Funciones de n variables PDF

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Explicacion en PDF brindado por los profesores a cargo de la materia sobre los temas del titulo....

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Funciones de n variables Definición: Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo: f: D → 𝑅 o bien f: Rn → 𝑅 Si la función es de 2 variables tendremos: f: R2 → 𝑅 que es común escribirla como z = f (x, y), donde las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente o función. Ejemplos de función: z = x2 + y2 ; z = 3x+ 4y ; 5z2 = 3x2 – 2y2 ; z = 0 ; z = 4y2 ; x/2 + y/2 = 4z entre tantas. Ahora bien comencemos a igual que en función de una variable a definir el dominio de dicha función y buscar su imagen. Luego tratemos de ver como vamos a graficar el dominio de una función z = f(x, y) Dominio e imagen. Si definimos una función de 2 variables como una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenados de números reales (x, y) ∈ R2 uno y solo un valor real z, entonces el dominio de la función lo constituyen los pares ordenados (x, y) y la imagen correspondiente es el valor real de z. Vale decir que el dominio son los valores (x, y) que hacen que la función este definida. Por ejemplo: - sea z = x2 + y2 y me pregunto cuanto vale z si (x, y) = (31/2, 1). Si reemplazamos en la función nos queda z = (31/2)2 + (1)2 = 3+1 = 4 - u = x + y + z y cuanto vale u(1, 2, -2) = 1+2-2 = 1 - f(x, y) = 3/x + 2/y y buscamos f(0, 0). en este punto la función NO está definida Ahora como vamos a graficar el dominio de una función de 2 variables?. Dijimos que son los pares ordenados (x, y), vale decir son puntos del plano (x, y) que es el que tan acostumbrados estuvimos usando en Mate I. Veamos ejemplos: -) z =

𝐱+𝟕𝐲−𝟑 𝐱−𝐲

El numerador puede ser mayor, menor o igual a 0 y siempre z va a estar

definida. Sin embargo el denominador no puede anularse o sea que obligadamente x-y ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 𝑦 o sea el dominio es: dom f(x, y) = { (x, y) Ɛ R2 / x ≠ y } Aquí tenemos el dominio definido analíticamente

Gráficamente dibujamos el sistema de ejes coordenados que usamos en Mate I y tenemos:

Fíjense y = x es una recta llamada identidad. Como y ≠ x significa que los puntos de esta recta NO pertenecen al dominio por ello que la misma debe ser obligatoriamente dibujada en línea punteada. Si hubiera pertenecido se dibujaría en línea continua. Además el grafico aparece sombreado en color eso significa que todos los puntos del pl(xy) pertenecen al dominio menos los puntos sobre la recta -) 𝐳 =

1 √𝑥 2 −𝑦2 −4

El numerador no presenta ninguna restricción. El denominador tenemos que tener en cuenta que se trata de una raíz de índice par por lo tanto su argumento requiere que x2 – y2 – 4 > 0 ⇒ x2 – y2 > 4. Si consideramos que tuviéramos una igualdad diríamos que la ecuación representaría una hipérbola que corta al eje x en |𝑥| = 2. Como se trata de una desigualdad estricta deberemos dibujar en línea punteada la frontera de la hipérbola (ya que los puntos de la frontera no pertenecen al dominio de la función) y luego tomaremos algún punto del plano para considerar si pertenece a la desigualdad y determinar cuales son los puntos que contemplan dicha inecuación (por lo general el punto seleccionado es el origen de coordenadas por su fácil cálculo). O sea el dominio desde el punto de vista analítico se escribe como: dom f(x, y) = { (x, y) Ɛ R2 / x2 – y2 > 4} Gráficamente el dominio será:

-) 𝒛 =

√𝒙.𝒚 𝐥𝐧 (𝒙+𝒚)

Restricciones: 1) x.y ≥ 0 2) x + y > 0 3) x + y ≠ 1 Por lo tanto analíticamente: dom f(x, y) = { (x, y) Ɛ R2 / x.y ≥ 0 ʌ (x+y) > 0 ʌ (x+y) ≠1} Geométricamente veamos las intersecciones:

-) 𝒛 =

𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒚−𝒙𝟐 ) √𝟐−|𝒙|

Recordemos que el arcsen (x) varía entre [-1, 1] por lo tanto si lo analizamos ajustándonos al ejercicio tenemos: -1 ≤ y – x2 ≤ 1 ⟺ y ≤ 1 + x2 ʌ y ≥ x2 – 1 Si analizamos el denominador tenemos: 2 - |𝑥| > 0 ⇒ - |𝑥| > -2 ⇒ |𝑥| < 2 ⇒ -2 < x < 2 Analíticamente el dominio queda determinado: dom f(x, y) = { (x, y) Ɛ R2 / y ≤ 1 + x2 ʌ y ≥ x2 – 1 ʌ |𝑥| < 2 } Geométricamente:

