정역학 4.힘의 평형 PDF

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정역학01 (담당교수 : 정시정)

힘의 평형

정역학01 (담당교수 : 정시정)

학습목표

1)

지지반력을 정의하고 이해한다.

2)

자유물체도 개념을 이해한다.

3)

평형조건식을 사용하여 평면력계의 평형 문제 풀이방법을 배운다.

1. 힘의 평형 1) 개요

1. 힘의 평형 1) 개요  평형상태(Equilibrium state) : 원래 정지해 있던 질점이 계속 정지 상태를 유지하거나 또는 일정한 속도 움직이고 있는 상태.

 정적 평형상태 : 대상 물체가 정지해 있는 상태  물체가 평형을 유지하려면, 질점에 작용하는 모든 힘의 합력이 0이 되어야 한다.

1. 힘의 평형 2) 지점의 종류 ① 지점(support)은 받침부로써 구조물을 지지하기 위해 설치되는 구조부분 ② 2차원 구조물에는 이동지점, 회전지점 및 고정지점과 같은 세 종류의 기본적인 형태 ⅰ) 이동지점(movable support) ⓐ 회전을 자유롭게 하는 힌지 구조와 지점면에 평행한 방향으로의 이동을 자유롭게 하는 롤러구조로 구성 ⓑ 이동지점은 항상 지점면에 직각방향인 한 개의 반력만을 갖는다.

미지의 반력수 1개

1. 힘의 평형 2) 지점의 종류 ⅱ) 회전지점(hinge support) ⓐ 부재가 어느 방향으로든 평행 이동하는 것을 방지하고 회전만 자유로움 ⓑ 회전에는 마찰이 없는 것으로 간주 ⓒ 회전지점은 지점면에 직각방향과 평행한 방향의 수직반력과 수평반력 유발

미지의 반력수 2개

1. 힘의 평형 2) 지점의 종류 ⅲ) 고정지점(fixed support) ⓐ 지점면에서 부재가 이동하거나 회전하는 것을 완전히 방지 ⓑ 고정지점에는 수직반력, 수평반력 및 모멘트 반력 유발

미지의 반력수 3개

1. 힘의 평형 2) 지점의 종류 구분

지점 상태

표시법

미지 반력수

이동지점 (이동단)

1 (V)

회전지점 (회전단)

2 (V, H)

고정지점 (고정단)

3 (V, H, M)

1. 힘의 평형 3) 자유물체도 (FBD : Free Body Diagram) ; 구조물의 일부 또는 전체를 구속조건으로부터 분리하여, 분리된 구조물에 작용하는 모든 힘(외력:작용력, 반력)을 표시한 그림 ① 물체가 구속되지 않았을 때 그 물체를 자유물체(free body)라 한다. ② 자유물체는 여러 힘들이 작용하면 그 힘들의 합력의 크기에 비례하여 운동하지만, 합력이 0이면 정지상태에 있다. ③ 정지상태에 있는 물체의 힘의 상태를 힘의 평형상태라 한다. ④ 평형문제를 풀 때 그 물체에 작용하는 모든 힘을 정확하게 표시하는 것은 매우 중요하다. ⑤ 자유물체와 그 물체에 작용하는 모든 힘을 표시한 그림을 자유물체도(free body diagram)라 한다. ⑥ 자유물체도는 지점이나 연결된 다른 물체를 떼어내고 난 후 그 물체에 작용하는 모든 힘을 표시한 그림을 말한다.

1. 힘의 평형 3) 자유물체도 작도법 ① 물체 중에서 특정한 부분을 자유물체로 선정하여, 지점이나 다른 물체를 떼어내어 구속을 푼다.

①

(자유물체는 그 물체의 전부일 수도 있고 일부분일 수도 있다) ② 외력(external force)을 표시한다.

②

③ 지점의 반력이나 연결된 다른 부분에 의해 유발되는 구속력을 표시한다. ③ ④ 치수와 각을 표시한다. ④

연습문제 1 1. 그림에 나타낸 캔틸레버 보의 자유물체도를 그려라. 보의 질량은 150kg이다. 보의 단면은 균일하다. (풀이) (1) 부재의 자중 계산 자중  = 150  9.81  ⁄  = 1472

(2) 자유물체도 작성 자유물체도 1

분포하중 W = 1472/8 = 184/

자유물체도 2

1. 힘의 평형 4) 평형조건 ① 한 물체의 평형은 그 물체에 작용하고 있는 모든 힘의 합력이 0이어야 한다. ② 또한 평형상태에 있는 물체는 회전하지 않기 때문에 모든 힘에 의한 임의의 점 A에서의 모멘트 합은 0이어야 한다. ③ 따라서 평면력계의 평형조건은 다음과 같다.

∑Fx=0 : 모든 힘의 x방향 직각분력을 합하면 0 이어야 한다. ∑Fy=0 : 모든 힘의 y 방향 직각분력을 합하면 0 이어야 한다. ∑MA=0 : 모든 힘의 임의의 점 A에 대한 모멘트의 합은 0 이어야 한다. ④ 위의 세가지 식을 평면력계의 평형방정식이라고 한다. ⑤ 이 평형방정식을 이용하여 2차원 구조물을 해석한다. ⑥ 역학에서는 이 평형조건과 적용방법에 대한 철저한 이해가 기본이며, 매우 중요함

1. 힘의 평형 ※ 구조물의 평형 ; 구조물에 작용하는 하중에 의하여 구조물이 평형상태를 유지하기 위해서는 구조물이 이동하지도 않고 회전하지도 않아야 한다.

① 구조물이 상∙하(수직)로 이동하지 않는 조건 : ∑  = 0 수직으로 작용하는 하중에 의하여 지점에서는 수직방향의 반력이 발생하여 구조물 상∙하로의 움직임이 없어야 한다.

