Tranformacion de funciones variables konrad lorenz PDF
| Title | Tranformacion de funciones variables konrad lorenz |
|---|---|
| Author | fernando ramos |
| Course | Taller de Herramientas Matemáticas |
| Institution | Universidad Adolfo Ibáñez |
| Pages | 68 |
| File Size | 1.1 MB |
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Summary
matematicas...
Description
L ASE ES ST A DÍST STIICASDE DEORDE ORDEN NC CO OM OU UN NAA AP PL IC ICA ACIÓN DET RANSFO FOR RM ACIÓ IÓN NDE DEF F FU UNC NCIIONE NES S V VA RIA IAB B L ES
OLGAARDILASANCHEZ [email protected]
TrabajodeGradoparaOptarelTitulodeMatemático
Director BenignoLozanoRojas
FUNDACIONUNIVERSITARIAKONRADLORENZ FACULTADDEMATEMATICAS BOGOTAD.C. 2007
6
RESUMEN Este trabajoesuncomplemento,delasvariablesaleatorias,laaplicación de las técnicas de transformaciones para encontrar la función de distribucióndeunavariableapartirdeotrayaconocidayenespeciallas estadísticas de orden donde estas estadísticas juegan un papel importanteenlainferenciaestadísticaparticularmenteporquealgunasde suspropiedadesnodependendeladistribucióndelacualfueobtenidala muestraaleatoria.
ABSTRACT Thisworkisacomplement,oftherandomvariables,theapplicationofthe technique of transformations to find the distribution function of a variable from other one already known, and special the statistics of order where statistical these play an important paper (role) in the statistical inference particularly because some of properties donot depend on thedistribution onwhichwasobtainedtherandomsample.
7
AGRADECIMIENTOS Agradezco al profesor Benigno Lozano Rojas, quien me acompaño y apoyoconlosvaliososaportesenlaejecucióndeestetrabajo,agradezco también al doctor Antonio Velasco Muños decano de la facultad de matemáticasyacadaunodelosdocentesycompañerosquetuvieronun aporteimportanteparamíformaciónalolargodelacarrera. Y agradecer a mis padres y hermanos por el apoyo y consejos durante todoestetiempodeformación.
8
INTR INTRO ODU DUCC CC CCION ION ION El presente trabajo se encuentra dividido en dos partes, la primera parte consta de tres capítulos de conceptos básicos que se utilizan en las estadísticasdeordenylasegundaparteeseldesarrollodeltema. Se hará una introducción: sobre las variables aleatorias discretas y continuas; donde las variables aleatorias se conocen porque todos los resultados posibles de un espacio muestral, se pueden transformar en cantidades numéricas. También se tratara sobre las distribuciones discretas que surgen al contar y las distribuciones continuas que aparecencuandosemide,yporultimoseabordarasobrelastécnicasde transformaciones que es usada tanto en distribuciones de probabilidad variables aleatorias discretas como en distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas. Esta técnica se utiliza para encontrar la función de distribución de una variable aleatoria a partir de una variable aleatoriayaconocida. La segunda parte comprende de las estadísticas de orden.
Estas
estadísticas juegan un papel importante en la inferencia estadística particularmente porque algunas de sus propiedades no depende de la distribución de la cual fue obtenida la muestra aleatoria. Estas estadísticas se ordenan ascendentemente a partir de las muestras obtenidas anteriormente, esto quiere decir que a menudo necesitamos ordenar las variables aleatorias observadas de acuerdo a su magnitud paraidentificarmodelosprobabilisticostalescomoelmáximo,elmínimo, el rango, la mediana y entre otros. Ya que en estos modelos se aplican métodosmatemáticosespecíficos.
9
C A P ITU ITUL L OUN UNO O
1. 1.VA RI RIA A B L E EA AL EA EAT TORIA
Def Defii n i c i ó n 1.1: “ Sea S un espacio muestral sobre el cual se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real definidasobreS,demaneraquetransformelosresultadosdeSenpuntos sobre la recta de los reales, se dice entonces que X es una variable 1
aleatoria.”
