4. I quantificatori - Riassunto del quarto capitolo del libro, integrato con la spiegazione in classe - Logica, lezioni di primo livello PDF

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Riassunto del quarto capitolo del libro, integrato con la spiegazione in classe del professore....

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I QUANTIFICATORI: In una proposizione, ciascuna componente può essere evidenziata e a ciascuna componente può essere attribuito un tipo. A ciascun tipo possiamo attribuire variabili, spazi vuoti che possono essere riempiti da qualunque espressione appartenente a quel tipo. Evidenziazione delle component: Quando si considera una proposizione come un insieme di componenti, queste componenti possono essere evidenziate. Quando in una proposizione A si evidenzia a, si scriverà A[a]. Quando una componente viene evidenziata, si intende far parlare la proposizione di ciò che è designato dalla componente, ovvero intendiamo A come risposta alla domanda “cosa si dice di a?”. Una volta evidenziata una componente, è possibile che questa sia presente più volte nella stessa proposizione. Le varie presenze di una componente sono dette occorrenze. Attribuzione di un tpo alle component: Una volta evidenziata, una componente designa una cosa che può essere vista come una cosa che appartiene a una classe, e la classe di appartenenza è il tipo della componente. Se in una proposizione A viene evidenziata la componente a e ad essa viene attribuito il tipo T, scriveremo A[a:T]. Ad una stessa componente si possono attribuire più tipi. - Tipo delle proposizioni: se una componente è vista come una proposizione, allora ad essa si attribuisce come tipo la classe delle proposizioni; - Tipo delle proprietà su una classe: se una componente è vista come una proprietà su una classe X, allora attribuisco a quella componente il tipo delle proprietà su X; - Tipo delle relazioni su una classe: se una componente è vista come relazione binaria su una classe X, allora attribuisco a quella componente il tipo delle relazioni binarie su X; - Tipo delle funzioni su una classe: se una componente è vista come una funzione su una classe X, allora attribuisco a quella componente il tipo delle funzioni su X. Variabili: Supponiamo di concepire una componente a come una casella da riempire. Una casella che può essere riempita da qualunque soggetto di un tipo sarà detta variabile del tipo T, e ogni riempimento della casella mediante un oggetto di tipo T sarà detta sostituzione della variabile con un suo valore. Due variabili con lo stesso nome e lo stesso tipo devono sempre essere sostituite con la stessa cosa. FORMULE E PROPOSIZIONI: Una formula contiene variabili e posti vuoti. Sostituendo le variabili, A[b/x], ottengo proposizioni, che sono potenzialmente infinite, ma posso ottenerle anche quantificando una variabile. Un quantificatore può essere universale (per ogni) o esistenziale (per qualche).

PROPOSIZIONE QUANTIFICATA UNIVERSALMENTE: ∀ x: T, A[x] per ogni x di tipo T, A[x] - Ogni proposizione quantificata universalmente è vera quando, per ogni valore a della variabile x, la proposizione A[a] è vera. - Se sono poche le cose di tipo T, dimostro la proposizione quantificata universalmente accertandomi che ciascuna cosa abbia la proprietà A, in caso contrario dimostro che uno specifico oggetto x di tipo T ha la proprietà A usando di X, nella dimostrazione, solo ciò che gli compete in quanto oggetto di tipo T. - Dall’ipotesi che una proposizione quantificata universalmente sia vera, possiamo ricavare che ciascuna sua istanza particolare è vera. Per il dictum de omni infatti ciò che è vero per tutti gli oggetti di un tipo, è anche vero per ciascun oggetto di quel tipo. - La negazione classica di una proposizione quantificata universalmente è la proposizione quantificata esistenzialmente. Si dice che il quantificatore universale classico e quello esistenziale classico sono duali.

¬∀x:T, A[x] = ∃x :T,A[x]

PROPOSIZIONE QUANTIFICATA ESISTENZIALMENTE: ∃x:T,A[x] per qualche x di tipo T, A[x] - Ogni proposizione quantificata esistenzialmente è falsa quando, per ogni valore a della variabile x, la proposizione A[a] è falsa. - Per stabilire la verità di una proposizione quantificata esistenzialmente è sufficiente stabilire la verità di una sua istanza. - Dall’ipotesi che una proposizione quantificata esistenzialmente è vera, non possiamo ricavare che ciascuna sua istanza particolare è vera, ma semplicemente che ci deve essere una sua istanza particolare vera. - La negazione classica di una proposizione quantificata esisenzialmente è la proposizione quantificata universalmente. Si dice che il quantificatore universale classico e quello esistenziale classico sono duali.

¬∃x :T,A[x] = ∀x:T, A[x] Proposizioni categoriche: Una proposizione è detta categorica quando ha una delle seguenti forme: - ogni P è Q (universale affermativa) - ogni P non è Q (universale negativa) - qualche P è Q (particolare affermativa) - qualche P non è Q (particolare negativa) La negazione di una proposizione categorica A è detta contraddittoria di A, fa passare da universale a particolare e viceversa, e da affermativa a negativa e viceversa. Prima lettura odierna (si basa sull’uso di una variabile P): -

ogni P è Q ogni P non è Q qualche P è Q qualche P non è Q

diventa diventa diventa diventa

∀x:P, Q(x) ∀x:P, ¬Q(x) ∃x:P, Q(x) ∃x:P, ¬Q(x)

Seconda lettura odierna (si basa sull’uso di una variabile di tipo X, dove X è una classe arbitraria): - ogni P è Q diventa ∀x: X(P(x) → Q(x)) - ogni P non è Q diventa ∀x: X(P(x) → ¬Q(x)) - qualche P è Q diventa ∃x: X(P(x) ʌ Q(x)) - qualche P non è Q diventa ∃x: X(P(x) ʌ ¬Q (x))...