면 운동(general planar motion) • 병진운동과 회전운동이 동시에 일어난다.

 강체의 일반 평면운동(Planar motion of a rigid body) y

θ C무게중심

0

x

Two coordinate of translation ---- translation x, y One coordinate of rotation --- orientation θ 따라서 3개의 미분 방정식이 필요

฀฀฀฀󰇘 = ฀฀฀

฀

฀฀฀฀󰇘 = ฀฀฀ ฀ ฀ ฀= ฀฀ ฀฀฀

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

฀

󰇘 7

1장 진동의 기초

1.5.2 운동방정식(뉴우톤 방법) (Contd..)  강체의 평면 운동(미끄럼이 없는 경우)

• 미끄럼이 없는 경우 ฀฀฀ ฀ =฀ ฀󰇘 = ฀฀฀฀ =฀฀฀฀이다. 󰇘 • 운동방정식은 다음과 같다. Σ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀

฀

฀฀฀฀

฀฀฀฀ = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀฀

Σ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀󰇘

2

󰇘

Σ฀฀฀ ฀฀฀ = ฀฀฀

마찰력

󰇘

฀฀ = 2฀ ฀

฀

단, 접선 가속도

฀฀ − ฀฀ = ฀฀฀฀฀฀

฀

ω, α

G

฀฀฀฀ 2

฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀

일량(Uf) = 운동에너지(T)

฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ = ฀฀

1 ฀฀ − ฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ 2 2

r P W=mg

O

฀฀

฀ ฀ = ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀฀฀

마찰일량(Uf)

m[kg]

f=µmg

N=W=mg

S m[kg] V [m/s] F W f 마찰력

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

N=W=mg 수직항력

µ(마찰계수)

8

1장 진동의 기초

1.5.2 운동방정식(뉴우톤 방법) (Contd..) Inertia Diagram

Free Body Diagram

C

=

฀฀1 cos ฀฀1 + ฀฀2 cos ฀฀2 + ฀฀3 cos ฀฀3 = ฀฀฀฀󰇘 ฀฀1 sin ฀฀1 + ฀฀2 sin ฀฀2 + ฀฀3 sin ฀฀3 = ฀฀฀฀󰇘 󰇘 ฀฀1 + ฀฀2 ฀฀฀฀ ฀฀ =

฀฀฀฀฀฀฀฀

฀฀฀

병진운동 (Translation motion)

회전 운동(Rotation motion) ฀฀฀฀ ฀ : 외부 힘에 의한 모멘트

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

฀฀฀฀฀฀฀฀ : 관 9

1장 진동의 기초

예제 1-2 문) 그림과 같은 진자의 고유진동수를 구하라. 단, 끈의 무게는 없다고 가정한다. ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀ ⇒ ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ 󰇘 −฀฀฀฀฀฀ sin ฀ ฀ = ฀฀฀

฀

󰇘

฀฀2 󰇘 −฀฀฀฀฀฀ sin ฀ ฀ = ฀฀฀฀

฀฀

฀฀ ฀฀ ฀฀=0 sin ฀ ฀ = 0 ฀→฀ +󰇘 ฀฀ ฀฀ (만일, θ가 작다면 sin θ ≅ θ ) ฀฀ = ฀฀

고유진동수

฀฀฀

각 진동수

฀฀ 1 ฀฀= 2฀ ฀฀ ฀

주기

2฀฀ ฀฀ ฀฀= = 2฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀

฀ ฀ = 2฀฀฀฀ → ฀฀ = 2฀฀

mg

M a = M eff

฀ 󰇘฀ + ฀

θ

여기서 ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀2 = ∫0 ฀฀ 2 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ 2

󰇘 ฀ ฀ sin ฀ ฀ = 0 ฀฀ ฀฀ +

운동방정식

O

O

O

=

θ

m

฀฀

I oθ&&

m

mgsinθ θ θ

mgcosθ

mg

FBD

Inertia diagram

1장 진동의 기초

예제 1-3 막대 진자의 운동 ฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀ ⇒ ฀฀฀ ฀ = ฀฀ ฀฀ −฀฀฀฀ sin ฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀ 󰇘 2 ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ +󰇘 ฀฀฀฀ sin ฀ ฀ = 0 2

