9 Lösung Piezoelektrischer Wandler PDF

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Übung 9 Lösung...

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I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler Lösung - Aufgabe 36 Aufgabenteil a. Typische piezoelektrische Materialien: • Einkristalle: α-Quarz (Natürliche Polarisation) oder • Synthetisch hergestellte Einkristalle: Lithiumniobat (LiN bO3 ) oder Galliumorthophosphat (GaP O4 ) • Polykristalline Keramik: Blei-Zirkonat-Titanat (P ZT ) oder Bariumtitanat (BaT iO3 ) • Teilkristalline Kunststoffe: Polyvinylidenfluorid (P V DF )

Aufgabenteil b. Keramik vs. α-Quarz: • α-Quarz: – monokristallin – rhomboetische Kristallstruktur =⇒ Polarisation erfolgt erst nach Deformation • Keramik – polykristallin – Perovskitstruktur =⇒ ionische Polarisation besteht schon im unverformten Zustand

Aufgabenteil c. Piezoelektrischer Effekt • Direkter Effekt: Infolge von Druck entsteht eine Ladungsverschiebung. Abhängig von der Orientierung des elektrischen Feldes sowie der mechanischen Last ergeben sich zwei Effekte. Beim Längseffekt sind E-Feld und mechanische Spannung parallel

157

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler ausgerichtet. Beim Quereffekt wirken E-Feld und mechanische Spannung senkrecht zueinander. (Sensorbetrieb) • Indirekter Effekt: Durch das Anlegen einer äußeren elektrischen Spannung kann eine Verformung eines piezoelektrischen Materials erzwungen werden. Dies wird inverser piezoelektrischer Effekt oder auch Piezostriktion genannt.

Aufgabenteil d. Es existieren insgesamt 12 piezoelektrische Zustandsgleichungen, welche die elektrischen (Verschiebungsdichte D und E-Feld E) und die mechanischen Größen (Spannung T und Dehnung S) verknüpfen und abhängig von den jeweils relevanten Randbedingungen sind: Dn = ǫTnm · Em + dnj · Tj Si =

sE ij

(I.1) (I.2)

· Tj +dmi · Em

ü ûú ý Hooke

Aufgabenteil e., f. Einsteinsche Summenkonvention: • Elektrische Verschiebungsdichte und E-Feld haben jeweils n = m = 3 Komponenten. • Mechanische Spannung und Dehnung haben jeweils i = j = 6 Komponenten, drei Zug-/Druckspannungsanteile und drei Scherspannungsanteile bzw. drei Transversaldehnungen und drei Schub-/ Torsionsdehnungen. • Summennotation: über gleiche Indices wird jeweils summiert: Dn =

3 Ø

m=1

T Em + ǫnm

6 Ø

dnj · Tj

für n=1, . . . , 3

(I.3)

j=1

Aufgabenteil g. • statistisch verteilte Polarisation • Aufprägung eines äußeren Feldes oberhalb der Curie-Temperatur TC • Wird das keramische Material über die Curie-Temperatur erhitzt (T > TC ), verliert es die piezoelektrischen Eigenschaften. (statistisch unabhängige Verteilung der unterschiedlich polarisierten Gebiete). Anmerkung: Auch bei Quarz ändert sich die Kristallstruktur nach einer Erhitzung über TC .

158

Lösung - Aufgabe 37

Lösung - Aufgabe 37 Aufgabenteil a. • Freier Dickenschwinger y Längseffekt: E ë T • Freier Längsschwinger y Quereffekt: E ⊥ T

Aufgabenteil b.

