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Aula sobre distancia entre um ponto e uma reta...

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Distância entre um ponto e uma reta

A distância entre um ponto P (x 0, y0) e uma reta r, é por definição, a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r.

| PP' |

d=

Seja P (x0, y0) e r: ax + by + c = 0 Calculamos a distância entre o ponto P e a reta r da seguinte maneira: 1º) considere um ponto A (x 1 , y1 ) em r: A

∈

 c = – a x1 – by1

r ⇒ ax1 + by1 + c = 0

PP' 2º) 

A P na direção de é a projeção de  o ângulo entre   temos: AP e n

d=

| PP' | = | AP |

3º) Como

 AP

|cos θ |

n

= (a, b), portanto, sendo θ

| |  AP. n P ||n| |A

AP| = |

=

| |  AP . n |n|

= P – A = (x 0 – x1, y0 – y1) e n = (a, b) decorre

que: d=

| |  AP . n |n|

=

|

|

=

dP, r =

|

( x 0 – x 1 ) a+ ( y 0 – y 1 ) b

√a +b

como c = – a x1 – by1 temos:

2

2

|

|

a x 0+ by 0−ax 1−by 1 √ a2 +b2

axo+by o + c √ a2 +b2

|

Distância entre um ponto e um plano A distância entre P (x 0, y0, z0) e o plano α: ax + by+ cz + d = 0 que contém a reta r, é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre α.

dP,α =

|

ax 0+ by 0+c z 0+ d √ a2 +b2 +c 2

|...