Gráfica de funciones de 2 variables independientes. Trazas. Si teníamos una función de 1 variable (se hacía referencia a la cantidad de variables independientes) y = f(x) y deseamos graficarla necesitábamos 2 ejes coordenados (sistema de coordenadas cartesianas) una para la variable x y la otra para la otra para y, y disponíamos los ejes verticales entre si. Ahora graficaremos funciones de 2 variables (2 son las independientes) y necesitamos 3 ejes para cada una de las variables. Pero si necesitamos graficarlas perpendicularmente entre ellas se nos presenta el problema que uno de los ejes debe sobresalir del papel (plano) en que estamos escribiendo. Esos 3 ejes bien los podemos visualizar en el lugar donde estamos trabajando que es el espacio. Vale decir debemos graficar algo del espacio pero sobre un papel o pizarrón que es un plano.

Aquí tienen el nuevo sistema tridimensional. El eje en verde es el eje y, el eje en azul es el eje z y el eje en rojo que apunta hacia Ustedes es el eje x. Pero de este último eje lo único que parecieran ver es un punto, cuando es un eje perpendicular a los otros dos. Para que se pueda ver debo moverlo (por lo general a 135° del eje y) y nos queda:

Sobre este nuevo sistema de coordenadas podemos graficar superficies planas y también superficies cuadráticas. Para poder graficar con mayor precisión se utiliza el método de las trazas. Las trazas son las curvas intersección de la superficie a graficar z = f(x, y) con los planos coordenados. Los planos coordenados son aquellos que se forman con los ejes coordenados. Así en Mate I tenían el plano coordenado (x, y) que se forma con el eje x y con el y. Como ahora son 3 los ejes tienen por combinación entre ellos el: -Pl(x, y) cuya ecuación es z = 0 -Pl(x, z) cuya ecuación es y = 0 -Pl(y, z) cuya ecuación es x = 0 Veamos la siguiente gráfica:

Dentro de los 8 octantes hay uno donde siempre estamos donde las variables x, y, z son ≥ 0. A ese lo llamaremos 1° octante. Gráfica de superficies planas. Toda expresión lineal de la forma: A.x + B.y + C.z + D = 0 las superficies planas.

donde A, B, C y D Ɛ R representan gráficamente la familias de

Si D ≠ 0 podemos escribir la ecuación de un plano en forma segmentaria (a igual que lo hicieron con las rectas). Por lo tanto:

A.x + By + Cz = -D Dividimos ambos miembros por -D y nos queda: 𝐴 −𝐷 𝑧 𝑦 −𝐷 −𝐷 𝑥 𝐶 𝐵 =𝒄 = 1 𝑠𝑖 + + =𝒂; =𝒃; 𝑧=1 ⇒ 𝑦+ 𝑥+ −𝐷 −𝐷 −𝐷 𝐶 𝐴 𝐵 −𝐷 −𝐷 −𝐷 𝐶 𝐵 𝐴 entonces nos queda la ecuación segmentaria del plano

𝒙 𝒂

𝒚

𝒛

+ 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 . Este plano corta al eje

x en el punto (a, 0, 0), al eje y en el punto (0,b, 0) y al eje z en el punto (0, 0, c). - Graficar

𝒙 𝟒

𝒚

𝒛

+𝟐+𝟑=𝟏.

- Graficar z = 3

Ecuación segmentaria z/3 = 1 o bien 0.x + 0.y + z = 3

Corta al eje z en (0, 0, 3) y paralelo al Pl(x, y) (también llamado plano base)

- x + y = 3 o bien x + y + 0.z = 3 La forma segmentaria de este plano es x/3 + y/3 = 1. O sea corta al eje x en (3, 0, 0) y al eje y en (0, 3, 0). Por la tanto si corta el plano solamente a estos 2 ejes, significa que el plano no corta al eje z y por ende es paralelo al mismo.

Gráfica de superficies cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas responden a la siguiente ecuación: A.x2 + B.y2 + C.z2 + D.x.y + E.x.z + G.y.z + H.x + J.y + K.z + M = 0

T. cuadráticos

T. rectangulares

T. lineales

T. independiente

Tanto A, B, C, D, E, G, H, J, K, M Ɛ R La anulación de ciertas constantes hace que la ecuación de las cuadráticas generen superficies especiales como paraboloides, hiperboloides de 1 y 2 hojas, paraboloides hiperbólicos, conos, cilindros, superficies de Gauss, esfera, elipsoides, etc. Para poder graficar algunas de estas superficies haremos uso del método de las trazas e interesante para fijar estos gráficos es compararlos con objetos de la realidad. Veamos algunos ejemplos: Sea z = 3.x2 + y2 Buscamos las intersecciones con los planos coordenados: ∩Pl(x, y) z = 0 3.x2 + y2 = 0 P = (0, 0, 0) ∩Pl(x, z) y = 0 z = 3.x2 Parábola ∩Pl(y, z) x = 0 z = y2 Parábola

