4 Unterjährige Verzinsung PDF

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2. Semester...

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Prof. Dr. Kuhne

Unterjährige Verzinsung, stetige Verzinsung, effektiver Jahreszins Gewöhnlich erfolgt die Zinsgutschrift einmal jährlich zum Jahresende, wie dies bei den meisten Geldanlagen der Fall ist. Die dagegen bei vielen Tagesgeldkonten praktizierte mehrmalige Zinsgutschrift im Jahr wird als unterjährige Verzinsung bezeichnet. Hierbei werden Zinsen beispielsweise quartalsweise oder sogar monatlich dem Anleger gutgeschrieben und fortan mitverzinst. Die unterjährige Verzinsung ist daher auch mit einem unterjährigen Zinseszins verbunden, da gutgeschriebene Zinsen weitere Zinsen bewirken. Damit ändert sich die Formel der Zinseszinsrechnung wie folgt:

  

  

Dabei stehen die mathematischen Bezeichnungen für folgende finanzmathematische Sachverhalte: n = Laufzeit in Jahre m = Anzahl der unterjährigen Zinsperioden 1 z = Jahreszinssatz = Anfangskapital = Endkapital nach n Jahren und m unterjährigen Zinsperioden Beispiel 1: Bei jährlicher Verzinsung erhält man aus einem Anfangskapital von 100.000 € nach fünf Jahren bei einem Jahreszinssatz von 6 % 133.822,56 €. Das Endkapital bei monatlicher Verzinsung (m = 12) beträgt hingegen:

  

  

€

Die Berechnung der Laufzeit in Jahren „n“, des Jahreszinssatzes „z“ oder nach dem Anfangskapital erfolgt auf dieser Grundlage ähnlich wie bei der jährlichen Zinseszinsformel. Beispiel 2 (Laufzeit): Ein Anfangskapital in Höhe von 12.000 € wird vierteljährlich zu einem Jahreszinssatz von 6 % verzinst (m = 4). Das Endkapital soll 13.926,50 € betragen. Die Laufzeit in Jahren berechnet sich wie folgt:

  

1

  

  

  

  

  

⇒

Quartal = 4; Monatlich = 12; Wöchentlich = 52; Täglich = 360; stetig =

1

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Beispiel 3 (Jahreszinssatz): Ein Anfangskapital in Höhe von 10.000 € wird drei Jahre lang vierteljährlich verzinst. Das Endkapital soll 11.268 € betragen; somit gilt:

  

  

  

  

  

     

  

Beispiel 4 (Anfangskapital): Ein Endkapital in Höhe von 25.380 € wurde vier Jahre lang vierteljährig zu einem Jahreszinssatz von 6 % verzinst. Wie hoch war das Anfangskapital?

  

   ⇒

Durch die unterjährige Verzinsung wächst angelegtes Kapital noch schneller an, was in der Zinsrechnung auch als unterjähriger Zinseszinseffekt bezeichnet wird. Es stellen sich zwei Fragen: 1. Wie entwickelt Endkapital sich das Endkapital, falls die unterjährigen Zinsperioden wöchentlich, täglich oder sogar unendlich groß werden. 2. Wie hoch müsste der Jahreszins sein, um dasselbe Wachstum eines Kapitals zu erreichen, wie bei der unterjährigen Verzinsung? Damit ist die Frage nach dem effektiven Jahreszinssatz gestellt!

Zu Frage 1: Stetige Verzinsung (Maximale Anzahl an Verzinsungsperioden) Die folgende Abbildung stellt die Entwicklung des Endkapitals in Bezug auf das oben stehende „Beispiel 1“ dar.

2

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Entwicklung des Endkapital bei unterjährigen Zinsperioden 5m Bsp.: K 5m = 100000*(1+6/100m) stetige Verzinsung

134986

tägliche Verzinsung

134983

wöchentliche Verzinsung

134963

monatliche Verzinsung

134885

vierteljährliche Verzinsung

134686

133823

jährliche Verzinsung

Je mehr Zinsgutschriften pro Jahr erfolgen, desto höher ist der Zinsertrag. Der zusätzliche Zinsertrag nimmt jedoch mit zunehmender Anzahl der jährlichen Zinsperioden immer weiter ab und nähert sich einem Grenzwert an, der mathematisch mit Hilfe der Exponentialfunktion berechnet werden kann. Diese Formel bezeichnet man in der Finanzmathematik als stetige Verzinsung. Für die stetige Verzinsung gilt folgender Zusammenhang:

  

  

   

  

  

   

Wichtig!!! Die stetige Verzinsung hat ihre Bedeutung weniger in der Praxis als vielmehr in finanzmathematischen Modellen.

Zu Frage 2: Effizienter Jahreszinssatz Der effektive Jahreszins ist im Kern ein fiktiver jährlicher Zins, der unter Berücksichtigung unterjähriger Zinseffekte sowie sonstiger preisbestimmender Faktoren (z.B. Vermittlungskoten, Bearbeitungsgebühren, usw.) eine Information über den tatsächlichen Preis einer Anlage (oder Kredits) liefern soll. Berücksichtigt man lediglich unterjährige Zinseffekte, lassen sich alle Fragestellungen mit Hilfe der „allgemeinen“, jährlichen Zinseszinsformel berechnen. Es gilt:

Herleitung

   

   

  

   3

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   

   

  

     

      

  

   

Für das „Beispiel 1“ hätte man auch zuerst den effektiven Zinssatz bestimmen können, um dann das Endkapital zu berechnen:

   

   

  

⇒

⇒ €

Der effektive Jahreszins einer stetigen Verzinsung lautet:

   

   

Wichtig!! Der effektive Jahreszins größer als

aus einer unterjährigen Verzinsung kann niemals

werden!

Beispiel 5: Wie hoch ist der effektive Jahreszins bei einem Jahreszinssatz von 6 % und bei stetiger Verzinsung?

Beispiel 6: Welcher Jahreszinssatz liegt bei einer maximalen Anzahl an Verzinsungsperioden dem Effektivzins von 5,12711% zugrunde?

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