El conjunto de valores que una variable aleatoria puede tomar se denominaelrangodelavariablealeatoria. SedicequeXesunavariablealeatoriasitodoslosresultadosposiblesde unespaciomuestral,sepuedentransformarencantidadesnuméricas.
Ej Ejem em emp p l o 1. 1.1 1: Sea:X=númerodecarasqueseobtieneenlanzamientosindependientes deunamonedadediezyunadecincocentavos. EnestecasoSconstadeloscuatropuntos(resultados)
(H,H)
(H,T)
(T,H)
(T,T)
EntoncesS={HH,HT,TH,TT}
1
CANAVOSGeorge.Probabilidadyestadísticaaplicacionesymétodos.McGrawHill.Pág.52
10
(H=cara,T=cruz;laprimeraletraserefierealdiezylasegundaal cinco). LosvalorescorrespondientesdeXson: 2
1
1
0,respectivamente.
S
X
HH
2
HT
1
TH
1
TT
0 Tabla 1
Def Defii n i c i ó n 1.2: “ Se dice que una variable aleatoria X es discreta si su rangoesunconjuntofinitooinfinitonumerabledevalores.”2
Ej Ejem em emp p l o 1. 1.2 2: Enelejemplo1.1 losvaloresposiblesdeXson0, 1y2.LuegoXesuna variablealeatoriadiscreta.
Def Defii n i c i ó n 1.3: Se dice que una variable aleatoria X es continua si su rango es un conjunto infinito no numerable de valores. Este conjunto puededefinirseenunintervalooenunconjuntofinitodeintervalos.
Ej Ejem em emp p l o 1. 1.3 3: Sea unavariablealeatoriaXcuyosvaloresseanlospesosenkilogramos de todas las persona mayores de 30 años, lógicamente hay infinitos valoresasociadosaestospesos.Siestospesosseasignaranalarecta 2
CANAVOSGeorge.Probabilidadyestadísticaaplicacionesymétodos.McGrawHill.Pág.53
11
real, puede definirse un número finito de intervalos para describir todos losposiblesvaloresdepeso.
1.1
D IST ISTR R IB IBUC UC UCION ION IONES ES ESD E PR PROB OB AB ABIL IL ILID ID IDA A D
Def Defii n i c i ó n 1.4: Una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades detodos los posiblesresultadosque podríanobtenerse si elexperimentosellevaacabo. Las distribuciones de probabilidad se clasifican como discretas y continuas.
1.1.2Di 1.1.2Dis s t r i b u c io n es esd d de ep prr o b ab i l id ad d dev ev eva ari ab abll es d dii s c ret etas as as Una variable aleatoria asume cada uno de sus resultados con cierta probabilidad.
Def Defii n i c i ó n 1.5: “ Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamará f (x)= P(X = x) función de probabilidad de la variable aleatoria X, si 3
satisfacelassiguientespropiedades.” 1. P ( x)³ 0; 2.
åxP ( x) =1;
Ej Ejem em emp p l o 1. 1.4 4 Searrojandosdadoslegaleshallar: 3
CANAVOSGeorge.Probabilidadyestadísticaaplicacionesymétodos.McGrawHill.Pág.54
12
a. La función de probabilidad f( x)donde X es la suma de los dos númerosqueseobtienenalarrojardosdadoslegales. b. Laprobabilidaddequelasumadelosdosdadossea6. Solución: a. La función de probabilidades f( x), correspondiente, tiene los siguientes valores: Res Resu u l t ad ado o
N°d °de e
Pr Pro o b ab abii l id ad ad
o c ur r en enc c i as as 2
1
1/36
3
2
2/36
4
3
3/36
5
4
4/36
6
5
5/36
7
6
6/36
8
5
5/36
9
4
4/36
10
3
3/36
11
2
2/36
12
1
1/36
Tabla 2 NotequelosvaloresposiblesdeXconformanlosposiblesconteossobre elespaciomuestralyenconsecuencialasprobabilidadessuman1. Acontinuaciónsemuestranlasgraficasdef(x)
13
Funcióndedensidad 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1
Serie1
0,08 0,06 0,04 0,02 0 0
5
10
15
Gr Gráf áf áfii c a1 a1
b.Lafunción probabilidad dondex=6será:
f(6 ) = P (X =6 ) =6/36
Def Defii n i c i ó n 1 1.6: .6:“ Ladistribuciónacumulativadelavariablealeatoria X es laprobabilidaddeque X seamenoroigualaunpuntoespecíficode X y estadadapor”4:
F( X)= P( X£ x)=
å x P(xi) i
Conciertaspropiedades: 1. 0 £F(x)£ 1. 2. F (xi)£ F(xj)
si
xi £ xj.
