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3.2. ACTIVIDADES. Ejercicios propuestos. 1- hallar f  g , f .g , f / g de las siguientes funciones:  3x  1, x     , 8  g ( x)   3 x  10 ,    3x  2 x  1, x   1,   f ( x)   2  x  2, x    , 0  a) x     ,10  x  10 ,    7, f ( x)    x  1, b)  x  1 , x    1...

Description

3.2.2. ACTIVIDADES. Ejercicios propuestos. 1- hallar f  g ,

f .g ,

f / g de las siguientes funciones:

a)

 2x  1, x   1,   f (x )   2  x  2, x    , 0 

b)

x     ,10   7, f ( x)   x x   10 ,    1 , 

3x  1, x     , 8  g (x)   3 x   10 ,    3x

x 1  1 3 x  1, g ( x)    3 ,   , x x   x 1 , x  1,  g ( x)   2  x 1, x    , 1 

2  x  1,   x , f ( x)     x  1 , x     ,1

c)

 x2 ,  f ( x)   2 x , 2 x 2 2 , 

d)

 x 2  x , x   8 , 4    g( x)    x  3 , x   4 , 0  x2  2 , x   0, 3   

x    10 ,  7  x   4,0  x  0 , 8 

DESARROLLO: a)

x   1,   x    ,0 

 2x  1, f ( x)   2  x  2,

 3x  1, x     , 8  g( x)   3 x  10 ,    3x

f g

Calculamos el dominio de cada función:

D f    , 0  U Dg     ,8  U

 1,   10 ,  

Ahora interceptamos los dominios: D f  Dg   ,0  1,8  10,

Si x   , 0 , Si x  1, 8 ,

f ( x )  g ( x )  x2  x 1

f (x ) g (x )  5x  2

Si x  10,  ,

f (x ) g (x ) 3x3  2x 1

Entonces :

 f  g  ( x) 

x2  x  1

, x 0

5x  2

, 1 x  8

3x  2 x  1 , x  10 3

f .g

Calculamos el dominio de cada función:

D f    , 0  U Dg     ,8  U

 1,   10 ,  

Ahora interceptamos los dominio s : D f .g  D f  Dg   , 0  1,8   10,   Ahora definimos el producto de cada intervalo:

Si x  0,

( f .g )(x )  f (x ).g ( x )  3 x3  x2  6 x  2

Si 1  x  8, ( f .g )( x)  f ( x). g ( x)  6 x2  x  1 Si x  10,

( f .g )( x )  f (x ).g ( x )  2 x 4  x 3

Luego el producto (f.g)(x) es:

 f .g  ( x) 

3 x3  x2  6 x 2 , x 0 6x 2  x  1

, 1 x  8

2x  x

, x  10

4

3

f /g

Calculamos el dominio de cada función:

D f    , 0  U Dg     ,8  U

 1,    10 ,  

Calculamos el dominio de cada función : D f / g  (D f  D g )  (x  D g / g (x )  0)   , 0   1,8  10,  D f / g   , 0  1,8  10,    {1/ 3} Luego el cociente (f/g)(x) es:

 x2   f ( ) x    (3x  1)   g  2 (2 x 1)(3 x  1) 3

x 2 x 1

b) f ( x)   7,

 x 1,

; x  0, x   1 / 3 ; 1  x 8 ; x  10

x     ,10  x  10 ,  

3 x  1, g ( x)    x,

f g

Calculamos el dominio de cada función:

Df     ,10  U Dg   0, 2 U

 10 ,   3, 

Ahora interceptamos los dominios: Df g  (D f  Dg )   0, 2   3 , 10   10 ,



x 1  1 x  3 ,  

Luego la suma (f+g)(x) es:

 f  g  (x ) 

3x  6

; 0 x  2

4x  2 2x  1

; 3  x  10 ; x  10

f .g

Calculamos el dominio de cada función:

Df     ,10  U Dg   0, 2 U

 10 ,   3, 

Ahora interceptamos los dominios: Df .g  (Df  Dg )   0, 2   3 ,10   10 , 

Luego el producto (f.g)(x) es:

 f .g  ( x) 