② 구조물이 좌∙우(수평)로 이동하지 않는 조건 : ∑  = 0 수평으로 작용하는 하중에 의하여 지점에서는 수평방향의 반력이 발생하여 구조물 좌∙우로의 움직임이 없어야 한다.

③ 구조물이 회전하지 않는 조건 : ∑  = 0 회전력(모멘트하중)에 의하여 지점에서는 모멘트반력이 발생하여 회전하지 않아야 한다.

1. 힘의 평형 ※ 구조물의 평형 ; 구조물에 작용하는 하중에 의하여 구조물이 평형상태를 유지하기 위해서는 구조물이 이동하지도 않고 회전하지도 않아야 한다. 조건

① 수직력의 평형

② 수평력의 평형

③ 회전력의 평형

∑ = 0

∑ = 0

∑ = 0

그림

평형조건식

연습문제 2 2. 다음 중 힘의 평형조건으로 가장 적합한 것은? (단, M:모멘트, V:수직력, H:수평력)

①

∑  = 0, ∑  = 0, ∑  = 0

②

∑  = 1, ∑  = 1, ∑  = 1

③

∑  = 0, ∑  = 0, ∑  = 1

④

∑  = 1, ∑  = 1, ∑  = 0

해설 ; 구조물이 평형을 이루기 위한 힘의 평형조건은 구조물이 수직으로 이동하지 않아야 하며(∑  = 0), 수평으로 이동이 없어야(∑  = 0) 할 뿐만 아니라 회전하지도 않아야(∑  = 0) 한다.

1. 힘의 평형 4) 평형조건 ▶ 절점평면력계의 평형 ① 한 점에 작용하는 여러 힘, 즉 절점평면력은 힘의 공통 작용점에서의 모멘트가 항상 0 이다. ② 따라서 절점평면력을 받고 있는 물체는 이 물체에 작용하는 모든 힘의 합력이 0 이면 평형상태에 있다. ③ 즉, 절점평면력계의 평형조건은 다음과 같다.

∑  = , ∑  = 

1. 힘의 평형 4) 평형조건 ▶ 비절점평면력계의 평형 ① 한 점에 작용하지 않는 여러 힘, 즉, 비절점평면력이 작용하는 물체가 평형상태에 있기 위해서는 모든 힘의 합력이 0 이어야 한다. ② 이와 함께 회전에 대한 조건, 즉, 임의의 점에 대한 모멘트의 합도 0 이어야 한다. ③ 따라서 비절점평면력계의 평형조건은 다음과 같다.

∑  = , ∑  = , ∑  = 

연습문제 3 3. 한 점에 작용하는 여러 개의 평면력이 균형을 이룰 수 있는 최소의 조건은?

① ②

∑ = 0 해설

∑ = 0 ; 힘의 평형 3조건은 ∑  = 0, ∑  = 0, ∑  = 0이다.

③

∑  = 0, ∑  = 0

작용점이 같은 한 점에 여러 힘이 작용할 때는 절대로

④

∑  = 0, ∑  = 0, ∑  = 0

회전하지 않으므로, 회전력에 대한 조건이 필요 없게 된다. 따라서, 평형을 위한 최소한의 조건은 ∑ = 0, ∑  = 0면 된다.

연습문제 4 4. 절점이 평형을 이루기 위한 힘 F4의 크기와 방향(각)을 구하여라. (풀이) (1) ∑  = 0 8  cos 30°  12  sin 25°  15  cos 35   cos  = 0  cos  = 10.43 (2) ∑  = 0 8  sin 30°  12  cos 25°  15  sin 35   sin  = 0  sin  = 6.27  =

( cos ) ( sin ) =

tan  =

6.27  sin  =  cos  10.43

(10.43) (6.27) = 12.17  = 31°

연습문제 5 5. 그림과 같이 60kg의 실린더를 지지하기 위해 필요한 케이블 BA와 BC의 장력을 산정하시오. (풀이) (1) ∑  = 0

4   cos 45°  ( )   = 0 5

 = 0.8839

(2) ∑  = 0   sin 45° 

3    (60  9.8) = 0 5

  sin 45° 

3  (0.8839 )  (60  9.8) = 0 5

대입

 = 60  9.8 ()

 = 420  = 476 60  9.8 ()

[자유물체도]

 = 60  9.8 ()

연습문제 6 6. 보의 무게를 무시하고  = 30일 때 점 A와 B에서의 반력을 구하여라.

(풀이) (1) ∑  = 0

 = 0

(2) ∑  = 0 30  2    7  15  10  (15  13) = 0  = 57.86kN (↑) (3) ∑  = 0 30  15  15  57.86   = 0  = 2.14kN(↑)

연습문제 7 7. 다음 내민보를 가진 단순 지지보의 B점에서 반력을 구하여라.

(풀이) (1) ∑  = 0    10  (3/  10  5)  (10  12) = 0  = 27tf (↑)

연습문제 8 8. 그림과 같은 구조물에서 T부재가 받는 힘은?

(풀이) (1) T부재의 분력을 계산하면,

 =  ∙ sin 30°,  =  ∙ cos 30° (2) 구조물이 평형상태이므로 C점에서 모멘트를 계산하면 0이 되어야 한다.

Σ = 0  10 5  ( ∙ sin 30°)(3) = 0  = 33.33

3. 라미의 정리(Lami’s Theorem) 1) 정의 : 세 힘이 서로 평형상태에 있을때 이들 세 힘은 동일 평면상에 있고, 한 점에서 만난다. 2) 표현



 

 



연습문제 9 9. 그림과 같은 구조의 부재 AC의 부재력은? (단, 인장:+, 압축: - ) 풀이)...