฀

󰇘

฀฀가 매우 작다고 가정하면 sin ฀฀ ≅ ฀฀ ฀฀฀฀2 ฀฀ ฀฀=0 ฀ 󰇘 ฀ + ฀฀฀฀ 2 3 3฀฀ ฀󰇘฀ + ฀฀=0 2฀฀

O

O

=

฀฀฀฀ sin ฀฀

฀฀฀฀ cos ฀฀

고유진동수

฀฀฀

각 진동수

฀฀ 3฀฀ 1 ฀฀= = 2฀ ฀ 2฀ ฀2฀฀

฀

3฀฀ = 2฀฀

฀฀฀฀

฀฀฀฀ ฀฀󰇘

1장 진동의 기초

원판의 질량관성모멘트와 2차관성모멘트 질량관성모멘트(회전관성)

฀฀฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀

여기서 r은 반지름, dm은 질량의 미소값

질량 = 부피×밀도 이므로 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ � ฀฀ 2 ฀฀฀฀

฀฀฀฀ = ฀ ฀ ฀ ฀ + ฀฀฀฀ 2 − ฀฀฀฀ 2 = ฀ ฀ ฀฀ 2 + 2฀฀฀฀฀฀ + ฀฀฀฀2 − ฀฀฀฀ 2 = ฀ ฀ ฀฀ 2 + 2฀฀฀฀฀฀ + ฀฀฀฀2 − ฀฀ 2 = 2฀฀฀฀฀฀฀฀

฀฀

฀฀

฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀ = � ฀฀ 2 ฀฀2฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2฀฀฀฀ � ฀฀ 3 ฀฀฀฀ 0

฀฀ 4 ฀฀฀฀฀฀ 4 ฀฀฀฀ 2 = 2฀฀฀฀ = = 2 4 2

dr은 작은 값이므로 dr2은 더 작은 값이므로 무시한다.

1 ฀฀฀฀฀฀ 4 ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ 4฀= ฀฀ = ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ � ฀฀ ฀฀฀฀ = 2฀฀฀฀฀฀ � ฀฀ 3 ฀฀฀฀ = 2฀฀฀฀฀ 4 2 2 2 0 2

฀฀

2차 면적(극관성)모멘트 ฀ ฀ = ฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀

฀฀ 1 ฀฀฀฀ 4 ฀฀฀฀4 ฀ ฀ = 2฀฀ � ฀฀ 3 ฀฀฀฀ = ฀฀ 2฀4 ฀= = 32 2 4 0

4

=

0

฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀ 2

⇒ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀2฀฀฀฀฀฀

฀฀฀฀฀฀ 4 ฀฀ 25

1장 진동의 기초

1장 진동의 기초

극질량 관성 모멘트

O

฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀ 2

฀฀฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ � ฀฀ 2 ฀฀฀฀

=

=

฀฀ 2

฀฀฀฀ � ฀฀ 2 ฀฀฀฀ ฀฀ − 2 ฀฀฀฀฀฀3 ฀฀฀฀2 = 12 12

฀฀ 32

฀

IC

฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ − − = ฀฀฀฀ � = 3 ฀฀ 2 3 2 −2

3

=

฀฀฀฀ 2฀฀3 8 3 dy

따라서 ฀฀฀

3

2

฀฀฀฀ 2 ฀฀ ฀฀฀฀2 + 3฀฀฀฀ 2 ฀฀฀฀2 = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀ = + ฀ ฀ = = 3 2 12 12 2

฀฀ 2

฀ ฀ = � ฀฀฀฀ = � ฀฀ −

2

Ioθ&&

฀฀ 2

฀฀ − 2

฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀

฀฀ ฀฀ − − 2 2

= ฀฀฀฀฀฀

질량 = 체적×밀도

y

1장 진동의 기초

예제) 문) 그림과 같은 시스템의 운동 방정식을 구하라. 풀이) 주어진 시스템에 가해지는 힘들을 고려한 FBD와 inertia diagram을 그리면 다음과 같다.