Paraboloide elíptico

Sea z2 + y2 + z2 = 4 Buscamos las intersecciones con los planos coordenados: ∩Pl(x, y) z = 0 x2 + y2 = 4 Circunferencia ∩Pl(x, z) y = 0 x2 + z2 = 4 Circunferencia ∩Pl(y, z) x = 0 y2 + z2 = 4 Circunferencia

Esfera

Sea x2 + y2 = 9 Buscamos las intersecciones con los planos coordenados: ∩Pl(x, y) z = 0 x2 + y2 = 9 Circunferencia ∩Pl(x, z) y = 0 x2 = 9 ⇒ |𝒙| = 𝟑 Rectas

∩Pl(y, z) x = 0 y2 = 9 ⇒ |𝒚| = 𝟑 Rectas

Cilindro circular recto

Curvas de nivel. Curvas contorno. Curvas perfiles. Las curvas de nivel son aquellas curvas que se generan en la intersección de la superficie z = f(x, y) con planos z = k (planos paralelos o coincidentes con el plano base) y se representan sobre el Pl(x, y). Las curvas contorno son aquellas curvas que se generan en la intersección de la superficie con planos z = k y quedan graficados sobre la superficie. Veamos un ejemplo: Sea z = 100 – x2 – y2 y tomemos el plano z = k = 75. Entonces nos quedaría: 75 = 100 – x2 – y2 ⇒ x2 + y2 = 25. La curva de nivel o de contorno es una circunferencia de radio 5. Y veamos la diferencia entre ambas en un mismo gráfico: Aquí vemos claramente la curva contorno que es la circunferencia x2 + y2 = 25 intersección con el plano z = 75 y la curva de nivel que es la misma circunferencia intersección con el plano z = 0 o sea el Pl(x, y). La curva de nivel hace referencia a la misma curva de la de contorno con diferencia de la ubicación tridimensional de ambas. Sin embargo la gráfica de la curvas de nivel es mucho mas simple que graficar las curvas de contorno ya que la de nivel aun se pueden graficar directamente sobre el plano base, y eso es lo que haremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos de curvas de nivel. Sea z2 + 3y2 + 4x2 = 8 z = k por lo tanto reemplazando y despejando nos queda: 3y2 + 4x2 = 8 – k2 Veamos para que valores de k es válido lo anterior. El primer miembro es estrictamente ≥ 0 por lo tanto 8 – k2 ≥ 0 ⇒ −𝑘2 ≥ -8 o sea |𝑘| ≤ √8 que es lo mismo -√8 ≤ 𝑘 ≤ √8 Tomemos cualquier real limitado a lo anterior, por ejemplo k = -2 ; k = -1 ; k = 0 ; k = 2 Las gráficas serán elipses de centro (0, 0) cuya gráfica es:

La superficie se trata de una Elipsoide y sus curvas de nivel son elipses.

Sea z = x2 – y2. Aquí claramente vemos que la diferencia de cuadrados puede ser cualquier R por lo tanto z = k Ɛ R. Tomemos valores de k = 2 ; k = 1; k = 0 y k = -1 Veamos las gráficas que van a variar de recta a hipérbolas:

La superficie es un paraboloide hiperbólico (silla de montar) y las curvas de nivel son rectas, hipérbolas de eje x y eje y.

Las curvas perfiles son aquellas curvas intersección de la superficie z = f (x, y) con planos x = k o bien con y = k. Si tomamos los dos ejemplos anteriores tendríamos: Sea z2 + 3y2 + 4x2 = 8 si x = k las curvas perfiles serían Sea z2 + 3y2 + 4k2 = 8 por lo tanto despejando nos quedaría z2 + 3y2 = 8 - 4k2 para todo -√2 ≤ 𝑘 ≤ √2 . Tomemos curvas perfiles ( x = cte) para k = 1 ; k = 0 ; k = -1 (si lo desean pueden tomar valores de K que no sean precisamente enteros). Estas curvas perfiles se grafican en el Pl (y, z) z

Les dejo para practicar las gráficas de las curvas y = k

y

Si tomamos el otro ejemplo z = x2 – y2 hacemos y = k , por lo tanto z = x2 – k2 para todo valor de k Ɛ R. Tomamos por ejemplo k = 0 ; k = 1 ; k = -2 y tendremos las siguientes gráficas en el Pl (x, z): z

Nota: Las curvas de nivel son muy importantes dado que se hace constante a la variable función. De ahí la aplicación en las ciencias económicas generando las curvas de indiferencia, las curvas isocostos ; en las otras ciencias la generación de curvas de igual temperatura llamadas isotermas, la de igual presión atmosférica llamadas isobaras, etc. Superficies de nivel. Sea U = f(x, y, z) (función de 3 variables independientes). Las superficies de nivel son las generadas por hacer u = k. Ejemplo. Sea u = x2 + y2 – z Hacemos u = k y nos queda k = x2 + y2 – z que es una familia de paraboloides. Tomemos valores de k = 0 ; k = 1 ; k = -1...