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trabalho de conclusão de curso ...

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DIRETORIA DE ENSINO DEPARTAMENTO DE ENSINO MÉDIO E LICENCIATURAS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Francisco Celiano Alves Pinheiro

A utilização do Sudoku como um aparato didático no aprendizado da Matemática

FORTALEZA Julho de 2017

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Instituto Federal do Ceará - IFCE Sistema de Bibliotecas - SIBI Ficha catalográfica elaborada pelo SIBI/IFCE, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) P654u

Pinheiro, Francisco Celiano Alves. A Utilização do sudoku como um aparato no aprendizado da matemática / Francisco Celiano Alves Pinheiro. - 2017. 28 f. : il. Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) Instituto Federal do Ceará, Licenciatura em Matemática, Campus Fortaleza, 2017. Orientação: Prof. Dr. Natal Lânia Roque Fernandes. 1. Ensino de Matemática. 2. Sudoku. 3. Raciocínio Lógico. I. Titulo.

CDD 510

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RESUMO Neste trabalho estudamos o jogo Sudoku, sua origem através do quadrado mágico. O Sudoku possui a mesma base lógica dos quadrados mágicos com o uso dos algarismos de 1 a 9 em cada uma das células vazias, numa matriz de 9x9 com divisões de 9 subgrades 3x3, 9 linhas e 9 colunas. Destaca-se também sua história desde os primórdios dos quadrados mágicos (latinos), que se enraizou até no misticismo cultural oriental com a lenda do quadrado mágico que apareceu no casco da tartaruga divina ao Imperador Chinês nas margens do rio Luo, afluente do rio Amarelo. A história de como o Sudoku tornou-se um dos maiores passatempo da atualidade, e sua importância na participação do aprendizado matemático através de uma pesquisa e análise bibliográfica. No que diz respeito ao aprendizado matemático é destacado a importância desse aparato em sala de aula através de pesquisas bibliográficas, pelas pesquisas fica evidenciado o êxito positivo na melhoria do aprendizado e no interesse pela matemática por parte do aluno. Através desse trabalho constatamos o quanto é gratificante a utilização do Sudoku em sala de aula para o aprendizado matemático.

Palavra chave: Sudoku, ensino de matemática, racíocinio lógico

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SUMÁRIO 1 Introdução....................................................................................................... 5 2 O Sodoku........................................................................................................ 7 2.1 Origens do Sudoku........................................................................................ 7 2.2 Informações sobre o Sudoku........................................................................10 2.3 A Matemática do Sudoku..............................................................................11 3 Típicos erros nas jogadas do Sudoku........................................................14 4 Métodos para a solução do Sudoku...........................................................15 4.1 Método da casa Forçada.............................................................................16 4.2 Método da casa única................................................................................. 17 4.3 Simplificação das gamas de possibilidade..................................................18 4.4 Tentativas e erros....................................................................................... 21 5 Sudoku na educação....................................................................................21 6 Conclusão..................................................................................................... 25 7 Referências Bibliográficas......................................................................... 27