• 위와 같은 시스템은 one-degree of freedom이다. rod의 끝 단이 핀으로 고정되어 있기 때문에 Translation motion이 발생하지 않는다. 단지 θ로의 운동만이 일어 난다. • 힌지 점 O에서의 반력 Rx, Ry 은 무시될 수 있다. Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

15

1장 진동의 기초

예제) cont.. ฀฀฀ ฀ = ฀ ฀ sin ฀ ฀ , ฀฀󰇗 ฀ ฀ =฀฀฀ cos ฀ 󰇗 ฀฀

l θ

l θ

xa

힘 Fa에 의해 발생하는 모멘트는

Fa

฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ cos ฀ ฀ × ฀฀

θ

이므로, 스프링에 의해 발생하는 O점에 대한 모멘트는 ฀฀= =

฀฀฀฀฀

฀

cos ฀ ฀ × ฀฀

฀฀฀฀ sin ฀ ฀ cos ฀ ฀ × ฀฀

= ฀฀฀฀ 2 sin ฀ ฀ cos ฀฀

• The moment of the applied forces about O is shown as follow. ฀฀฀

฀

฀฀ = ฀฀ − ฀฀฀฀ sin ฀฀ − ฀฀ ฀฀󰇗 ฀ ฀ + ฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀ cos ฀฀ 2 ฀฀ = ฀฀ − ฀฀฀฀ sin ฀฀ − ฀฀฀ ฀󰇗 cos ฀ ฀ + ฀ ฀ sin ฀฀ ฀฀2 cos ฀฀ 2

฀฀฀฀󰇘฀฀

Ry Rx

=

θ

T

mg

kxa

θ

฀฀฀ ฀ ฀฀󰇘

฀฀฀฀󰇘 ฀฀

FBD

Inertia diagram

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

16

฀฀฀

฀

1장 진동의 기초

예제) cont.. ฀฀ ฀฀฀ ฀ = sin ฀ ฀ , 2 ฀฀ ฀฀󰇗 ฀ ฀ = ฀ 󰇗฀ cos ฀ ฀ , 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀󰇘 ฀ ฀ = ฀ 󰇘฀ cos ฀฀ − ฀฀󰇗 2 sin ฀ ฀ , 2 2

y O yc

x

xc

฀฀ ฀฀ cos ฀฀฀ ฀ = 2− ฀฀ ฀฀󰇗 ฀ ฀ =฀ 󰇗฀ sin ฀ ฀ , 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀󰇘 ฀ ฀ =฀ 󰇘 ฀ sin ฀ ฀ + ฀฀󰇗 2 cos ฀฀ 2 2

• The moments of the effective forces (inertia) and moment about O are ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀+󰇘 ฀฀฀฀󰇘 ฀ ฀cos ฀ ฀ + ฀฀฀฀󰇘 ฀ ฀sin ฀฀ 2 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀+󰇘 ฀ ฀ ฀ 󰇘฀ cos ฀฀ − ฀฀󰇗 2 sin ฀ ฀ cos ฀ ฀ + ฀ ฀ ฀ 󰇘 ฀ sin ฀ ฀ + ฀฀󰇗 2 cos ฀ ฀ sin ฀฀ 2 2 2 2 2 2 = ฀฀฀฀ ฀฀ +󰇘 ฀ ฀ 2

2

฀฀ ฀ 󰇘 ฀ cos 2 ฀ ฀ + sin2 ฀฀

฀฀฀฀󰇘฀฀ θ

฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀+󰇘

฀฀฀฀2 4

฀ 󰇘 ฀ = ฀฀฀ ฀ + 4

฀฀฀฀ 2 ฀฀󰇘

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

θ

฀฀฀฀฀฀󰇘

฀฀฀฀󰇘 ฀฀ θ

17

1장 진동의 기초

예제) cont.. ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀

฀฀฀฀ 2 ฀฀ 󰇗 ฀ ฀ + ฀ ฀ sin ฀฀ ฀฀2 = ฀฀฀ ฀ + ฀฀󰇘 ฀฀ − ฀฀฀฀ sin ฀฀ − ฀ ฀ ฀ cos 2 4

⇒

฀฀฀ ฀ +

฀฀฀฀2 ฀฀ 󰇗 ฀ ฀ + ฀฀฀฀ 2 sin ฀ ฀ + ฀฀฀฀ ฀ 󰇘 ฀ + ฀฀฀฀ ฀ ฀2 cos sin ฀ ฀ = ฀฀ 4 2

sin ฀฀ ≅ ฀฀, cos ฀฀ ≅ 1을 이용하면

฀฀฀฀2 ฀฀ ฀ 󰇘 ฀ + ฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ + ฀ 2฀ +󰇗 ฀฀฀฀ 2 + ฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀ 2 4

