Álgebra lineal Una introducción moderna, 3ra Edición - David Poole PDF

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Poole Álgebra lineal Una introducción moderna La innovadora obra de David Poole destaca vectores e intuición geométrica desde el principio y prepara mejor al estudiante para hacer la transición de los aspectos computacionales del curso a los teóricos. Diseñado para un curso de introduc- ción de uno ...

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Características ä Exploraciones (1 por capítulo) proporcionan guías más profundas para el descubrimiento basadas sobre los conceptos claves, diseñados para trabajo individual o de grupo. ä Más de 400 ejemplos, generalmente trabajados con mayor detalle y más énfasis en la legibilidad que la mayoría de los libros. ä Los más de 2000 ejercicios y problemas aplicados a partir de una amplia variedad de disciplinas de ingeniería, ciencias físicas, ciencias biológicas y empresariales. ä Notas al margen sensibles al contexto para ayuda adicional y referencias cruzadas. ä Viñetas destacando aplicaciones del mundo real en los negocios, la ciencia y la sociedad con debate ampliado de los conceptos detrás de las aplicaciones.

Poole Álgebra lineal Una introducción moderna

La innovadora obra de David Poole destaca vectores e intuición geométrica desde el principio y prepara mejor al estudiante para hacer la transición de los aspectos computacionales del curso a los teóricos. Diseñado para un curso de introducción de uno o dos semestres y escrito de manera sencilla, "el matemático inglés" Poole centra su enfoque sobre la visualización que beneficia al estudiante y su conexión con el material. Ofrece ejemplos concretos para introducir al estudiante antes de presentar la abstracción y sigue inmediatamente una discusión teórica con ejemplos adicionales y una matriz de aplicaciones a una gran variedad de disciplinas. Estudiantes de una diversidad de fondos y estilos de aprendizaje se benefician de enfoque práctico de Poole, que cubre vectores y geometría vectorial desde el inicio con el fin de permitir que los estudiantes visualicen las matemáticas mientras están realizando operaciones matriciales. Con una comprensión concreta de la geometría de vectores, los estudiantes son capaces de visualizar y comprender el significado de los cálculos que se encuentran y desarrollar la madurez matemática para pensar en forma abstracta.

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Álgebra lineal Una introducción moderna

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David Poole Trent University

Traducción: Víctor Campos Olguín Traductor profesional Revisión técnica: Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnología Avanzadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Álgebra lineal, Una introducción moderna Tercera Edición David Poole Director de producto y desarrollo Latinoamérica: Daniel Oti Yvonnet Director editorial y de producción Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Editor: Sergio R. Cervantes González Coordinadora de producción editorial: Abril Vega Orozco Editor de producción: Timoteo Eliosa García Coordinador de producción: Rafael Pérez González Diseño de portada: Rogelio Raymundo Reyna Reynoso Imagen de portada: Dreamstime Composición tipográfica: Rogelio Raymundo Reyna Reynoso

© D.R. 2011 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Linear Algebra, A Modern Introduction 3rd ed. David Poole Publicado en inglés por Brooks&Cole/Cengage Learning, © 2011 ISBN-13: 978-0-538-73545-2 ISBN-10: 0-538-73545-7

Datos para catalogación bibliográfica: Poole, David Álgebra lineal, Una introducción moderna Tercera Edición ISBN-13: 978-607-481-748-5 ISBN-10: 607-481-748-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11

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Para mis profesores y mis alumnos: He aprendido mucho de cada uno de ustedes.

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Prefacio ix Para el profesor Para el alumno

Capítulo 1

Vectores 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Capítulo 2

xix xxv

1

Introducción: el juego de la pista de carreras Geometría y álgebra de vectores 3 Longitud y ángulo: el producto punto 18 Exploración: Vectores y geometría 32 Rectas y planos 34 Exploración: El producto cruz 48 Aplicaciones 50 Vectores fuerza 50 Vectores código 53 El sistema Codabar 60 Repaso del capítulo 61

