647 Dispense Micro e macromeccanica PDF

Preview

Summary

Download 647 Dispense Micro e macromeccanica PDF

Description

Micromeccanica Il primo passo per la definizione della micromeccanica dei materiali compositi è la definizione dell’Elemento Rappresentativo di Volume (ERV) in modo da rendere il composito, intrinsecamente non omogeneo, macroscopicamente omogeneo. Nella nostra trattazione adotteremo come ERV uno schema meccanico formato da un corpo cilindrico come da figura:

Gli studi mi micromeccanica hanno come fine l’ottenimento dei parametri significativi di una lamina composita unidirezionale a fibre lunghe partendo dalla conoscenza delle caratteristiche omologhe dei suoi costituenti elementari (fibra e matrice). Le ipotesi che stanno alla base della micromeccanica dei compositi sono: 

La lamina è:  Macroscopicamente omogenea  Presenta comportamento lineare elastico  Macroscopicamente ortotropa  Presenta inizialmente uno stato di tensione nullo



Le fibre sono:  Omogenee  Isotrope  Presentano comportamento lineare elastico  Sono disposte con una spaziatura regolare  Sono perfettamente allineate



La matrice è:  Omogenea  Isotropa  A comportamento lineare elastico



L’interfaccia è:  Perfetta  Completa

In base alle ipotesi fatte si può procedere al calcolo dei vari parametri significativi:

Volume, massa e densità

Vcomp  V f  Vm  Vv

Con: 

f per “fibra”



m per “matrice”



v per “vuoto”

In questa trattazione noi trascureremo sempre i vuoti quindi:

Vcomp  V f  Vm

Dividendo tutto per V comp avremo:

V f V m  1

Con V f e V

m

grandezze dimensionali.

Per massa e densità valgono discorsi analoghi:

M comp  M f  M m

M comp

comp 

Vcomp



M f  Mm V comp



 f V f   mV m   f V f  m V m Vcomp

Questa ultima relazione prende il nome di “Regola delle miscele”. Stato di sforzo e deformazione

Per lo sforzo definiamo un valore medio nel volume:

 * 

1 Vcom p V

  dV 

comp

 1     dV    dV  Vcom p V  Vm f

Introducendo i valori medi nelle singole parti come:

 

*

f



 m* 

1 Vf

Vf

1 Vm

Vm

  dV

 dV

Avremo:

 *

 V f  f   V m m *

*

Stesso discorso vale per le deformazioni per cui:

 *

 V f  f



*

 V m  m 

*

Valutazione dei moduli ingegneristici 

Determinazione di E1

Quello in figura è un sistema meccanico in cui fibra e matrice lavorano in “parallelo”, quindi il carico interessa sia la matrice che la fibra in quanto queste ultime debbono restare intimamente connesse.

In base a quanto detto circa la perfetta connessione, la fibra e la matrice subiscono la stessa deformazione assiale, quindi:

comp  m   f   1

Essendo però:

1  V f 

f

 V m m

 i  Ei i Avremo che:

E1 1  V f E f  f  V m Em m

Dividendo ambo i membri per  1   f   m avremo:

E1  V f E f  V m E m

Come è possibile osservare, anche per E1 vale la regola delle miscele.

Esempio

Dati

 V f  60% E  f  240 GPa  E  3GPa  m

E1   240 x0,6  3x0,4  144  1,2  145 ,2GPa

Come si può vedere, in questo caso E1 è praticamente uguale al prodotto tra il modulo della fibra e la sua frazione in volume. Causa l’esiguo valore del modulo della matrice, il contributo di quest’ultima risulta molto limitato. 

Determinazione di E 2

In questo caso in figura è rappresentato un sistema meccanico in cui fibra e matrice lavorano in “serie” :

Fibra e matrice saranno interessate dallo stesso stato di sforzo, ma da differenti deformazioni:

 comp   m   f   2 Essendo però:

 2   com p  V f  f  V m  m

i 

i Ei

Avremo in questo caso:

2 E2

V

f f

Ef

 Vm

m Em

Dividendo ambo i membri per  m   f   2 avremo:

1 V f V m V f E m V mE f    E2 E f Em E mE f

Quindi:

E2 

E mE f V f Em V m E f

Esempio

Dati

E2 

 Vf  60%   E f  240 GPa  E  3GPa  m

240 x3 720   7,5GPa 0,6x 3   0,4 x 240  1,8  96

Si può constatare facilmente che in questo caso il contributo della matrice conta in maniera determinante.



