Dispense-3- - dispense di scienza delle costruzioni PDF

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dispense di scienza delle costruzioni...

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1 Il taglio 3 1.1 Stato tensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tensioni tangenziali da taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Campo di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Esempio di calcolo:sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

Il taglio 1.1

Stato tensionale

Si consideri un solido per cui siano valide le ipotesi e il postulato del De Saint Venant. Supponiamo che sulla base del solido z = L agisca una sollecitazione di taglio Ty (il caso con Tx `e equivalente).

Solido alla De Saint Venant.

Supponiamo che la forza di taglio Ty sia applicata in un generico punto sulla base. Scriviamo le equazioni di equilibrio sulla base in z = L: Z N (L) = σ z dA = 0 A

Tx (L) =

Z

τxz dA = 0

A

Ty (L) =

Z

τyz dA

A

Per soddisfare queste equazioni si ha che: 3 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

σz = 0 Capiamo come sono fatte le tensioni tangenziali imponendo le equazioni di equilibrio indefinito (su Ω).  ∂τ xz   ∂z = 0 ∂τyz =0 ∂z   ∂τxz ∂τyz z + ∂σ =0 + ∂y ∂z ∂x  ∂τxz   ∂z = 0 ∂τyz ⇒ =0 ∂z  div(τ ) = 0 z

Ma il campo indivergente delle tensioni tangenziali `e il caso tipico della torsione. Quindi, poich`e taglio e torsione sono due sollecitazioni ben diverse, in qualche punto della trave la σ z deve essere non nulla. Se, infatti, facciamo l’equilibrio del solido, a causa di Ty applicato sulla base z = L nasce sulla base z = 0 un momento flettente Mx0 = −Ty L.

Solido alla De Saint Venant.

Tutte le volte ch si parla di taglio, dobbiamo anche considerare la flessione 1 Si consideri la generica sezione trasversale della trave in corrsipondenza della generica ascissa z. In questa sezione il momento flettente vale: Mx = −Ty (L − z) Nel caso di flessione retta conosciamo lo stato tensionale: σz =

Mx −Ty (L − z) y= y Ix Ix

Riscriviamo la terza equazione di equilibrio indefinito:   ∂σ z ∂ ∂τxz ∂τyz =0 + + ∂z ∂z ∂y ∂x Ricordando che: 1 Dalle

equazioni della linea elastica era stata, infatti, ricavata la relazione tra taglio e momento flettente: M ′ = T .

4 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

(

∂τxz ∂z ∂τyz ∂z

=0 =0

∂ 2 σz =0 ∂z 2 Ci`o significa che la tensione σ z `e una funzione al pi` u lineare in z. ⇒

1.1.1

Centro di taglio

In particolare definiremo taglio puro la sollecitazione di taglio applicata in z = L in un punto tale per cui essa sia ortogonale in energia alla sollecitazione di torsione: a causa di Ty non si devono avere rotazioni torsionali e viceversa. Tale punto e` detto centro di taglio. Calcoliamo la posizione di questo punto, imponendo che il lavoro mutuo tra taglio e torsione sia nullo. LΘTy = 0 Dal caso della torsione il campo di deformazione `e dato dagli scorrimenti:   ∂ω γxz = Θ −y ∂x   ∂ω γyz = Θ +x ∂y Z ⇒ LΘTy = (γxz τxz + γyz τyz ) dΩ Ω

Z 

    ∂ω ∂ω + x τyz dΩ − y τxz + ∂y ∂x Ω     Z  ∂ω ∂ω + x τyz dA − y τxz + ⇒ LΘTy = ΘL ∂y ∂x A  Z   Z ∂ω ∂ω τxz ⇒ LΘTy = ΘL dA + (−yτxz + xτyz ) dA + τzy ∂y ∂x A A ⇒ LΘTy = Θ

Ma possiamo osservare che, guardando la Fig.1.3, e facendo un equilibrio a rotazione:

Equilibrio a rotazione.