Sistemas de ecuaciones lineales 2.0 2.1 2.2

2.3 2.4

2.5

1

63

Introducción: trivialidad 63 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 64 Métodos directos para resolver sistemas lineales 70 Exploración: Mentiras que me dice mi computadora 89 Pivoteo parcial 90 Operaciones de conteo: introducción al análisis de algoritmos 91 Conjuntos generadores e independencia lineal 94 Aplicaciones 105 Asignación de recursos 105 Balanceo de ecuaciones químicas 107 Análisis de redes 108 Redes eléctricas 110 Modelos económicos lineales 113 Juegos lineales finitos 115 El sistema de posicionamiento global 127 Métodos iterativos para resolver sistemas linjeales 130 Repaso del capítulo 140

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Contenido

Capítulo 3

Matrices 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Capítulo 4

Introducción: matrices en acción 142 Operaciones con matrices 144 Álgebra matricial 160 La inversa de una matriz 169 La factorización LU 186 Subespacios, bases, dimensión y rank 197 Introducción a las transformaciones lineales Robótica 232 Aplicaciones 236 Cadenas de Markov 236 Modelos económicos lineales 241 Crecimiento poblacional 245 Grafos y digrafos 247 Códigos de corrección de error 251 Repaso del capítulo 262

Eigenvalores y eigenvectores 4.0 4.1 4.2

4.3 4.4 4.5 4.6

Capítulo 5

142

5.4 5.5

264

Introducción: un sistema dinámico de grafos 264 Introducción a eigenvalores y eigenvectores 265 Determinantes 274 Método de condensación de Lewis Carroll 295 Exploración: Aplicaciones geométricas de los determinantes Eigenvalores y eigenvectores de matrices n ⫻ n 303 Semejanza y diagonalización 312 Métodos iterativos para calcular eigenvalores 322 Aplicaciones y el teorema de Perron-Frobenius 336 Cadenas de Markov 336 Crecimiento poblacional 341 El Teorema de Perron-Frobenius 343 Relaciones de recurrencia lineal 346 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 351 Sistemas dinámicos lineales discretos 359 Clasificación de equipos deportivos y búsqueda en Internet Repaso del capítulo 375

Ortogonalidad 5.0 5.1 5.2 5.3

217

297

367

377

Introducción: sombras en la pared 377 Ortogonalidad en ⺢n 379 Complementos y proyecciones ortogonales 389 El proceso de Gram-Schmidt y la factorización QR 399 Exploración: La factorización QR modificada 407 Cómo aproximar eigenvalores con el algoritmo QR 409 Diagonalización ortogonal de matrices simétricas 411 Aplicaciones 419 Códigos duales 419

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Contenido

Formas cuadráticas 425 Graficación de ecuaciones cuadráticas Repaso del capítulo 443

Capítulo 6

Espacios vectoriales 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Capítulo 7

445

Introducción: Fibonacci en el espacio (vectorial) 445 Espacios y subespacios vectoriales 447 Independencia lineal, bases y dimensión 461 Exploración: Cuadrados mágicos 478 Cambio de base 481 Transformaciones lineales 490 El kernel y el rango de una transformación lineal 499 La matriz de una transformación lineal 515 Exploración: Mosaicos, retículas y la restricción cristalográfica Aplicaciones 536 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 536 Códigos lineales 543 Repaso del capítulo 550

Distancia y aproximación 7.0 7.1

7.2 7.3 7.4 7.5

432

533

552

Introducción: geometría de taxi 552 Espacios con producto interno 554 Exoploración: Vectores y matrices con entradas complejas 566 Desigualdades geométricas y problemas de optimización 570 Normas y funciones de distancia 575 Aproximación por mínimos cuadrados 591 La descomposición de valor singular 613 Compresión de imágenes digitales 630 Aplicaciones 633 Aproximación de funciones 633 Códigos de corrección de error 640 Repaso del capítulo 645

APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C APÉNDICE D APÉNDICE E

Notación matemática y métodos de demostración 648 Inducción matemática 657 Números complejos 664 Polinomios 675 Technology Bytes Online-only

Respuestas a ejercicios impares seleccionados Índice 720

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Lo último que uno sabe cuando escribe un libro, es qué poner primero. —Blaise Pascal Pensées, 1670

Vea The College Mathematics Journal 24 (1993), 41-46.