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1.Introdução Este trabalho tem a finalidade de analisar a utilização do Sudoku como um aparato que contribui para o desenvolvimento das capacidades cognitivas como também para desenvolvimento do raciocínio matemático do aluno. O estudo originouse na constatação, em nossa prática escolar, de dificuldades dos alunos na aprendizagem da matemática e de resistência por parte de alguns professores e de coordenadores em utilizar jogos em sala de aula. Observamos durante planejamento de nossas aulas na escola que tal resistência assenta-se na não aceitação desses profissionais em conceber o jogo educativo como uma ferramenta para o aprendizado matemático, principalmente para as turmas de ensino médio. Dados estatísticos dos últimos quatro anos da corrente década, comprovam a existência de dificuldades na aprendizagem da matemática na escola. Levantamento feito pelo Movimento Todos Pela Educação (TPE) com base na proficiência dos alunos nas avaliações da Prova Brasil e do Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) realizadas em 2013 mostra que somente 9,3% dos alunos do 3º ano do Ensino Médio aprenderam o considerado adequado pelo movimento em Matemática Todos pela educação (2014). Essa realidade poderá influenciar de modo desastroso no quotidiano, no trabalho e na vida de alguns alunos que frequentam esse nível de ensino. Vemos essa influência nas escolhas ou nas consequência das futuras carreiras profissionais as quais exigem conhecimento matemático. Alguns sujeitos podem não se destacar ou progredir na carreira profissional, por não ter o domínio do conhecimento matemático. Além de ter dificuldade no mercado de trabalho, alguns dificilmente conseguem entrar em uma universidade ou quando entram enfrentam grandes dificuldades em disciplina(s) das áreas de exatas, algumas vezes chegam a não concluir o curso superior. Os fatos acima expostos despertaram em nós o desejo de aprofundar o conhecimento em jogos que auxiliam na capacidade dos alunos na prática escolar, principalmente, na aprendizagem da matemática para identificar quais as contribuições de jogos educativos para o desenvolvimento do conhecimento matemático dos alunos do Ensino Médio. Dentre os jogos educativos, escolhemos o Sudoku, que é um puzlle, ou seja, um jogo de tabuleiro. A escolha do Sudoku, dentre outros jogos, deu-se a partir de nossa prática docente pela qual percebemos a facilidade de assimilação dos

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estudantes com esse tipo de jogo. Tal facilidade fez-nos considerar o Sudoku como um mecanismo para aproximar o aluno com a disciplina matemática. Com base nos pressupostos e com o objetivo de compreender as contribuições do jogo Sudoku para o aprendizado da matemática, realizamos uma pesquisa bibliográfica que procurou reunir informações detalhadas com a finalidade de trazer conhecimento sobre o assunto. Essa pesquisa tem como finalidade investigar as diferentes contribuições cientificas sobre um determinado tema, no caso de trabalho a contribuição do Sudoku no aprendizado matemático, A partir dos estudos efetuados, organizamos o presente artigo da seguinte forma: a primeira parte de trabalho aborda aspectos da história desse jogo, sua origem, seu apogeu, sua entrada no Brasil. A segunda parte, a definição do que vem a ser o jogo Sudoku. A terceira parte, métodos de resolução de jogo e seus aspectos. A quarta parte, a contribuição do Sudoku no aprendizado da matemática em sala de aula. E, por fim, a conclusão. Alguns estudos (RIBEIRO (1999) e SMOLE,2007) informam que esse tipo de jogo contribui para desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno, pois implica estimulação de processos cognitivos como classificar (colocar) novos eventos em esquemas existentes. No caso do Sudoku, tais esquemas referem-se à colocação dos algarismos de 1 a 9 de forma que não ocorra uma repetição de um mesmo algarismo na linha, coluna ou quadrado 3 x 3 específico. Supõe-se que tal ação demanda que o indivíduo capte o ambiente do jogo e o organize, possibilitando assim a ampliação de seus esquemas cognitivos.

2. O Sudoku 2.1 Origens do sudoku Os estudos sobre os quadrados latinos, como os de Howard Eves (2004), Carl B. Boyer (1996) demonstram que o Sudoku vem da evolução de muitos jogos de tempos bem mais antigos. No século XVIII, quando o matemático e físico, o suíço Leonhard 7

Euler (1707-1783) inventou o quadrado latino ou grecoromano. Um quadrado latino de ordem n é uma matriz n × n preenchida com n diferentes símbolos de tal maneira que ocorra a presença de símbolo no máximo uma vez em cada linha ou coluna. Um Sudoku padrão se assemelha a um quadrado latino de ordem 9, diferindo apenas por conta da exigência de nove sub-grades, de nove casas que contenham os números de 1 a 9.