21x 7

; 0  x 2

3 x2  4 x  1

; 3  x  10

x x

; x  10

2

f /g

Calculamos el dominio de cada función:

Df     ,10  U Dg   0, 2 U

 10 ,   3, 

Ahora interceptamos los dominios:

D f / g  (D f  D g )  (x  D g / g (x )  0) D f / g   0, 2   3 , 10   10 ,   {1/ 3}

Luego el cociente (f/g)(x) es:  f  g  ( x)   

7 3x  1

; 0  x 2  x 1 / 3

x 1 3x  1 x 1 x

c)

; 3  x 10 ; x  10

2  x  1,    x , f ( x)   1 ,      ,1 x x  

 x 1 , x    1 ,   g( x)   2  x 1, x    , 1 

f g

Calculamos el dominio de cada función:

D f     ,1  1, Dg   ,  1    1 ,   Ahora interceptamos los dominios: Df g  (D f  Dg )  , 1  1,1  1, 

Luego la suma (f+g)(x) es:

 f  g  (x) 

x  1  x2  1

; x 1

x 1  x 1

;  1 x  1

x2  x 1

; x 1

f .g

Calculamos el dominio de cada función:

D f     ,1  1, Dg   ,  1    1 ,  

Ahora interceptamos los dominios:

Df .g  (D f  Dg )  , 1  1,1  1, 

Luego el producto (f.g)(x) es:

 f .g  ( x) 

x  1 .( x2  1)

; x  1

x  1 ( x  1)

; 1  x  1

x2 ( x  1)

;x1

f /g

Calculamos el dominio de cada función:

D f     ,1  1, Dg   ,  1    1 ,   Ahora interceptamos los dominios: D f / g  (D f  D g )  (x  D g / g (x )  0)

D f / g   ,  1  1,1 1,   { 1}

Luego el cociente (f/g)(x) es:

 f  g  ( x)   

x 1

; x  1

( x 2  1) x 1

; 1  x  1

x 1 x2 x 1

d)

 x2,  f (x )   2 x , 2 x 2 2 , 

; x 1

x    10 ,  7  x   4,0  x  0 , 8



 x 2  x ,  g (x )    x  3 ,  x2  2 , 

x   8 ,  4  x    4 ,0 x   0,3 

Intersección de los dominios:

Df1  Df1   8  x   7 Df1  Df 3   Df 2  Df 2   4  x  0

Df1  Df 2   Df 2  Df1  x   4 Df 2  Df 3  x  0

Df3  Df1   Df3  Df3  0  x  3

Df3  Df 2  

f g

 f  g  ( x) 

; 8 x 7

x  28

; x  4 ; 0 x 3

2

3x

f .g

 f .g  ( x) 

 x4  x3

;  8 x  7 ; x  4

160 2x  2x  4

;0x 3

x2  x2  x

; 8 x   7

4

2

f /g

 f   (x )  g

2 5 2x 2  2 x2  2

; x  4 ; 0 x  3

3.3.2. ACTIVIDADES. Ejercicios propuestos. 1-

Calcular fog , donde:

a) b)

a)

  x2  2 x , g( x)   x  ,  e

 2x  5 , x  2 f (x )    x  2 , x  2 2 x  1 , 0  x  2 f (x )   , 3 x  5  x  x 2 1 , x 3 f ( x )    x 2  1 , x  3

x 1 x 1

g( x)  x

, x4  x g( x)    x  x , x 0

Si f ( x  1)  x  2 y ( gof )( x  2)  2 x2  x . Calcular g (x)

2-

2- Si ( fog)(x  1)  x 2  2x y g( x)  x  3 . Determinar f (x) 3- Si F ( x)  ctgx y g (x )  cos ecx , encontrar una función f tal que: F ( x)  ( fog)( x) 5- Si g(2  x)  x  1 y ( gof )( x)  2 x  1 . Hallar: f (x )

DESARROLLO: 1-. Calcular fog , donde:  2x  5 , x  2 f ( x)    x  2 , x  2

a)

(f

f ( x) 