La tercera edición de Álgebra lineal: una introducción moderna conserva el enfoque y características que los usuarios encontraron como fortalezas de la edición anterior. Sin embargo, agregué nuevo material para hacer el libro útil para una audiencia más amplia y también refresqué los ejercicios. Quiero que los alumnos vean al álgebra lineal como una materia excitante y que aprecien su tremenda utilidad. Al mismo tiempo, quiero ayudarles a dominar los conceptos y técnicas básicas del álgebra lineal que necesitarán en otros cursos, tanto en matemáticas como en otras disciplinas. También quiero que los alumnos aprecien la interacción de las matemáticas teóricas, aplicadas y numéricas que impregna la materia. Este libro está diseñado para usarse en un curso introductorio de álgebra lineal en uno o dos semestres. Primero, y más importante, está dirigido a los alumnos, e hice mi mejor esfuerzo para escribir el libro de modo que ellos no sólo lo encuentren legible, sino también que quieran leerlo. Como en la primera y segunda ediciones, tomé en cuenta la realidad de que los alumnos que cursan álgebra lineal introductoria probablemente provengan de varias disciplinas. Además de las especialidades en matemáticas, es adecuado para los especializados en ingeniería, física, química, ciencias de la computación, biología, ciencias ambientales, geografía, economía, psicología, negocios y educación, así como otros alumnos que toman el curso como una materia optativa o para cumplir los requisitos del grado. En concordancia, el libro equilibra teoría y aplicaciones, está escrito en un estilo conversacional aunque es completamente riguroso, y combina una presentación tradicional con la preocupación por el aprendizaje centrado en el alumno. No existe como un mejor estilo de aprendizaje único. En cualquier grupo habrá algunos alumnos que trabajen bien de manera independiente y otros que trabajen mejor en grupos; algunos que prefieran el aprendizaje basado en conferencias y otros que prosperen en un escenario de talleres, realizando exploraciones; algunos que gocen con las manipulaciones algebraicas, algunos que sean fanáticos del cálculo numérico (con y sin computadora) y algunos que muestren fuerte intuición geométrica. En este libro continúo la presentación del material en varias formas (algebraica, geométrica, numérica y verbal) de modo que todos los tipos de aprendices puedan encontrar una ruta a seguir. También traté de presentar los temas teórico, de cálculo y aplicación en una forma flexible, aunque integrada. Al hacerlo, espero que todos los alumnos estarán expuestos a los muchos lados del álgebra lineal. Este libro es compatible con las recomendaciones del Lineal Algebra Curriculum Study Group. Desde un punto de vista pedagógico, no hay duda de que, para la mayoría de los ix

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Prefacio

alumnos, los ejemplos concretos deben anteceder a la abstracción. Aquí tomé este enfoque. También creo firmemente que el álgebra lineal trata esencialmente de vectores y que los alumnos deben ver primero vectores (en un escenario concreto) con la finalidad de obtener cierta comprensión geométrica. Más aún, la introducción temprana de los vectores permite a los alumnos ver cómo los sistemas de ecuaciones lineales surgen de manera natural de problemas geométricos. Luego las matrices surgen igualmente de manera natural como matrices de coeficientes de sistemas lineales y como agentes de cambio (transformaciones lineales). Esto prepara el escenario para los eigenvectores y las proyecciones ortogonales, los cuales se entienden mejor geométricamente. Los dardos que aparecen en la cubierta de este libro simbolizan vectores y reflejan mi convicción de que la comprensión geométrica debe anteceder a las técnicas de cálculo. Traté de limitar el número de teoremas en el texto. En su mayor parte, los resultados marcados como teoremas se usarán más tarde en el texto o resumen el trabajo precedente. Los resultados interesantes que no son el tema central del libro se incluyeron como ejercicios o exploraciones. Por ejemplo, el producto cruz de vectores se estudia sólo en exploraciones (en los capítulos 1 y 4). A diferencia de la mayoría de los libros de álgebra lineal, el que tiene en sus manos no tiene un capítulo acerca de determinantes. Los resultados esenciales están todos en la sección 4.2, con otro material interesante contenido en una exploración. Sin embargo, el libro es muy completo para ser un texto introductorio. Siempre que fue posible, incluí pruebas elementales y accesibles a los teoremas, con la finalidad de evitar el tener que decir: “la prueba de este resultado está más allá del ámbito de este texto”. El resultado es, espero, una obra completa en sí misma. No fui tacaño con las aplicaciones: existen muchas más en el libro de las que se pueden abarcar en un solo curso. Sin embargo, es importante que los alumnos vean la impresionante gama de problemas a la que puede aplicarse el álgebra lineal. Incluí algún material moderno acera de teoría de codificación que por lo general no se encuentra en un texto introductorio de álgebra lineal. También hay impresionantes aplicaciones del álgebra lineal en el mundo real, y un tema de interés histórico, si no práctico, que se presenta como “viñetas” independientes. Espero que los profesores disfruten la enseñanza a partir de este libro. Más importante: espero que los alumnos que usen el libro terminen el curso apreciando la belleza, el poder y la tremenda utilidad del álgebra lineal y que tengan diversión a lo largo del camino.