Figura 1 – Quadrado latino de ordem 4

Fonte:http://cienciadegaragem.blogspot.com.br/ (2015)

Outro antecessor ao sudoku foram os quadrados mágicos; no caso dos quadrados mágicos, o preenchimento dos números ocorrem de tal maneira que a soma desses números em qualquer linha, coluna ou na diagonal principal resultem sempre no mesmo valor. Esse número (produto) que já era conhecido por Euler é dado pela equação n(n² +1)/2, sendo n o número de linha ou coluna. Essa equação é chamada de constante mágica dos quadrados mágicos. Apesar de se atribuir a constante mágica a Euler, o primeiro registro que se tem notícia de quadrados mágicos é na China com aproximadamente 4 mil anos de história. Lembrando que quadrados mágicos, um mesmo número corresponde à soma dos algarismos de cada linha, coluna e diagonal o que diferencia dos quadrados latinos, nos quadrados latinos não se pode ter repetição de símbolo ou algarismo em suas linhas ou colunas. Numa abordagem da matemática chinesa antiga podemos mencionar o quadrado mágico chamado Lo Shu.

Um dos clássicos matemáticos chineses bem antigo é o I King ou o livro das Permutações. No I King aparece um diagrama numérico conhecido como Lo Shu. Tratase do mais antigo quadrado mágico conhecido. Há uma lenda que diz que o primeiro a presenciar foi o imperador chinês Yu, por volta de 2200 a.C. quando estava decorando 8

uma carapaça de uma tartaruga divina que lhe apareceu às margens do rio Luo, afluente do rio Amarelo. Conforme demonstra, Eves (2004), a figura abaixo é um arranjo de quadrados de numerais expressos por nós em cordas; os nós pretos representam os números pares e o nós brancos os números ímpares. Vendo as duas figuras, a primeira um esboço numérico (Lo shu) dos nós encontrado na casca da tartaruga divina no rio Luo.

Figura 2– Tartaruga divina

Fonte: Eves(2004)

De acordo com Arsie (2010) no final do século XIX, passatempos com números começaram a ser veiculados nos jornais franceses. O Sudoku atual estava quase pronto em 1892, quando o diário parisiense Le Siècle (o século) publicou o primeiro quadrado mágico 9x9, dividido em quadrantes de 3x3. O primeiro passatempo desse tipo surgiu em 1979 numa revista americana. O jogo foi publicado com o nome de Number Place (lugar dos números). Esse tipo de passatempo que envolve os quadrados latinos de Euler surgiu em 1979 numa revista americana e, de acordo com uma pesquisa realizada pelo New York Times, teria sido criado pelo arquiteto Howard Grans, de 74 anos, na época era chamado Numbler place (placa de números). HowardGrans morreu sem poder testemunhar o sucesso de sua invenção. Ele era criador independente de puzzles para a revista norte americana Math Puzzles and Logic Problem. 9

Em 1984, a Nikoli, maior empresa japonesa de quebra-cabeças, descobriu o Number Place, nomeando-o de Sudoku, que é uma forma de abreviar uma frase em japonês, que traduzida significa, os dígitos devem permanecer únicos (Sūji wa dokushin de iru hitsuyō ga arimasu). A revista registrou o nome e, por isso, outras editoras locais passaram a usar a expressão Number Place. O curioso é que os japoneses se referem ao jogo pelo nome em inglês, enquanto os falantes de inglês adotaram o termo em japonês. Em 1986, depois de estudos dos níveis de dificuldade e na distribuição dos números, o sudoku se tornou o jogo mais vendido do Japão.

O juiz aposentado, Wayne Gould, de Hong Kong, em 1997, em visita ao Japão, conheceu o Sudoku. Durante seis anos Wayne Gould desenvolveu um programa de computador chamado Pappocom Sudoku que poderia produzir em massa quebra cabeças para o mercado. No fim de 2004, o Times de Londres aceitou uma proposta do juiz Gould para publicar o Sudoku. Desde então, jornais do mundo todo passaram a editar o passatempo. O Sudoku, no Brasil, é publicado pelas Revistas Coquetel (Ediouro) desde 2005.