• 긴 막대 형태의 회전 질량관성 모멘트 Ic는 ฀฀฀฀฀฀ /฀฀฀฀이므로 운동방정식은 다음과 같이 된다. ฀฀฀฀2 ฀฀฀฀ 2 ฀฀ ฀ 󰇘฀ + ฀฀฀฀ ฀ 2฀ +󰇗 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀ + 2 4 12

฀฀ ฀฀฀฀2 ฀ 󰇘 ฀ + ฀฀฀฀ ฀ 2฀ +󰇗 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀ 3 2

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

18

운동방정식의 해

1장 진동의 기초

실제 시스템의 운동에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면, 2계 상미분 방정식(2nd–order ordinary differential equation)으로 표현할 수 있다.

฀฀฀฀󰇘 + ฀฀฀฀󰇗 + ฀฀฀฀ = ฀฀

상수들은 관성(inertia), 감쇠(damping), 복원력(restoring elastic forces)과 같은 물리적 변수들을 나타내며, 시스템의 응답에 중요한 영향을 미친다

฀฀1 ฀฀󰇘 + ฀฀2 ฀฀󰇗 + ฀฀3 ฀ ฀ = ฀฀ ฀฀

a1 : 관성(inertia), a2 : 감쇠계수(damping), a3 : 강성 계수(stiffness coefficient) f(t) : 힘 함수(forcing function)이라 하며, f(t) ≠ 0 : 비제차(: non-homogeneous) f(t) = 0 : 제차( homogeneous) 혹은 자유진동( free vibration). Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

19

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 제차 미분방정식( Homogeneous differential Equation) ฀฀1 ฀฀󰇘 + ฀฀2 ฀฀󰇗 + ฀฀3 ฀ ฀ = 0

(1)

฀ ฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 라 가정하면, ฀฀󰇗 ฀฀ = ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ , ฀฀󰇘 ฀฀ = ฀฀฀฀2 ฀฀ ฀฀฀฀ 를 식(1)에 대입한다. ฀฀1 ฀฀2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ + ฀฀2 ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ + ฀฀3 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0 ฀฀1 ฀฀2 + ฀฀2 ฀ ฀ + ฀฀3 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0

(2) (3)

식(3)에서 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 라 가정하였기 때문에 A는 0 아닌 상수이며, ฀฀ ฀฀฀฀ 는 절대로 0이 될 수 없음. 따라서 ฀฀1 ฀฀2 + ฀฀2 ฀ ฀ + ฀฀3 = 0

(4) 특성 방정식

식(4)의 조건을 만족시키는 p를 찾기 위하여 근의 공식을 적용하면 다음과 같다. ฀฀1 =

−฀฀2 + ฀฀22− 4฀฀1 ฀฀3 , 2฀฀1

฀฀2 =

2 − 4฀฀ ฀฀ −฀฀2 − ฀฀ 1 3 2 2฀฀1

따라서 식(1)의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀ + ฀฀2 ฀ ฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀฀1฀ ฀ + ฀฀2 ฀฀ ฀฀2 ฀฀ Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

20

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 ฀฀1 =

2 − 4฀฀ 1 ฀฀3 −฀฀2 + ฀฀2

2฀฀1

฀฀2 =

,

2

− 4฀฀1 ฀฀3

−฀฀2 − 2฀฀ ฀฀12

฀ ฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 라 가정하였으므로 위의 근을 대입하면 해는 다음과 같다.

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀฀1฀ ฀ + ฀฀2 ฀฀ ฀฀2 ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀

−฀฀2 + 2 −4฀฀ ฀฀2 1 ฀฀3 2฀฀1

฀฀

+ ฀฀2 ฀ ฀

2 −4฀฀ ฀฀ −฀฀2 − ฀฀21 3

2฀฀1

฀฀

Case 1. p1 ≠ p2 이고, p1, p2 가 실수인 경우 즉 a22 > 4a1a3인 경우. 이 경우는 감쇠력이 상대적으로 큰 경우. 이러한 경우를 진동에서는 과감쇠계(Over damped system)이라 한다. Case 2. p1 = p2 이고, p1, p2가 실수인 경우 즉 a22 = 4a1a3 인 경우. 이 경우를 임계감쇠계(critically damped system)라고 한다. Case 3. p1 과 p2가 공액 복소수(complex conjugate)인 경우. 이 경우를 부족감쇠(underdmaped system)이라 한다. Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

21

1장 진동의 기초

운동방정식의 해

Case 1. : 서로 다른 실근(Real distinct roots) p1과 p2가 양의 수인 경우 해 x(t)는 지수 함수적으로 증가한다. p1과 p2가 음의 수인 경우 해 x(t)는 지수 함수적으로 감소한다.