Determinazione del Poisson “maggiore”  12

Si ritorna al modello in “parallelo”, ove lo sforzo è in direzione orizzontale (direzione 1).

Abbiamo in questo caso:

 1   m   f   comp  2   com p  V f  f V m m

Essendo però per definizione:

12  

2 1

Avremo che:

12 

V f  f V m  m

1

 V f  f  V mm

Come è facilmente osservabile, anche per quanto riguarda il modulo di Poisson vale la regola delle miscele. 

Determinazione di G 12

Il modello da considerare per il caso in figura è quello già visto in cui i due costituenti sono in “serie”.

In questo caso avremo che:

 12   comp   m   f  12  V f  f  V m  m

Essendo però:

i 

i Gi

Avremo che:

12 G12

V

f f

Gf

V

m

m Gm

Dividendo per  12   m   f avremo:

1 V f V m V f Gm  V m G f    G12 G f Gm Gm Gf

Quindi:

G 12 

Gm G f V f Gm  V m G f

OSSERVAZIONE

Si ricordi che mentre per i moduli elastici, utilizzando le formule qui viste, si arriva a valori approssimati ma ragionevoli, per quanto riguarda gli sforzi l’uso di regole semplificate, tipo quella delle miscele, porta a valori poco plausibili e non ragionevoli.

Macromeccanica Lo schema concettuale alla base della nostra trattazione segue queste linee guida: 1) Conoscenza delle equazioni costitutive nello spazio 2) Determinazione delle equazioni costitutive nel piano 3) Scrittura delle equazioni costitutive per la lamina nel suo riferimento intrinseco 4) Generalizzazione del risultato ottenuto per sistemi off-axis 5) Utilizzazione dei risultati ottenuti per descrivere la meccanica dei laminati Le leggi costitutive (legge di Hooke) per un materiale qualsiasi, in un riferimento cartesiano ortogonale 1-2-3, si possono scrivere, in campo lineare elastico, nel seguente modo:

 ij  Qijhk hk

Ove:

   3x3    3x3 Queste relazioni possono essere espresse anche in forma matriciale ridotta, nella forma:

 i  Qij j Ove:

   6x1    6x1 Q   6x6 In generale la matrice Q  è definita da:

a) 21 costanti linearmente indipendenti per un materiale generico b) 13 costanti linearmente indipendenti per un materiale che presenti un solo piano di simmetria (monoclino) c) 9 costanti linearmente indipendenti per un materiale che presenti due piani di simmetria (ortotropo). In un sistema piano le costanti si riducono a 4 d) 2 costanti linearmente indipendenti per un materiale avente infiniti piani di simmetria (isotropo) Le relazioni appena viste possono essere scritte anche nella forma   f   :

i  Fij  j

ove F  prende il nome di matrice di flessibilità; si dimostra facilmente che la matrice  F  coincide con l’inversa di Q  infatti:

  Q

 Q 1  Q 1Q    Q 1  F  Q 1

Per esteso queste relazioni assumono la forma:

  1   Q11  Q   2   12    3   Q13       4 23   0    5   13   0      6   12   0

Q12 Q22 Q23

Q13 Q23 Q33

0 0 0

0 0 0

0 0 0 Q44 0 0

0 0 0 0 Q55 0

1 0      2 0    3 0    0  4   23 2  0  5   13 2    Q66  6   12 2 

In via del tutto generale avremo che i vari elementi della matrice Q  dipendono dai vari moduli ingegneristici in modo diverso; volendo fare qualche esempio avremo:

Q11  Q12 

E1 1  12 21 E2 1 12 21

ecc.

Per passare al piano si sopprimono le righe e le colonne 3, 4 e 5 ottenendo:

 1  Q 11 Q 12 0   1        2   Q 12 Q 22 0   2     0 0 Q 66   6   6 

NOTA: Nella definizione si fa riferimento agli assi intrinseci o di ortotropia.