2.2 Características do Sudoku O sudoku é típico desafio lógico (ou puzzle) jogado em um quadro formado por 9 linhas e 9 colunas, totalizando 81 quadradinhos (casas) nos cruzamentos dessas linhas com colunas. Existem também nove regiões 3x3 demarcadas. Existem inúmeras variações, incluindo quadros com maiores ou menores números de linhas e colunas, dependendo do nível do jogo e colocado em quantidade específica de algarismo de 1 a 9 nos respectivos quadradinhos (casas). A ideia do jogo é completar todos os 81 quadrados utilizando números de 1 a 9. Para completá-los, seguem-se três regras, a saber: 10

1.Nas nove linhas horizontais, não pode haver números repetidos.

2.Nas nove linhas verticais, não pode haver números repetidos.

3.Nas nove subgrades, não pode haver números repetidos.

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2.3 A Matemática do Sudoku

Uma pergunta que envolve a Matemática e o Sudoku é: Qual o total de jogos de Sudoku é possível reformular? Por causa da exigência das subgrades 3 x 3, conforme demonstrado no tópico anterior, a quantidade de sudoku formados é menor do que o número de possibilidades de quadrados latinos. De acordo com a publicação brasileira da Scientific American (2016), existem apenas 12 quadrados latinos de ordem 3 e 575 de ordem 4, mas 5.524.751.496.156.892.842.531.225.600 de ordem 9. Tomando como base o estudo das estruturas algébricas e em específico a teoria dos grupos a qual comprova que um quadrado que deriva de outro é equivalente ao original, verificamos que se trocarmos todos os números de forma sistemática (por exemplo, o 1 pelo 2, o 2 pelo 3 e assim por diante), ou se invertermos duas linhas ou duas colunas, os resultados finais serão, em essência, os mesmos. Reduzindo todas as formas semelhantes e considerando apenas as formas reduzidas, ou seja, desconsiderando todas aquelas em que trocarmos os números em formas sistemáticas ou

linhas,

colunas

o

número

de

quadrados

latinos

de

ordem

9

é

377.597.570.964.258.8161. Por se tratar de uma quantidade que possui um número

Valor publicado em Discrete Mathematics, em 1975, por Stanley E. Bammel e Jerome Rothstein, na época pesquisadores da Universidade do Estado do Ohio 1

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considerado de algarismos grandes, a determinação do número exato de quadrados de Sudoku tornou-se um desafio, visto que existem vários formatos de sudoku, como exemplo o sudoku de ordem 12,16... e o Sudoku samurai. O Sudoku samurai é composto de 5 Sudokus, no qual um Sudoku central está em intersecção com os outros 4 Sudokus, como exibido na figura a abaixo. Figura 3- Sudoku samurai

Fonte: The Washington post(2015).

De acordo com a renomada publicação da Scientfic American Brasil, sabe-se que atualmente com o uso da lógica e de computadores foi possível calcular o número de quadrados de Sudoku da ordem 9x9 válidos: Há aproximadamente 6,67. 1021 jogos. O resultado foi obtido por Bertram Felgenhauer, da Universidade Técnica de Dresden, Alemanha, e por Frazer Jarvis, da Universidade de Sheffield, Inglaterra, e confirmado diversas vezes.

Porém, pela teoria dos grupos, contando apenas uma vez os

quadrados que podem ser reduzidos a uma configuração equivalente, o número final cai para 5.472.730.538. Apesar de número bem menor os amantes do Sudoku não precisam temer seu fim pois dificilmente um ser humano resolveria 1% de todos os Uma pergunta com teor matemático envolvendo o Sudoku, mas que continua sem resposta é relativa à minimalidade. Qual deve ser a menor quantidade de algarismos do quadrado inicial para que exista uma única solução? A resposta também é citada na mesma publicação da Scientfic American, a solução mais provável é 17 elementos. De acordo com o australiano Gordon Royle (2001), professor da escola de matemática e estatística da 13