3. P( X > x) =1 F( x). 4. P( X = x) = F (x)-F(x- 1 ) . 5. P( xi £ X £ xj) = P( X £ xj) P (X < xj)=F(xj )-F(xi-1 ). Cabeanotarque P (X £ x) ¹ P( X < x) si X esunavariablediscreta.
4
CANAVOSGeorge.Probabilidadyestadísticaaplicacionesymétodos.McGrawHill..Pág.53
14
P (X £ x)=…+ P(X =0 ) + P (X = 1 ) +…+ P (X = x 1 ) + P (X = x ) P (X < x)=…+ P(X =0 ) + P (X = 1 ) +…+ P (X = x 1 ) Ej Ejem em emp p l o 1. 1.5 5: ·
EncuentreladistribuciónacumuladadelavariablealeatoriaXdel ejemplo1.3
So Soll u c i ón:
F(2 ) = P (X£ 2 ) = P(X =2 ) =1/36 =1/36; F(3 ) = P (X £ 3 ) = P (X = 2 ) + P (X =3 ) =1/36+2/36 =3/36 =3/36;
F(4 ) = P (X £ 4 ) = P (X = 2 ) + P (X =3 ) + P (X = 4 ) =1/36+2/36+3/36 =6/36 =6/36;
F(5 ) = P (X £ 5 ) = P (X = 2 ) + P(X = 3 ) + P(X =4 ) + P (X = 5 ) =1/36+2/36+3/36+4/36 =10 =10/1 /1 /16 6;
F(6 ) = P (X£ 6 ) = P(X = 2 ) + P(X= 3 ) + P(X= 4 ) + P (X = 5)+ P(X = 6) =1/36+2/36+3/36+4/36+5/36 =15/36 =15/36;
F(7 ) = P (X£ 7 ) = P (X =2 ) + P(X =3 ) + P(X= 4 ) + P (X = 5 ) + P (X =6 ) + P (X =7) =1/36+ 2/36+3/36+ 4/36+ 5/36+6/36 =
21/3 21/36 6;
F(8 ) = P (X£ 8 ) = P (X =2 ) + P(X = 3 ) + P(X= 4 ) + P (X = 5 ) + P(X = 6 ) + P(X= 7)+ P(X = 8)
15
=1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36 =26/36; =26/36;
F(9 ) = P (X£ 9 ) = P (X =2 ) + P(X = 3 ) + P (X = 4 ) + P (X =5 ) + P (X =6 ) + P (X = 7)+ P(X = 8)+ P (X =9) =1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36+4/36 =30/3 =30/36 6;
F(10 ) = P (X £ 10 ) = P (X =2 ) + P (X = 3 ) + P(X =4 ) + P(X = 5 ) + P(X = 6 ) + P (X =7)+ P(X =8)+ P(X = 9)+ P(X= 10) =1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36+4/36+3/36 =33/3 =33/36 6;
F(11 ) = P (X£ 11) = P(X =2 ) + P (X = 3 ) + P(X = 4 ) + P(X = 5 ) + P(X= 6 ) + P(X =7)+ P(X= 8)+ P(X = 9)+ P (X =10)+ P(X = 11) = 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36 + 6/36 + 5/36 +4/36+3/36+2/36 =35/36 =35/36;
F(12 ) = P (X £ 12 ) = P (X =2 ) + P (X =3 ) + P (X = 4 ) + P(X =5 ) + P(X= 6 ) + P(X = 7)+ P(X= 8)+ P(X = 9)+ P(X= 10)+ P (X =11)+ P(X =12) =1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36+4/36+3/36+2/36+1/36 =1 =1 Luegoladistribuciónacumuladaes:
16
ì ï ï ï ï ï ï ï ïï í ï ï ï ï ï ï ï ï ïî
F ( X)=
0 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1
xa. Demaneraformalsedefinedelasiguientemanera: 5 Def Defii n i c i ó n 1 .7: “ Siexisteunafunción f (x) talque” :
·
f ( x) ³ 0
·
ò
·
P( a £X £ b ) =
¥
-¥
¥ 1
Lamediaylavarianzadeladistribucióntstudentsedefinen: Media:
Varianza:
m = 0 s2 =
v v-2
parav>2
2.2.7. DIST DISTRIB RIB RIBUCION UCION F “La distribuciónF aparece frecuentementecomola estadística de prueba de la hipótesis nula (distribución nula) de una prueba estadística,
17
www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htmDistribuciónT%20de%20Stud ent
35
especialmenteenelanálisisdevarianza,paramasdedospoblaciones”18.
LafuncióndedensidaddeunavariabledistribuciónFes:
f (x)=
para
G[( m+ n)/2] æ mö ç ÷ G(m/2)G(n/2) è n ø
m
2
x(m- 2) /2 (m+ n)/2 1+ m x n
[ ( )]
o < x < ¥ m, n= 1,2,...
LamediaylavarianzadeladistribuciónF secalculan: Media:
Varianza:
m =
n n- 2
s2 =
paran>2
2n2 (m+n- 2) paran>4 m(n- 2)2(n- 4)
2.2.8.DISTRIB 2.2.8.DISTRIBUCION UCION UCIONG G A MMA MMA “Ladistribucióngammaesunadistribucióndeprobabilidadcontinuacon dosparámetros a yb . Elparámetro a recibeelnombredeparámetrodeforma,yaquelaforma deladensidadgammadifiereporlosdistintosvaloresde a . El parámetro b recibe el nombre de parámetro de escala debido a la multiplicación de una variable aleatoria con distribución gamma por una constantepositiva”19.
18 19
es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_F
WACKERLYDennis,MENDENHALLWilliam,SCHEAFFERRichard.2002.Estadísticamatemáticacon aplicaciones.Thomson.Pág.177
36
Lafuncióndedensidaddeunavariablegammaes:
ba
f (x)= xa -1e- bx G (a )
o< x< ¥ b > 0 a > 0
para
Lamediaylavarianzadeladistribucióngammasecalculan: Media:
Varianza:
m =
s2 =
r b r b2
Lafuncióngeneradorademomentosestadadapor:
mx (t) = b
b -t
Comocasosespecialesdeladistribucióngammaencontramos:
2.2.9. DIST DISTRIB RIB RIBUCIONE UCIONE UCIONEX XPO PON NENCI CIA AL “Lafuncióngammaenlaqueα=1sellamafuncióndedensidad exponencial.Lafuncióndedensidadexponencialseutilizaconfrecuencia paradescribirladuracióndeloscomponenteselectrónicos”20. Lafuncióndedensidaddeunavariableexponencial es:
f (x) =b e- bx
para
0 £ x £ ¥
b > 0
Lamediaylavarianzadeladistribuciónexponencialsecalculan:
20
WACKERLYDennis,MENDENHALLWilliam,SCHEAFFERRichard.2002.Estadísticamatemáticacon aplicaciones.Thomson.Pág.178
37
Media:
Varianza:
m =
s2 =
1
b 1
b 2
Lafuncióngeneradorademomentosestadadapor:
mx (t) =
b b -t
38
C A P ITU ITUL L OTR TRE E S
3. 3.TECNIC CNICA A DET DETR RA NSF NSFOR OR ORM MA CI CIONE ONE ONES S Esta técnica es usada tanto en distribuciones de probabilidad variables aleatorias discretas como en distribuciones de probabilidad de variables aleatoriascontinuas 3.1 TECNICA TECNICA DE TRA RANSFORMA NSFORMA NSFORMACIO CIO CIONES NES PAR PARA A VA VARIA RIA RIAB BL ES AL EATORIA ORIASDISCRET SDISCRET SDISCRETA AS
