8.Triángulo Isósceles, Equilátero y Rectángulo PDF

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°8

TRIÁNGULO ISÓSCELES EQUILÁTERO Y RECTÁNGULO 1. Objetivo Explicar la teoría sobre el triángulo Isósceles, Equilátero y Rectángulo. 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • •

Conocer la definición de los triángulos Isósceles, Equiláteros y Rectángulos. Deducir las propiedades y teoremas de los triángulos Isósceles, Equiláteros y Rectángulos.

De destreza •

Aplicar las propiedades, postulados y teoremas de los triángulos Isósceles, Equiláteros y Rectángulos en la resolución de problemas.

De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desarrollo de la clase

TRIÁNGULO ISÓSCELES EQUILÁTERO Y RECTÁNGULO 1. Triángulos Isósceles Según la clasificación de los triángulos por sus lados, un triángulo que tiene dos lados iguales se denomina isósceles. Propiedades En un triángulo isósceles, la bisectriz relativa al lado desigual también es mediana, mediatriz y altura del triángulo, así mismo, sobre esta línea (bisectriz) se ubican todos los puntos fundamentales.

𝑆𝑖

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

→

∆𝐴𝐵𝐶 𝐼𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠

1

Corolarios • •

Si los dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos también lo son. Si en un triángulo una línea fundamental representa también otra línea fundamental, entonces el triángulo es isósceles.

TEOREMA 1 Si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos también son congruentes.

H)

 AB ≅  BC

T)

∡𝐴 = ∡𝐶

Demostración  ⊥  𝐴𝐶 1. 𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐷

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶

2. ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐷𝐵𝐶

(𝐻. 𝐶. ) 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑦  𝐵𝐷 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚ú𝑛

3. ∴ ∡𝐴 = ∡𝐶

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (2)

4. Triángulo equilátero Según la clasificación de los triángulos por sus lados, un triángulo que tiene todos los lados iguales se denomina equilátero. Propiedades • •

Todos los ángulos internos iguales (60°) Los cuatro puntos fundamentales son un mismo punto, debido a que cada línea fundamental representa a las 4 líneas fundamentales (mediana, bisectriz, altura y mediatriz).

2

5. Triángulo Rectángulo Por la clasificación de los triángulos según sus ángulos, un triángulo que tiene un ángulo recto (90°) se denomina triángulo rectángulo. Corolarios •

Si el circuncentro es elemento de un lado de un triángulo (ese lado será la hipotenusa del triángulo), se trata de un triángulo rectángulo.

•

Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado, el triángulo es rectángulo.

TEOREMA 2 El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

 H)  𝐴𝐸 ≅ 𝐸𝐶  ≅   T) 𝐵𝐸 𝐴𝐸 ≅ 𝐸𝐶

Demostración  ∥ 𝐴𝐵  1. 𝐸𝐷

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛

 ≅ 𝐷𝐶  2. 𝐵𝐷

𝑃𝑜𝑟 (1), 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎

3. ∆𝐵𝐷𝐸 ≅ ∆𝐶𝐷𝐸

(𝐶. 𝐶. ) 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠,  ED 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚ú𝑛

 ≅ 𝐴𝐸  ≅  𝐸𝐶 4. 𝐵𝐸

𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (3), 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠

4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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