D f1



( f1

x  Df 1

( f1

x  D f1

( f2

x  Df2

( f2

x  Df2

f1 ( x)  x 2  2 x ; x  1 f 2 ( x )  ex

; x 1

  x2  2 x , x  1 g( x)   x  , x 1  e

g (x) 

{x  D g1 / x  D g1  g1 ( x)  D f1}

x  Dg1  g 2 ( x )  D f1  x  , 2   (2 x  5)   ,1 

g1 ( x)  2 x  5 g2 ( x)   x  2

;x 2 ;x 2

 x  , 2   x  ,3   x  , 2 

 f1 ( g1 ( x))  f1 (2 x 5)  (2 x 5)2  2(2 x  5)  4 x2  24 x  35 ; x  , 2 

( f1

1

D f1

 {x  D g 2 / x  D g 2  g 2 ( x )  D f1 }

x  Dg 2  g 2 ( x )  D f1  x  [2, [  ( x  2)   ,1   x  [2,    x  3,   x  [2,  

 f1 ( g2 ( x))  f1(  x  2)  (  x  2) 2  2(  x  2)  x2  6 x  8 ; x  [2,  

( f1

2

D f2

 {x  D g2 / x  D g1  g1 ( x)  D f2 }

x  Dg1  g1 ( x )  D f2  x  , 2   (2 x  5)  [1,  

D f2

 { x  D g2 / x  Dg2  g2 ( x)  D f2}

x  Dg 2  g2 ( x)  D f 2  x  [2,    (  x  2)  [1,    x  [2,   

x  , 3]  

Por lo tanto: ( f



b)

Df

4 x2  24 x  35 ;

x2

x 2  6x  8 ;

x 2

2 x  1 , 0  x  2 f ( x)   , 3 x  5  x

g ( x)  x

 {x  Dg / x  Dg  g (x )  D f }

f (x )  f 1 (x )  2x  1 ; x  [0, 2  f 2 (x )  x ; x  [3, 5]

g (x) 

D f1  {x  Dg / x  D g  g ( x )  D f1 }  {x  D g / x  [0,   x  [0,   0 x  2 x  [0,   0 x  4

Df1  [0, 4

x

, x  [0, 

x  [0, 2

D f2  {x  D g / x  D g  g (x ) D f2 } {x  D g / x [0,   x  [0,   3 x  [9, 25]

x  5 x [0,   9 x 25



(f

 0, 4  x  [9, 25]

( f2 

f 1( g( x)) ;

x  [3, 5]}

x  [0, 4  

f 2 ( g ( x )) ; x [9, 25]

f1( x) ;

x [0, 4  

f 2 ( x ) ; x [9, 25]

2 x 1 ; x

x [0, 4  ; x [9, 25]

Por lo tanto:

 2 x 1 ;

(f

x

c)

x  [0, 4  ; x  [9, 25]

 x2  1 ,  f (x )  2  x  1 ,

x 3 x 3

 x , x4 g (x )    x x , x0 

f (x ) 

f1 (x ) ; x  3 f2 ( x) ; x  3

(f



g (x )  g1 (x ) ; x  4 g2 (x ) ; x  0

1

1

 Df1

( f1

2

x  D f1

( f2

1

x  D f2

( f2

2

x  Df 2

D f1

 {x  Dg1 / x  Dg1  g1 ( x )  D f1 } ,

D f1

 { x  Dg2 / x  Dg2  g2 ( x )  D f1 } , x  ,0]  ( x  x)   ,3 

( f1

2

 2x 1

Df 2

2

x  [4,    x  ,3  , 

x  ,0]  (2 x )   ,3  3 x  ,0]  (  x   ) 2 3 x   ,0] 2 2 3  f1 ( g 2 ( x))  f1 ( x  x)  x  x  1 , x   ,0] 2 3 , x   ,0] 2

 { x  Dg 1 / x  Dg 1  g1 ( x)  D f 2 } ,

x [4,    x  ,3  x  [3, 4]

 f2 ( g1 ( x))  f2 ( x ) 

x 2  1 , x  [3,4]