Längseffekt: D3 = ǫT33 · E3 + d33 · T3

(I.4)

d33 · E3 + sT33

· T3

(I.5)

D3 = ǫT33 · E3 + d31 · T1

(I.6)

S1 = d31 · E3 + sT11 · T1

(I.7)

S3 = Quereffekt:

(I.8)

Aufgabenteil c. Mit den folgenden Zusammenhängen Q A F T = A ξ =d·u D=

(I.9) (I.10) (I.11)

folgt für die integrale Schreibweise der Zustandsgleichungen: Ael Amech ·u+e· ·ξ lel lmech Ael Amech F =e· · u − cE · ·ξ lmech lel Q = ǫs ·

(I.12) (I.13)

Die Wandlerkonstante kann abgeleitet werden, indem zur Schreibweise mit komplexen Amplituden übergegangen wird. Mit Q=

1 1 · i; u → u; F → F ; ξ → ξ = ·v jω jω

(I.14)

159

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler und obigem Zusammenhang folgt für iw und F w Ael Amech · u = iw = e · ·v lel lmech Amech 1 Ael · cE · F+ · v = Fw = e · ·u jω lmech lel

i − jωǫS ·

(I.15) (I.16)

Die gyratorische Wandlerkonstante des Längseffekts kann als Y =

1 l · e A

(I.17)

abgelesen werden.

Aufgabenteil d. Große Aktorausschläge können durch die Erhöhung der Feldkraft realisiert werden. Eine Möglichkeit ist des die el. Spannung zu erhöhen, eine andere Möglichkeit besteht in der Realisierung sehr dünner Aktorelemente, die einen geringen Elektrodenabstand aufweisen. Durch die zusätzliche Kaskadierung einer Vielzahl solcher Aktorelemente (mechanische Reihenschaltung) in einen Aktorstapel können technische nutzbare Auslenkungen erzielt werden. Eine weitere Möglichkeit ist die Bimorphanordnung zweier Piezoelemente in Parallel- oder Serienschaltung (s. Abbildung I.1).

Aufgabenteil e. Der Kopplungsfaktor gibt das Verhältnis von umgewandelter zu zugeführter Energie an: umgewandelte Energie ≤1 aufgenommene Energie Wmechanisch 2 Aktorbetrieb: kA = Welektrisch Welektrisch Sensorbetrieb: k 2S = Wmechanisch k2 =

k33 =

I

0, 1 für Quarz, 0, 7 für PZT

(I.18) (I.19) (I.20) (I.21)

Lösung - Aufgabe 38 Aufgabenteil a., b. Verkittung zweier piezoelektrischer Elemente zu einem Parallel- oder Serienbimorph führt zu einer Verbiegung des Verbundelements (Abb. I.1). 1. Elektrische Parallelschaltung: Die piezoelektrischen Elemente haben die gleiche Polarisation

160

Lösung - Aufgabe 38 2. Elektrische Serienschaltung: Die piezoelektrischen Elemente haben die eine entgegengesetzte Polarisation D3 = ǫT33 · E3 + d31 · T1

(I.22)

d31 · E3 + sT11

(I.23)

S1 =

· T1

 



 



 

  







Abbildung I.1: Bimorphanordnungen

Aufgabenteil c. Die Reihenschaltung hat den Vorteil, dass die mittlere Elektrode nicht kontaktiert werden muss. Allerdings ist die erreichbare elektrische Feldstärke innerhalb einer Schicht nur etwa halb so groß im Vergleich zur Parallelanordnung.

Aufgabenteil d.

Abbildung I.2: Arbeitskennlinien polarisierter PZT-Keramik für T = 0 aus Janocha, Actuators, Springer Verlag, 2004. S bezeichnet die mechanische Dehnung, P die Polarisation und E die elektrische Feldstärke. Maximale Auslenkung durch Betrieb im mechanischer Leerlauf: T = FA = 0 Maximale Kraft durch Betrieb im mechanischer Kurzschluss: S = 0 Abbildung I.2 zeigt exemplarisch Arbeitskennlinien für piezoelektrische Keramik.

161

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler

Lösung - Aufgabe 39 Aufgabenteil a. Nutzung des Quereffekts: S1 = d31 · E3 freies Ende: T1 = 0

(I.24)

Aufgabenteil b. ξ = d31 · E3 lmech

(I.25)

y ξ = d31 · lmech · E3 = d31 ·

lmech ·U lel

(I.26)

Aufgabenteil c. für U = 100 V y ξ = 0, 6 µm

Aufgabenteil d. Gyratorische Verknüpfung: (I.27)

uw = Y · F w 1 iw = · v w Y

(I.28)

Aufgabenteil e., f. 