Teo Teorr em ema a 3.1: “ Supóngase que Xes una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad P(x). Si la función Y=g(X) define una transformación uno a uno entre los valores X y Y, de tal forma que la ecuación y = g( x) tengasuinversa x = g-1 (y),entoncesladistribuciónde
Y es”21:
fY (y)= fX( g-1(y)) Dem Demo o s t r ac acii ó n :
FY(y)= P(Y= y)= P(g(x)= y)= P(x= g- 1(y))= f X( g- 1(y))
21
probabilidadyestadística.Warpole.Meyer.Pag184
39
Ej Ejem em emp p l o 3. 3.1 1: Sea Xesunavariablealeatoriadiscretadondesudistribuciónse encuentradadapor
ì2x ï fX( x)=P (X = x) = í 3 ï0 î
x= 1,2,3,4 en otro caso
Encontrarladistribuciónde Y = 2 X - 1 Solución: Si x variaentre1y4remplazandoenytenemosque y = 1,3,5,7
y = g( x)= 2x- 1
Þ
x= g- 1 (y)=
y + 1 2
Ahora
fY(y)= P(Y= y)=
P(2X- 1= y)= Pæç X = è
y+ 1ö
÷= 2 ø
f Xæç
y +1ö
÷ è 2 ø
æ (y+1)ö ÷ è 3 ø
)= ç fY ( y
Luegoladistribuciónde yseencuentradadapor:
ìy +1 ï fY ( y)=P( Y = y) = í 3 ïî0
y = 1,3,5,7 en otro caso
Suponga ahora el problema en el que X1 , X2,..., Xn, son variables aleatoriasdiscretasconfunciónconjunta fX 1X, 2,...,X n (x1,x2,...,xn ),ysedesea encontrar la probabilidad conjunta fY1 ,Y2,...,Yn(y1, y2,...,yn)de las nuevas variablesaleatorias 40
= g2 ( x = gn(x y1 = g1( x 1, x 2,..., xn), y 2 1, x 2 ,..., xn), ..., yn 1 , x 2 ,...,xn), las cuales definen una transformación uno a uno entre los conjuntos de puntos(x1 , x2,...,xn)y (y1, y2,...,yn ).Si se resuelven las ecuaciones simultáneamenteseencontraralasolucióninversaúnica
x1 = g1- (1 y1, y2,..., yn), x2 = g-21( y1, y2,..., yn), ..., xn = gn-1(y 1 , y 2 ,..., yn), Teo Teorr em ema3.2: a3.2: a3.2:Sean queX1 , X2,...,Xn, sonvariablesaleatoriasdiscretas condistribucióndeprobabilidadconjunta fX 1,X 2,...,X n (x1,x2,...,xn ).Silas funciones y1 = g1( x 1, x 2,..., x 2 = g 2( x 1, x 2,..., x 1,x 2,...,xn), n), y n), ..., y n = gn(x definenunatransformaciónunoaunoentrelosvalores (x1 ,x2,...,xn) y (y1 , y2,..., yn) detalformaquelasecuaciones:
y1 = g1( x 1, x 2,..., xn), y 2 = g 2( x 1, x 2 ,..., xn),..., yn = gn(x 1 , x 2 ,..., xn), tenganinversa - 1 - 1 -1 x1 = g1 ( y1, y2,..., yn), x2 = g2 (y1,y2 ,...,yn ),...,xn = gn (y1,y2,...,yn ),,
respectivamenteentoncesladistribuciónconjuntadeY1,Y2 ,...,Yn , es:
fY Y, ,...,Yn...
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