5 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

Ty xt =

Z

(−yτxz + xτyz ) dA

A

⇒ Ty xt = − ⇒ Ty xt = −

Z  A

⇒ Ty xt = −

 Z  ∂ω ∂ω dA + τzy τxz ∂y ∂x A

τxz ∂τxz ω ω − ∂x ∂x

Z  A



dA −

Z  A

∂τyz ω τyz ω − ∂y ∂y



dA

 Z ∂τxz ω ∂τyz ω ω · div(τ z ) dA dA + + ∂y ∂x A

Applicando il teorema di Gauss-Green: ⇒ Ty xt = −

Z

Z

(τxz αx τyz αy ) ω ds +

∂A

⇒ Ty xt = −

Z

∂A

A

ω · (τ z · n) ω ds +

Z

A

ω · div(τ z ) dA

ω · div(τ z ) dA

Poich`e per l’equilibrio ai limiti si ha che τ z · n = 0: ⇒ Ty xt =

Z

ω · div(τ z ) dA

A

Dalla terza equazione indefinita di equilibrio ricaviamo: div(τ z ) = −

xt =

R

A

∂σ z ∂ =− ∂z ∂z



Ty (L − z) y Ix

ω · div(τ z ) dA 1 = Ty Ix

Z

A



=

Ty y Ix

ω · y dA

Con una dimostrazione analoga si ha che: yt =

1 Iy

Z

A

ω · x dA

In termini pi` u pratici il centro di taglio pu`o considerarsi come quel punto di applicazione del taglio che non si sposta a causa di eventuali torsioni. Da questa affermazione `e facile dedurre che il centro di taglio coincide con il centro di torsione. Pi` u agevolmente la posizione del centro di taglio CT = (xT , YT ) si pu` o calcolare attraverso l’equilibrio a rotazione sulla sezione delle forze tangenziali ottenuto integrando le tensioni tangenziali da taglio. Nelle successive lezioni verranno svolti degli esercizi a riguardo. Se una sezione ha un asse di simmetria, il centro di taglio si trover` a sicuramente su tale asse. Se una sezione ha doppio asse di simmetria il centro di taglio si trover` a all’intersezione degli assi. 6 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

Centro di taglio.

1.1.2

Tensioni tangenziali da taglio

La sollecitazione da taglio d` a luogo a tensione normale σ z e tensione tangenziale τzx e τzx. Inoltre se il taglio `e applicato nel centro di taglio, non si genera alcuna torsione sulla trave. La tensione σ z `e stata gi` a definita, e dipende dal momento flettente Mx generato da Ty . La determinazione matematica delle tensioni tangenziali risulta essere abbastanza complicata. Per questo motivo ci si accontenta di una soluzione approssimata, che si basa su considerazioni di equilibrio. Si consideri una generica sezione della trave sottoposta a sforzo di taglio. Consideriamo una corda che taglia la sezione B1 B2 in Fig.1.5, dove gli assi x-y sono baricentrici e principali di inerzia.

Corda.

La lunghezza della corda `e pari a B1 B2 = b. Il nostro scopo e` quello di calcolare le tensioni tangenziali medie che agiscono ortogonalmente a tale corda (versore m in Fig.1.5). Il valore della tensione tangenziale media `e pari a: τ zm =

1 b

Z

B2

τzn ds B1

Per una sezione compatta, semplicemente connessa, la corda B1 B2 divide la sezione in due parti di area A’ e A”. Il versore e `e ortogonale al versore m ed individua la direzione della corda. Dalle terza equazione indefinita di equilibrio si ha: divτ z = −

∂σ z ∂z

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Corda.

Poich`e σ z = −

Ty (L−z) Ix

y si ottiene: Ty ) ∂σ z y =− Ix ∂z

Quanto vale la divergenza del vettore τ z ? Relativamente all’area A’ sottesa dalla corda applichiamo il teorema di Gauss-Green: Z Z divτ z dA′ = τ z · m ds ∂A′

A′

Infatti sul contorno esterno di A’, ovvero tutto il contorno di A’ escludendo la corda presa in considerazione, sono valide le equazioni ai limiti per cui τ z · n = 0 sulla superficie laterale (Fig.1.5). Z Z Ty y dA′ = ⇒− τ z · m ds ∂A′ A′ Ix Z B2 Z Ty ′ y dA = ⇒− τ z · m ds = bτz,m A′ Ix B1 ⇒ τzm = −

Ty Sx′ Ix b

Questa equazione e` nota come formula di Jourawski. A tale risultato si arriva, anche, calcolando l’equilibrio di un concio infinitesimo di lunghezza dz. Consideriamo la parte inferiore del concio (il versore m sotteso dalla corda `e, in questo caso, entrante nella parte di area considerata. Scriviamo l’equilibrio a traslazione:  Z B2 Z  Z ∂σ z dz dA − σ z dA + σz + − τzmdz ds = 0 ∂z A′′ A′′ B1 ⇒

Z

B2

A′′

B1

⇒ τzm =

∂σ z dz dA ∂z   ∂ Ty (L − z) y dA − Ix ∂z

τzmdz ds =

Z

1 b

Z

A′′

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Concio di trave.

