8 - Calcul d\'une médiane PDF

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Note de cours Licence 1 psychologie Université Paris 8...

Description

Calcul d’une médiane La médiane correspond à une modalité qui coupe les observations en deux parties égales. C’est un indice qui permet de résumer une distribution. Elle se calcule sur une variable ordinale ou numérique mais pas sur une variable nominale.

1. Observation directe de la médiane La première procédure est la plus simple, la médiane peut s’observer directement sur le protocole ordonné. Voici le protocole des notes de 13 élèves. Pour ordonner les valeurs, il faut refaire le tableau et écrire les notes de la plus petite à la plus grande. Il faut ensuite compter les lignes.

Le milieu est la 7 ème ligne. Cette 7 ème ligne correspond à la note 13. Cette note 13 est la modalité médiane du protocole ordonné. Il y a autant de valeur aux dessous, c’est-à-dire 6 notes, qu’au dessus, 6 notes aussi.

2. Calcul de la médiane sur une distribution : exemple 1. Soit une variable ordinale comprenant 5 modalités correspondant à très rarement, rarement, parfois, souvent, très souvent et nommées respectivement a, b, c, d et e. Modalités Nom d’échelon Effectif Effectifs cumulés

Très rarement

Rarement

Parfois

Souvent

Très souvent

A

B

C

D

E

5

15

9

8

3

5

20

29

37

40

N=40

A partir de la distribution, on va calculer les effectifs cumulés, pour la modalité « a » on observe 5 ; pour a et b on observe 5+15 donc 20 ; pour b et c on a 20+9

soit 29 ; pour c et d on a 29+8 soit 37 et pour d et e on a 37+3 soit 40 observations. On vérifie que cela correspond à l’effectif total n. La moitié de 40 est 20, la distribution se coupe en deux parties égales, le trait correspond à une coupure. Il y a 20 observations en dessous de la coupure b/c et 20 observations au dessus cette coupure. Cette coupure est donc une coupure médiane. 3. Calcul de la médiane sur une distribution ; exemple 2. Voici une autre distribution avec les mêmes modalités et des effectifs différents. Modalités Nom d’échelon Effectif Effectifs cumulés

Très rarement

Rarement

Parfois

Souvent

Très souvent

A

B

C

D

E

7

13

0

12

8

7

20

20

32

40

N=40

A partir de cette distribution, on calcule comme précédemment les effectifs cumulés, donc 7, puis 7+13=20, puis 20+0=20 ; puis 20+12=32 ; puis 32+8=40. La moitié de 40 est 20, la distribution se coupe en deux parties égales. Il y a 20 observations en dessous de cette intervalle b/c à c/d et 20 observations au dessus de cet intervalle. L’intervalle b/c à c/d est un intervalle médian.

4. Calcul de la médiane sur une distribution ; exemple 3. Voici une autre distribution avec les mêmes modalités et des effectifs différents. Modalités Nom d’échelon Effectif Effectifs cumulés

Très rarement

Rarement

Parfois

Souvent

Très souvent

A

B

C

D

E

7

9

8

12

4

7

16

24

36

40

N=40

A partir de cette distribution, on calcule comme précédemment les effectifs cumulés, donc 7, puis 7+9=16 ; puis 16+8=24 ; puis 24+12=36 ; puis 36+4=40. La moitié des effectifs c'est-à-dire 20 se trouve dans l’échelon c. il y a 16 observations en dessous de cet échelon c et 16 observations au dessus de cet échelon. L’échelon c est médian.

5. Calcul de la médiane sur une distribution : exemple 4. Voici une autre distribution avec les mêmes modalités et des effectifs différents. Modalités Nom d’échelon Effectif

Très rarement

Rarement

Parfois

Souvent

Très souvent

A

B

C

D

E

1

4

21

10

4

N=40

Effectifs 1 5 26 36 40 cumulés A partir de cette distribution, on calcule comme précédemment les effectifs cumulés, donc 1, puis 1+4=5 ; puis 5+21=26 ; puis 26+10=36 ; puis 36+4=40. La moitié des effectifs c'est-à-dire 20 se trouve dans l’échelon c. Il y a 5 observations en dessous de cet échelon c et 15 observations au dessus de cet échelon. L’échelon c est quasi-médian. 20 est plus proche de 15 que de 5, 20 est plus proche de 26 que de 5, donc la coupure c/d est quasi-médiane.

6. Calcul de la médiane sur une distribution : exemple 5. Dans le cas où on ne dispose pas du protocole de base qui permettrait de repérer la médiane sur le protocole rangé, on peut calculer la médiane sur la distribution avec regroupement de classes. Soit la distribution des notes de 24 élèves. Classes

0-2

3-5

6-8

9-11

12-14

1517

18-20

Valeur centrale

1

4

7

10

13

16

19

Effectif

1

1

4

4

7

4

3

Effectifs cumulés

1

2

6

10

17

21

24

N=2 4

Nous calculons les effectifs cumulés comme précédemment, donc 1, puis 1+1=2 ; puis 2+4=6 ; puis 6+4=10 ; puis 10+7=17 ; puis 17+4=21 ; puis 21+3=24. La moitié de 24 est 12, l’effectif 12 est dans l’échelon de notes 12-14. 12 est plus près de 10 que de 17, la coupure entre 9-11 et 12-14 est quasimédiane.

7. Sur une variable numérique : calcul de la médiane par interpolation Classes

0-2

3-5

6-8

9-11

12-14

1517

18-20

Valeur centrale

1

4

7

10

13

16

19

Effectif

1

1

4

4

7

4

3

Effectifs cumulés

1

2

6

10

17

21

24

N=2 4

La limite inférieure de l’échelon quasi-médian est 11,5. L’amplitude de classe médiane est de 3, correspondant aux trois notes 12, 13 et 14. L’effectif de la classe médiane est 7. La formule pour le calcul de la médiane par interpolation est la limite inférieure de la classe médiane (soit 11,5) + la moitié de l’effectif (soit 12) – l’effectif cumulé de la classé précédente (soit 10) x par le rapport d’amplitude de la classe sur l’effectif de la classe médiane (soit 3x7). Cela fait 12,4.

( n2 −Ec ) x na =11,5+ ( 12−10 ) x 37 =12,4

M é diane=Linf +

inf

m

La formule de la médiane par interpolation est donc celle-ci :...