( f2

1

Df 2

 {x  Dg 2 / x  Dg 2  g 2 (x )  D f 2 } ,

x  ,0]  ( x  x )  [3,   x  ,0]  (2 x)  [3,   3 x  ,0]  x  ,  ] 2

( f2

3  f 2 ( g 2 ( x))  f 2 ( x  x )  ( x  x) 2 1  4x 2  1, x  ,  ] 2

2

Entonces : (f



4 x 2 1 ; x   2

2x  1 ; 

3 2

3 x 0 2

x2 1 ; 3  x  4

2 2-. Si f ( x  1)  x  2 y ( gof )( x  2)  2 x  x . Calcular g (x)

f (x  1)  x  2 

(g





2

f ( x)  x  1





 2 x2  9 x  10

(g





2



 2)  2 x2  9 x 10

de donde : g ( f ( x))  2 x2  9 x  10

g( x 1)  2 x2  9 x 10  g( x)  2( x  1)2  9( x  1)  10  g( x)  2 x2  5 x  3 2 3-. Si ( fog)(x  1)  x  2x y g( x)  x  3 . Determinar f (x)

(f (f





2









2



 1)  x2  1

 f ( g( x))  x2  1  ( x  3)2  6( x 3)  8

f (x  3)  (x  3)2  6(x  3)  8  f ( x)  x2  6 x  8 4-. Si F ( x)  ctgx y g ( x)  cos ecx , encontrar una función f tal que: F ( x)  ( fog)( x)  F ( x )  ctg ( x )  f ( g( x))  ctg ( x) (f

f (cos ec ( x ))  ctg (x )  cos ec 3 (x )  1  f ( x)  x 2  1

5-. Si g(2  x)  x  1 y ( gof )( x)  2 x 1 . Hallar: f (x )

g(2  x)  1  (2  x)  g( x)  1  x  g( f ( x))  2 x  1

(g

 1  f ( x)  2 x  1 1  f ( x)  (2 x  1) 2 1  f ( x)  4 x 2  4 x  1 f (x )  4x  4x2

3.4.2. ACTIVIDADES. Ejercicios Propuestos 1- decir si las siguientes funciones son pares , impares o ninguna de ellas. a) f (x )  x 2  2 x 2

d) f ( x)  e x  2 g ) f (x) 

3 x 1 2x  3

b) f ( x)  x2  x  1 e) f (x )  x 3  2 x  5x 2 h) h( x)  x  2 x  1

x 1 x f) f (x )  1 x x

c) f (x ) 

DESARROLLO: 1- decir si las siguientes funciones son pares , impares o ninguna de ellas. a) f (x )  x 2  2 x

Tenemos que : f ( x )  (x )2  2  x f ( x )  x 2  2 x La función f ( x) es PAR puesto que f ( x)  f ( x)

b) f ( x)  x2  x  1

Tenemos que : f ( x )  ( x )2  ( x )  1 f ( x )  x 2  x  1 La función f ( x) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x) 

c) f ( x) 

f ( x)   f ( x)

x 1 x

Tenemos que : x 1  ( x ) x f (x )  1 x La función f ( x ) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x )  f (x ) 

2

d) f ( x)  e x  2

Tenemos que :  f ( x )  e( x)  2 2

2

f ( x )  e x  2 La función f ( x) es PAR puesto que f ( x)  f ( x)

f ( x)   f ( x )

e) f ( x)  x3  2 x  5x

Tenemos que : f ( x )  ( x )3  2  x  5( x ) f ( x )   x 3  2 x  5x La función f ( x) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x) 

f) f ( x) 

f ( x)   f ( x)

1 x x

Tenemos que : f ( x ) 

1  x  ( x )

f ( x ) 

1 x x

La función f ( x) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x) 

g ) f (x) 

f ( x)   f ( x)

3 x 1 2x  3

Tenemos que : 3(  x) 1 f (x )  2( x )  3 3 x 1 f (x )  2x  3 La función f ( x ) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x ) 

f ( x)   f ( x )

h) h( x)  x 2  2 x  1

Tenemos que : h ( x )  ( x )2  2( x )  1 h ( x )  x 2  2x  1 La función f ( x) no es ni PAR ni IMPAR puesto que f ( x)  f ( x) 

f ( x)   f ( x)...