Come è facile osservare nel piano la lamina ortotropa è caratterizzata elasticamente da 4 parametri linearmente indipendenti (Q 11 ,Q 12 ,Q 22 , e Q66 ) esprimibili come ben precise combinazioni lineari dei parametri ingegneristici ( E1 , E 2 , G12 , e 12 ) ottenibili dalle formule della micromeccanica. Vediamo ora cosa succede se si considera un sistema di carico off-axis. Consideriamo il caso in cui tra il riferimento intrinseco 1-2 ed il riferimento generico x-y vi sia un angolo di rotazione pari a  :

 1   1      Con una semplice rotazione di assi posso passare dai vettori   2  e   2  ai vettori       12   12 

 x     y     xy 

 x    e  y .    xy 

Per la trasformazione dei sistemi di riferimento si utilizza la matrice T , matrice 3x3 i cui elementi sono funzioni di  , che in genere viene definita tramite la sua inversa:

T

1

 cos 2     sin 2  sin  cos  

sin 2  cos  2

 sin  cos 

 2 sin  cos    2 sin  cos   cos 2   sin 2  

Definita la matrice T  avremo:

 x   1     1   y   T  2       12   xy   x   1      1   y   T  2       12   xy 

Volendo scrivere le relazioni costitutive nel riferimento generico x-y avremo:  x   x   x      1  y   T QT   y   Q  y       xy   xy   xy

    



Da un punto di vista generale avremo che, al contrario di Q , la matrice Q risulterà in genere piena. Anche in questo caso è possibile definire nel riferimento generico x-y una matrice di flessibilità definita da:

F Q

1

Tale da rendere possibile la scrittura delle leggi costitutive nella forma :  x   x        y   F  y       xy   xy 

Teoria Classica del Laminato Un laminato è composto da un impilaggio ordinato di lamine unidirezionali tali da formare una piastra sottile composita. Le caratteristiche elastiche e meccaniche del laminato dipendono da:

o numero di lamine o caratteristiche elastiche e meccaniche delle singole lamine o angolo formato tra gli assi intrinseci delle singole lamine e quelli del laminato

Facciamo le seguenti ipotesi: 

lamine perfettamente sovrapposte



stato di deformazione piano (  z   xz   yz  0 )



z 0



Ipotesi di Kirchoff (in seguito a flessione le sezioni ruotando si mantengono piane ed ortogonali al piano medio).

Consideriamo il laminato in figura:

Applicando il metodo degli spostamenti avremo che la cinematica è esprimibile come:

 u x, y, z  u o  x, y  z  x  x, y   v x , y , z   v o  x , y   z  y  x , y   w x, y, z  w o x, y 

ove w   x  x  w  y   y

La relazione che esprime w x, y , z  è considerata costante in virtù dell’ipotesi del “piccolo spessore”. Per le deformazioni possiamo scrivere:

2  u u 0  w  z 2 x   x x x  2 v v0  w   z 2 x  y  y y  u v u v  0  0 2 w  z  2       xy y x  y x y x 



 u 0    2 w     2    x   x   2x   v    w  0      y      z  2    0   zk y      y   xy   u 0 v 0   2 w    2  y x   xy  

Considerato il fatto che per ogni k-esima lamina è possibile scrivere:

 k

   

 Q

k

Sostituendo l’espressione di   appena vista avremo:

 k





 Q k 0  z Q k k

Da questa semplice relazione è possibile osservare come gli sforzi varino da lamina a lamina in funzione sia degli angoli sia delle caratteristiche elastiche delle lamine. Analogamente alla teoria della piastra piana isotropa si può passare, mediando sullo spessore che è per definizione piccolo, dalle  alle forze e ai momenti per unità di lunghezza: h  2  N x   x dz   h 2  h 2   N y    y dz  h 2  h 2   N xy   xy dz h  2  h 2   M x   z x dz h  2 h  2  M  z  dz  y  x h 2  h  2  M xy   z xy dz  h 2 

Le forze per unità di lunghezza N x , N y e N xy sono delle sollecitazioni membranali applicate al piano medio mentre i momenti per unità di lunghezza M x , M y e M xy rappresentano rispettivamente due momenti flettenti ed un momento torcente.

Per il particolare tipo di piastra occorre tenere presente che gli integrali sono continui solo nell’ambito di ogni singola lamina quindi ciascuna di queste lamine darà un contributo diverso al calcolo di N  ed M  globali. In generale quindi si dovrà integrare su ogni singola lamina, ciascuna con il proprio spessore, e poi fare una sommatoria.



Sollecitazioni membranali

h

zn 2 N zn N  zn  Nx   x dz     x dz     Q n  0 dz   z Q n kdz  n 1 z n 1  z  zn 1 h n 1  n 1 2





zn zn   Q dz Q k zdz         n 0 n   n 1  zn 1 zn 1   N





Da cui si ottiene:

   z

N

Nx   Q n1

0

n

 

N

n

1 Q n k  z 2n  z 2n 1 n 1 2

 z n1   



Stesso discorso può essere fatto per N y e N xy .