Qué hay de nuevo en la tercera edición La estructura global y el estilo de Álgebra lineal: una introducción moderna siguen siendo los mismos que en la tercera edición. He aquí un resumen del material nuevo:

Vea las páginas 13, 50

Vea las páginas 113, 241

Vea la página 295

Vea la página xvi

• El capítulo 1 se reorganizó de manera extensa. La introducción a la aritmética modular y al álgebra lineal finita se movieron a la sección 1.1. La sección 1.4 ahora sólo contiene aplicaciones: vectores código y una nueva subsección acerca de vectores fuerza, como aparecen en física e ingeniería. • Los modelos económicos lineales, un tema de importancia en negocios y economía, se agregaron como aplicación en los capítulos 2 y 3. • Una nueva viñeta acerca del “método de condensación” de Lewis Carroll para evaluar determinantes se agregó al capítulo 4. • Hay más de 400 ejercicios nuevos o revisados. • Realicé numerosos cambios pequeños de redacción para mejorar la claridad o precisión de la exposición. • Las asignaciones de tareas en línea ahora pueden realizarse usando Enhanced WebAssign, que contiene ejercicios relacionados con el libro.

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Prefacio

Vea la página xv

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• Ejercicios, con soluciones, ahora están disponibles para los Apéndices en el sitio web para el libro a disposición del profesor. Esto facilitará el uso del libro para aquellos profesores que incluyan material de los apéndices en sus cursos. • Todos los auxiliares existentes se actualizaron y muchos se colocaron en el sitio web de la empresa.

Características Estilo de escritura claro El texto está escrito en un estilo simple, directo y conversacional. Tanto como fue posible, usé “idioma matemático” en lugar de apoyarme de manera excesiva en notación matemática. Sin embargo, todas las pruebas dadas son totalmente rigurosas y el Apéndice A contiene una introducción a la notación matemática para quienes deseen simplificar su propia escritura. Ejemplos concretos casi siempre preceden a los teoremas, a los que luego siguen más ejemplos y aplicaciones. Este flujo, de lo específico a lo general y de regreso, es consistente a lo largo del libro.

Conceptos clave introducidos al inicio Muchos alumnos encuentran dificultad en el álgebra lineal cuando el curso avanza de la realización de cálculos (resolver sistemas de ecuaciones lineales, manipulación de vectores y matrices) a lo teórico (espacios generadores, independencia lineal, subespacios, bases y dimensión). Este libro introduce todos los conceptos clave del álgebra lineal muy temprano, en un escenario concreto, antes de volver a visitarlos con total generalidad. Los conceptos vectoriales como producto punto, longitud, ortogonalidad y proyección se estudian primero en el capítulo 1, en el escenario concreto de ⺢2 y ⺢3 antes de que las nociones más generales de producto interior, norma y proyección ortogonal aparezcan en los capítulos 5 y 7. De igual modo, a los espacios generadores y la independencia lineal se les da un tratamiento concreto en el capítulo 2, antes de su generalización a espacios vectoriales en el capítulo 6. Los conceptos fundamentales de subespacio, base y dimensión aparecen primero en el capítulo 3, cuando se introducen los espacios renglón, columna y nulo de una matriz; no es sino hasta el capítulo 6 cuando a estas ideas se les da un tratamiento general. En el capítulo 4 se introducen los eigenvalores y los eigenvectores, y se exploran para matrices de 2 ⫻ 2 antes de que aparezcan sus contrapar...