예) ฀฀󰇘 − ฀฀฀ ฀󰇗 + ฀฀฀฀ = ฀฀, 초기조건 ฀ ฀ 0 = 2, ฀฀󰇗 0 = 0 ฀฀2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ − 4฀฀฀฀ ฀฀฀฀ + 3฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0 ฀฀2 − 4฀ ฀ + 3 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0

฀฀2 − 4฀ ฀ + 3 = 0

฀฀ − 1 ฀฀ − 3 = 0

฀฀1 ฀ ฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀฀1 ฀ ฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀฀ ,

฀฀2 ฀ ฀ = ฀฀2 ฀฀ ฀฀2 ฀ ฀ = ฀฀2 ฀฀ 3฀฀

∴ ฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀ + ฀฀2 ฀ ฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀ ฀ + ฀฀2 ฀฀ 3฀฀

일반해(general solution)

초기치 문제

฀ ฀ 0 = ฀฀1 ฀฀ 1×0 + ฀฀2 ฀฀ 3×0 = ฀฀1 + ฀฀2 = 2

฀฀󰇗 0 = 1 × ฀฀1 ฀฀ 1×0 + 3 × ฀฀2 ฀฀ 3×0 = ฀฀1 + 3฀฀2 = 0

฀฀1 + ฀฀2 = 2

----- 

฀฀1 + 3฀฀2 = 0 ----- 

식 - 식하면 −2฀฀2 = 2 -------  ∴฀฀2 = −1

식 을 식 에 대입하면 ฀฀1 − 1 = 2 ∴฀฀1 = 3

∴ ฀฀ ฀฀ = 3฀฀ ฀ ฀ − ฀฀ 3฀฀ 특수해(particular solution)

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

22

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 Case 1. : 서로 다른 실근(Real distinct roots) Matlab을 이용한 계산과 그래프 그리기

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

23

1장 진동의 기초

운동방정식의 해

Case 2. 중근인 경우

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 + ฀฀2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀

예 ฀฀󰇘 + 6฀฀󰇗 + 9฀฀ = 0 초기조건 ฀ ฀ 0 = 0, ฀฀󰇗 0 = 3 ฀฀2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ + 6฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ + 9฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0 ฀฀2 + 6฀ ฀ + 9 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0 특성 방정식을 다시 쓰면 ฀฀2 + 6฀ ฀ + 9 = 0 ฀ ฀ + 3 ฀ ฀ + 3 = 0 ∴중근임

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 + ฀฀2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀1 + ฀฀2 ฀฀ ฀฀ −3฀฀ 일반해(general solution) 초기치 문제

฀ ฀ 0 = ฀฀1 ฀฀ −3×0 + ฀฀2 × 0 × ฀฀ −3×0

฀ 󰇗 ฀ 0 = ฀฀1 −3 ฀฀

−3฀฀

+ ฀฀2 ฀฀

−3฀฀

∴฀฀1 = 0

+ ฀฀2 ฀฀ −3 ฀฀ −3฀฀

= ฀฀1 −3 ฀฀ −3×0 + ฀฀2 ฀฀ −3×0 + ฀฀2 × 0 × −3 ฀฀ −3×0

∴ ฀฀ ฀฀ = 3฀฀฀฀ −3฀฀

∴฀฀2 = 3

특수해(particular solution)

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

24

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 Case 2 : 중근(double root) Matlab을 이용한 계산과 그래프 그리기

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

25

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 case 3. 공액 복소수근(Complex Conjugate Roots) ฀฀1 =

−฀฀2 + ฀฀2− 4฀฀1 ฀฀3 2

฀฀2 =

,

2

− 4฀฀1 ฀฀3

−฀฀2 − 2฀฀ ฀฀2 1

2฀฀1 ฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀ + ฀฀2 ฀ ฀ = ฀฀1 ฀฀ ฀฀1฀ ฀ + ฀฀2 ฀฀ ฀฀2 ฀

−฀฀2 ฀฀= ,฀ ฀ = 2฀฀1

฀

(1)

฀฀− 2 4฀฀1 ฀฀3 라 놓으면 식(1)은 다음과 같이 된다. 2฀฀1

2

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀

฀฀+฀฀ ฀฀

+ ฀฀2 ฀ ฀

฀฀−฀฀ ฀฀

2 ฀฀22 < 4฀฀1 ฀฀3 이면, − ฀฀ 2− 4฀฀1 ฀฀3 가 되므로, −1

(2) ฀฀22− 4฀฀1 ฀฀3 = ฀

฀2 −฀฀4฀฀ 2 1 ฀฀3 = ฀฀฀฀ 로 쓸 수 있음.