In forma compatta matriciale, la parte membranale può essere scritta come:

N  A0  B k  ove i generici elementi delle matrici A  e B  sono esprimibili come:

N

  z

Aij   Qij n 1

N

 zn 1 

  z

1 Qij n 1 2

Bij  

n

n

2 n

n

 z2 n 1



Come appare evidente quindi, a partire da una sollecitazione membranale posso avere curvature e viceversa. 

Momenti

h

zn zn zn   N   zn 2 Mx   z x dz    z x dz     z Q n  0 dz   z Q n kdz    Q n  0   zdz  Q n k  z 2 dz n 1  n1 zn 1  zn 1 zn 1 zn 1 zn 1 h  n1   2 2

N

Da cui si ottiene:

zn

N









N

Mx   n 1

   z

1 Q 2

n

0

2 n



  k z

N 1  z 2 n 1   Q n 1 3

n

3 n

 z 3n 1



Stesso discorso può essere fatto per M y e M xy .

In forma compatta matriciale la parte relativa ai momenti può essere scritta come:

M   B 0  Dk ove i generici elementi della matrice D  sono esprimibili come:

  z

N 1 Dij   Qij n 1 3

3

n

n

 z3 n 1



In generale quindi, è facile osservare come nell’espressione della matrice A  intervengono gli spessori delle singole lamine, mentre per le matrici B e D  non intervengono i quadrati ed i cubi degli spessori stessi, bensì le sommatorie delle differenze dei quadrati e dei cubi delle quote delle singole lamine. Questa sostanziale differenza ha come effetto che se si hanno sollecitazioni fuori dal piano si possono avere deformazioni nel piano e viceversa. E’ possibile inoltre ricapitolare quanto appena descritto in un’unica formula che è meglio ricordare:  N  A    M  B 

B   0  D  k  

Questa relazione esprime le relazioni costitutive del laminato. Spesso è utile utilizzare l’inverso di questa formula e quindi risulta importante determinarla analiticamente:

In base a quanto visto avremo:

N  A0  B k 

M   B 0   Dk Dalla prima di queste due ultime relazioni possiamo scrivere:

A  1N  0   A 1 B k 

 0   A 1 N   A 1 B k 



Inserendo l’espressione appena trovata per 0  nella seconda equazione avremo:

M   B A1N  B A1 B  Dk  A  A1  B    A 1 B   Pongo  C   B A1  D    B A 1 B   D  





Quindi:

0   AN  Bk M    C N  Dk



k  D 1 M  D1 CN

Sostituendo l’espressione trovata per k  nella prima relazione otteniamo:

 0   A   B D 1 C N  B D 1 M 



 A  A  B  D  1 C    B  B D1  Pongo  C  D1C    D  D1 

Quindi:

  

 0   AN  Bk k  C M  D N  Ordinando il tutto in forma matriciale avremo:

  B N    DM 

 0   A     k   C

Quest’ultima formula rappresenta infine l’inversa delle relazioni costitutive del laminato.

Torniamo ora alle relazioni costitutive del laminato trovate in precedenza ed espresse dalla relazione:  N  A    M  B 

B   0  D  k  

Consideriamo ora tutti i possibili accoppiamenti: a) Immaginiamo di avere solo Nx  0

In base alla relazione costitutiva del laminato avremo che:

N x  A11 0,x  A12 0, y  A16 xy  B11kx  B12ky  B16kxy

Se tutti e 6 i parametri elastici sono diversi da zero, ne consegue una cosa estremamente interessante: da un solo sforzo lungo l’asse x ottengo non solo deformazioni nel piano (come per le piastre isotrope), ma anche una distorsione del piano (due curvature flessionali e la curvatura mista), a causa della presenza dei termini B11 , B12 e B16 ; inoltre il termine A16 accoppia la deformazione nel piano con la deformazione al taglio.

b) Immaginiamo ora di avere solo M x  0

In questo caso avremo:

M x  B11 0 x  B12 0 y  B16 xy  D11k x  D12 k y  D16 kxy

Da un solo momento lungo x, ottengo le due curvature flessionali, come per gli isotropi, mentre D16 accoppia la curvatura flessionale con quella torsionale. La presenza ...