Universidade de Western Austrália (School of Mathematics and Statistics at The University of Western Australia) coletou mais de 38 mil exemplos de quadrados que satisfazem

esse critério de minimalidade.Gary McGuire, da Universidade Nacional da Irlanda, em Maynooth, coordena estudos em busca de um quadrado inicial com 16 elementos, mas até agora não identificou nenhum. Aparentemente, ele não existe. Por outro lado, Gordon Royle e outros pesquisadores que trabalham independentemente nessa área conseguiram encontrar um que apresenta apenas duas soluções. O que os matemáticos já conhecem é a resposta para o problema da maximalidade, ou seja, a quantidade máxima de elementos para que possua uma única solução. A resposta para essa pergunta é 77 elementos. É possível observar que com 80, 79 ou 78 elementos, se houver solução, ela é única. Mas o mesmo não pode ser dito para 77.

3. Típicos erros nas jogadas do Sudoku Quando realizar uma jogada, há uma necessidade de se analisar se a jogada está certa; verificando-se a presença dos seguintes erros:

1.Repetição de um mesmo algarismo em qualquer subgrade 3x3

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O algarismo 1 está repetindo na 6ª subgrade 3x3.

2. Repetição de um mesmo algarismo em qualquer linha vertical (coluna) e/ou linha horizontal

O algarismo 2 está repetido na 7ª linha vertical(coluna) e/ou na 5ª linha horizontal

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4. Métodos para a solução do sudoku Apresentamos aqui algumas maneiras de solucionar um sudoku. Começaremos com os métodos mais usados por muitos jogadores: o da casa forçada e o da casa única, esse método é preferencialmente usado para Sudokus de níveis fácil e médio. Para o caso dos Sudokus de níveis difícil e acima em que a solução seja mais difícil de encontrar é aconselhável o uso do método das gamas de possibilidades; mas no caso também do método das gamas de possibilidade também deixar o Sudoku incompleto usa-se método de tentativa e erro, que sempre funciona, no entanto, é o que exige mais raciocínio e paciência do jogador. Para a explicação desses métodos de solução utilizaremos um Sudoku de patrão 9x9 de nível médio, conforme a figura seguinte:

Figura 3- Sudoku

Fonte: http://www.a77.com.br/sudoku/sudoku_para_imprimir.php

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4.1 Método da casa Forçada Nesse método, eliminam-se os outros algarismos que aparecem na mesma coluna, ou na mesma linha ou na mesma subgrade. Ao eliminar os outros algarismos que aparecem na mesma coluna, na mesma linha ou na mesma subgrade, é possível que sobre uma única possibilidade de algarismo, com a qual o(a) quadradinho(casa) que se encontram em branco deve ser preenchida por esse determinado algarismo. Por exemplo: Na figura abaixo nós temos um sudoku com 9 colunas e 9 subgrades. Adotando como referência a subgrade 1, formada pelas colunas 1,2 e 3, podemos notar a falta dos algarismos 1,2,5,7 e 9.Para iniciarmos a resolução, tomamos como exemplo a casa fixa que esta localizada na coluna 3 e linha 2, da subgrade em referência. Observandose que na coluna 1 existe o algarismo 5 na subgrade 7, e na coluna 2 possui o algarismo 5 na subgrade 4, eliminamos, assim, 4 possibilidades de preenchimento do algarismo 5 nesta subgrade, pois suas respectivas colunas já possuem o algarismo 5, deixando uma única possibilidade de preenchimento deste algarismo na coluna 3. Como mostra a figura abaixo.

Tal análise também pode ser feita em linhas, observando a linha 9 no sudoku vimos que nela faltam os algarismos 4,5,7 e 8; mas por eliminação o algarismo 5 só pode estar na subgrade 9, pois as subgrades 7 e 8 já possuem o algarismo 5 respectivamente nas linhas 8 e 7, logo o 5 estará na subgrade 9. Assim, subgrade 1 e a linha 9 podem ser resolvidas pelo método das casas forçadas.

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4.2 Mét...