   





 

  







Abbildung I.3: Netzwerkmodell des piezoelektrischen Wandlers (Gyratorische Verknüpfung).

Ael , mit Ael = D · π · lmech lel lmech π n = s11 · , mit Amech = · (D2 − (D − lel)2 ) 4 Amech

C = ǫ33 ·

Durchführung eines Gedankenexperiments zur Ermittlung der Gesamtladung:

162

(I.29) (I.30)

Lösung - Aufgabe 39 1. mechanisches Festbremsen 2. elektrisches Kurzschließen

zu (1): Ael ·u lel Del = ǫ · E Ael mit Cb = ǫ · für ξ = 0 lel Qel = ǫ ·

(I.31) (I.32) (I.33)

zu (2): Amech ·ξ lmech =e·S

e: piezoel. Kraftkonstante

Qmech = e · Dmech

(I.34) (I.35)

Für die Gesamtladung folgt: ⇒ Q = Qel + Qmech = ǫ ·

Ael Amech ·u+e· ·ξ lel lmech

(I.36) (I.37)

D =ǫ·E +e·S Berechnung der Kräfte für die oben unterschiedenen Fälle: zu (1): Fmech = C ·

Amech · (−ξ) lmech

Tmech = c · S , mit nK =

(I.38) 1 A · C l

(I.39)

zu (2): Ael ·u lel Tel = −e · E

(I.40)

Fel = e ·

(I.41) (I.42)

Für die Gesamtkraft folgt: Ael Amech ·u−C · ·ξ lel lmech c: Federkonstante

⇒ F = Fel + Fmech = e · T =c·S −e·E

(I.43) (I.44)

163

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler Herleitung des Zusammenhangs zwischen mechanischem und elektrischem Teilsystem: Ael Amech ·u+e· ·ξ lel lmech Ael Amech F =e· · u − cE · ·ξ lel lmech Q = ǫs ·

(I.45) (I.46)

Die Wandlerkonstante kann abgeleitet werden, indem zur Schreibweise mit komplexen Amplituden übergegangen wird. Mit Q=

1 1 ·v · i; u → u; F → F ; ξ → ξ = jω jω

(I.47)

und obigem Zusammenhang folgt für iw und F w Ael Amech · u = iw = e · ·v lel lmech Ael 1 Amech · v = Fw = e · F+ ·u · cE · lmech lel jω

i − jωǫS ·

(I.48) (I.49)

Die gyratorische Wandlerkonstante des Längseffekts kann als Y =

1 l · e A

(I.50)

abgelesen werden.

Lösung - Aufgabe 40 Aufgabenteil a. Erfassung der Auslenkung (Sensoranwendung)

Aufgabenteil b. Siehe Abbildung I.1.

Aufgabenteil c. Quarz: Das Übertragungsverhalten ist hoch linear und es tritt keine Hysterese auf. Die piezoelektrischen Koeffizienten sind langzeitstabil. Nachteilig ist der geringe Kopplungsfaktor k von etwa 0,1, welcher den Quotienten aus der umgewandelten und der aufgenommenen Energie beschreibt. Keramik: Die Polarisation wird im Herstellungsprozess künstlich erzeugt. Vorteilhaft bei diesem Material ist der bis zu 7-mal größere Kopplungsfaktor als bei Quarz. Nachteilig ist jedoch das nichtlineare und hysteresebehaftete Übertragungsverhalten sowie die geringe Langzeitstabilität. Das Material neigt zur Depolarisation. Präzisionsmessung ⇒ Quarz.

164

Lösung - Aufgabe 41

Aufgabenteil d. Vorgehen: vgl. Aufgabe 39, Aufgabenteil c.

Aufgabenteil e. Hohe Steifigkeit der Bimorphelemente.

Lösung - Aufgabe 41 Aufgabenteil a. Funktionsweise: Die durch die seismische Masse erzeugte Kraft F0 = m · a0 wirkt auf ein piezoelektrisches Dickenelement aus PZT-4-Keramik und bewirkt die über den Eingangswiderstand R der Sensorelektronik messbare Spannung u. Als Nachgiebigkeit wird nur die der Keramik nK berücksichtigt, d.h. Kontaktnachgiebigkeiten zwischen Masse m und Keramik bzw. Gehäuseboden werden vernachlässigt.