따라서 이 경우의 해 식(2)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀

฀฀+฀฀฀฀ ฀฀

+ ฀฀2 ฀ ฀

฀฀−฀฀฀฀ ฀฀

일반해(general solution)

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

26

1장 진동의 기초

운동방정식의 해 case 3. 공액 복소수근(계속) ฀฀ ฀฀ = ฀฀1 ฀ ฀

฀฀+฀฀฀฀ ฀฀

+ ฀฀2 ฀ ฀

฀฀ ฀฀฀฀ = cos ฀ ฀ + ฀ ฀ sin ฀฀

฀฀ −฀฀฀฀ = cos ฀฀ − ฀฀ sin ฀฀

฀฀−฀฀฀฀ ฀฀

= ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀1 ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ + ฀฀2 ฀฀ −฀฀฀฀฀฀

Euler’s formulas

฀฀ ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀1 cos ฀฀฀฀ + ฀ ฀ sin ฀฀฀฀ + ฀฀2 cos ฀฀฀฀ − ฀฀ sin ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀1 + ฀฀2 cos ฀฀฀฀ + ฀฀ ฀฀1 − ฀฀2 sin ฀฀฀฀

฀฀1 + ฀฀2 = ฀฀1 , ฀ ฀ ฀฀1 − ฀฀2 = ฀฀2 라 놓으면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. ฀฀ ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀1 cos ฀฀฀฀ + ฀฀2 sin ฀฀฀฀

฀฀1 ฀฀2 ฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ cos ฀฀฀฀ + sin ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀

฀฀=

฀฀21+ ฀฀22

฀฀1 ฀฀1 ฀ ฀ = tan−1 ⇒ sin ฀ ฀ = ฀฀2 ฀฀ ฀฀2 ⇒ cos ฀ ฀ = ฀฀

 sin ฀ ฀ cos ฀฀฀฀ + cos ฀ ฀ sin ฀฀฀฀ = sin ฀฀฀฀ + ฀฀ ฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ sin ฀ ฀ cos ฀฀฀฀ + cos ฀ ฀ sin ฀฀฀฀

฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ sin ฀฀฀฀ + ฀฀ 일반해(general solution)

Park,WooCheul, Dept. of Mechanical Design Eng., Kangwon National University, [email protected]

27

1장 진동의 기초

운동방정식의 해

예 ฀ ฀฀฀ 󰇘 + ฀฀ ฀ + 󰇗 ฀฀฀฀฀฀ = ฀ ฀ 초기조건 ฀ ฀ 0 = 0.01, ฀฀󰇗 0 = 3 2 5฀฀ + 2฀ ฀ + 50 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0  5฀฀2 + 2฀ ฀ + 50 = 0 ฀฀1 =

−฀฀2 + ฀฀22− 4฀฀1 ฀฀3

2฀ ฀ −฀฀2 − ฀฀22− 4฀฀1 ฀฀3 ฀฀2 = 2฀ ฀

−2 + 4 − 4 = ×5 × 50 −0.2 + 3.156฀฀ =2 × 5 −2 − 4 − 4 × 5 × 50 = −0.2 − 3.156฀฀ = 2×5

฀฀ ฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀1 cos ฀฀฀฀ + ฀฀2 sin ฀฀฀฀ = ฀฀ −0.2฀฀ ฀฀1 cos 3.156฀ ฀ + ฀฀2 sin 3.156฀฀ ฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ −0.2฀฀ sin 3.156฀ ฀ + ฀฀ 일반해(general solution)

초기조건 대입

฀ ฀ 0 = 0.01 = ฀฀ −0.2×0 ฀฀1 cos 0 + ฀฀2 sin 0

 ฀฀1 = 0.01

฀฀...