⇒ τzm =

Ty Sx′′ bIx

Osservazioni: 1 Ix rappresenta l’inerzia di tutta la sezione rispetto all’asse x baricentrico e principale di inerzia. 2 b pu`o variare nella sezione: ad esempio, per una sezione rettangolare `e costante se parallela agli assi principali, in una sezione circolare varia. 3 il segno della formula dipende dal versore che si considera per il calcolo del momento statico: se entrante nell’area sottesa dalla corda la formula di Jourawski `e positiva, se uscente la formula di Jourawski `e negativa. 4 Le tensioni tangenziali τzm possono avere un andamento al pi` u parabolico.

1.2

Campo di deformazione

La trave si defromer` a a flessione inflettendosi, a causa del moemnto flettente. Inoltre a causa del taglio il concio subir` a uno scorrimento dη = ψdz . Gli scorrimenti medi sono pari a: ( X xy Ty x Tx γ xz = XGA + GA X xy Tx y Tx γ yz = GA + XGA Per semplicit` a di trattazione la dimostrazione non `e riportata. Gli scorrimenti medi dipendono dal fattore di taglio e ciascuno scorrimento `e associato ai tagli agenti in entrambe le direzioni principali x e y. I fattori di taglio sono delle propriet`a geometriche delle sezioni e sono adimensionali. Per una sezione rettangolare vale: Z S ′x Xx = dA 2 4 A b Aρx 9 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

Deformazione del concio di trave dovuto a flessione (a) e a taglio (b).

Calcolo fattore di taglio Xx per una sezione rettangolare.

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h4 ρ4x = √ 12 b h2 ( − y2 ) 2 2 A = bh

Sx =

Sostituendo si ottiene Xx = 6/5 ∼ 1.2.

1.3

Lavoro di deformazione

Il lavoro di deformazione e` dato da: Li =

Z

Ω

Φ dΩ =

Z

Ω

σ z2 dΩ + 2E

Z

Ω

2 + τ2 τxz yz 2G

!

dΩ

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1.4

Esempio di calcolo: sezione rettangolare

Si consideri una sezione rettangolare di base b e altezza h, come riportata in Fig.1.10, sottoposta a sollecitazione di taglio Ty. Supponiamo che Ty sia applicato nel centro di taglio, per cui le tensioni tangenziali sulla sezione saranno date solo dal taglio. Il riferimento x-y `e baricentrico e principale di inerzia.

Sezione rettangolare.

Calcoliamo le tensioni tangenziali sulla sezione, dirette come l’asse y, applicando la formula di Jourawski. Ty Sx′′ bIx dove Ty `e il taglio agente; Sx′′ `e il momento statico dell’are sottesa dalla corda sulla quale si vogliono calcolare le tensioni tangenziali; Ix `e l’inerzia della sezione rispetto all’asse x; b `e la lunghezza della corda. Scegliamo una corda B1 B2 lunga b, come riportato in Fig.1.11. τzm = τzy =

Calcolo delle tensioni tangenziali.

L’area sottesa dalla corda la chiamiamo A′′ e il versore normale alla corda m lo consideriamo entrante (associato alla formula di Jourawski con il segno positivo2 ). Calcoliamo il momento statico:      b h2 h h y Sx′′ = A′′ d GA′′ G = b −y = − y2 + 2 4 2 2 4 2 Se si considera un versore uscente dalla sezione A” la formula di Jourawski avr` a il segno negativo, come riportato nelle dimostrazioni

12 VIA DON CARLO GNOCCHI, 3 – 00166 ROMA TEL. 06.45678350 – FAX 06.45678379 – www.unicusano.it - [email protected] P.IVA 09073721004

E’ positivo perch`e la distanza `e positiva. Calcoliamo l’inerzia: Ix =

⇒ τzy =

Ty b2



h2 4

bh3 12 

+ y2

=

3

b bh 12

6Ty bh3



h2 − y2 4



L’andamento delle tensioni tangenziali τzy `e, pertanto, parabolico positivo con valore massimo in corrispondenza del baricentro y = 0. τzy,max =

6Ty h2 3Ty 3Ty Ty 6Ty = 1.5 = = = 2A A 2bh 4bh bh3 4

Diagramma delle tensioni tangenziali.

La soluzione trovata e` una soluzione approssimata, tanto pi` u esatta, quanto pi` u la sezione `e sottile b...