Aufgabenteil b.



  

   







Abbildung I.4: Vierpolersatzschaltbild des piezoelektrischen Beschleunigungssensors (s. auch Abbildung I.3).

165

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler

Aufgabenteil c. , d.

m nK

v0

v0 =

v

iW Cb R

FW r

F 01 GGH Y

I 0 JJ K

Y

u

a0 piezoelektrischerWandler j w Y = 1,7 m × A -1 × s-1

CK

Abbildung I.5: Ergänzte Wandlerersatzschaltung, Ableitung der Wandlerbauelemente

Aufgabenteil e. 







     

     

 











     

Abbildung I.6: Netzwerkmodell mit Wandlervierpol (links) und nach Transformation auf die elektrische Seite (rechts).

166

Lösung - Aufgabe 41

Aufgabenteil f. , g. Abbildung I.7. tiefeFrequenzen

u0

hoheFrequenzen

Cn

Cb = 0,59 nF

C

C = 0, 69 nF Cn = 0,14 nF

u

R

Lm

Rr

Cn

u0

u

C

Lm = 28, 9 mH B a1 =

b

g

j w w1 Cn Y×m C + Cn 1+ j w w 1

b g jbw w g =B 1 + j bw w g

B a2 = B0

b

1 + j w w0

1

0

g

1 1 - w w0 Q

b

g

2

1

w1 =

1 R C + Cn

b

w 02 =

g

20 lg

b

g

f 0 = 96,5 kHz

f1 = 1, 9 Hz

B

1 1 + Cn C Lm × Cn

B0 = 2 ,9

B0

mV m × s -2

Q=

20 lgQ

0

1 + Cn C w 0 × Rr × Cn

-40dB 20dB

b

lg w1 w0

g

Dekade

Dekade

0

b

lg w w 0

g

Abbildung I.7: Herleitung der Übertragungsfunktion und Fallunterscheidung für hohe und tiefe Frequenzen.

167

I Themengebiet 9 - Piezoelektrischer Wandler

Lösung - Aufgabe 42

Aufgabenteil a.

Siehe Abbildung I.8.

Ersatzschaltung:

qW

a)

1 v= q A W v F =A p

pW

N

N a1

iW

FW u =Y F W

v

r m

W

Z a1 p0

nM

F

iW= nK

uL qW

Z a1 p0

Ma =

Z a1 p0

r

m A

2

p

=

nM

n C = Y 2 ×C b

nK

123 nB 14 4244 3 n ×n n = M B n M +n B

Z a2 =

N × N a*2 N a2 = a * 644744 8N a + N a 2

r A2 N

N a1

B

m

a

= n ×A

N a*2

2

qW

q x uL 1 1 1 × = × × W = j w A Y × Cb p p Y × Cb p 0

0

0

Abbildung I.8: Netzwerkmodell des piezoelektrischen Mikrofons

168

CK

1 1 iW , iW = v Y jwC b 1 x = Y ×C b

FW

N a*2

N a1

c)

=uL

F 1 v = qW v A F =A p W

pW

1 v Cb Y

uL =

* a2

b) fürelektrischenLeerlauf: u

R

u

Lösung - Aufgabe 42

Aufgabenteil b. Aus der Netzwerkanalyse in Bild I.8 folgt: qW jωNa2 = ω 1 ω 1 a2 1 p0 (1 + j ω0 Q1 )(1 + j ω0 Q2 − (ωω0 )2 ) + j ωω0 N N a1 Q1

(I.51)

mit ω02 =

1 1 1 , Q1 = , Q2 = Ma Na2 ω0 Na1 Za1 ω0 Na2 Za2

(I.52)

Die Übertragungsfunktion B p erhält man mit: B p = uL /p0 = Unter der Annahme B p ≈ B0

qW 1 . jωAY Cb p0 1 Q1...