Algebra Superior Rincon Bravo Facultad de Ciencias UNAM PDF

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Alejandro Bravo Mojica Hugo Rincón Mejía César Rincón Orta ÁLGEBRA SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM 2013 Álgebra superior 1º edición, 2006 © D.R. 2013. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán C. P. 04510, México, Distrito Federal edi...

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Algebra Superior Rincon Bravo Facultad de Ciencias UNAM Víctor Diaz

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Alejandro Bravo Mojica Hugo Rincón Mejía César Rincón Orta

ÁLGEBRA SUPERIOR

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

2013

Álgebra superior 1º edición, 2006

© D.R. 2013. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán C. P. 04510, México, Distrito Federal [email protected] ISBN: 978-968-32-3750-7 Diseño de portada: Laura Uribe Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales Impreso y hecho en México

Índice general Prefacio

ix

1 Lógica proposicional 1.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad . . . . . . . . . 1.2 Conectivos lógicos y Tablas de verdad . . . . . . . . . . 1.3 Tautologías y absurdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sistemas completos de conectivos . . . . . . . . . . . . 1.5 Reglas de inferencia, deducciones . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Regla del reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Regla de la tautología . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Negaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Inferencias no válidas . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Reducción al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Apéndice. Sistemas formales . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 El sistema formal L . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 El Teorema de la deducción y las hipótesis adicionales 1.9 Valuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conjuntos y funciones 2.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Pertenencia y contención . . . . . . . . . . 2.1.2 Especicación y existencia . . . . . . . . . 2.1.3 No hay un conjunto de todos los conjuntos 2.1.4 Intersecciones y complementos . . . . . . . 2.1.5 Uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 La diferencia simétrica . . . . . . . . . . . iii

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1 1 5 8 11 15 18 20 26 27 30 38 39 41 53 56

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61 61 63 65 66 67 69 74 77

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ÍNDICE GENERAL 2.1.8 El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Parejas ordenadas, producto cartesiano y relaciones . 2.2.1 Axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Órdenes parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Retículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Orden en un producto de conjuntos ordenados . . . . 2.4 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Funciones suprayectivas . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Axioma del innito . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Conjuntos innitos . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Imágenes directas e imágenes inversas . . . . . . . . . 2.7 Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . 2.8 La relación de equivalencia generada por una relación 2.9 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 La restricción de una operación . . . . . . . . 2.9.2 Operaciones asociativas . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Tablas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . .

3 El conjunto N de los números naturales 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Los axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Deniciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Demostraciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Conjuntos transitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Conjuntos innitos y conjuntos nitos . . . . . . . . 3.8 El conjunto de los naturales es un conjunto innito 3.9 El orden en los naturales . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Recursión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Las propiedades algebraicas de los naturales . . . . 3.11.1 La suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.2 El producto en N . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.3 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Apéndice. Sobre las deniciones recursivas . . . . .

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78 79 84 86 90 92 96 98 101 105 107 107 109 112 117 125 133 135 137 138

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143 143 144 145 149 157 158 161 161 167 171 174 174 183 188 190

ÍNDICE GENERAL 4 Los números enteros 4.1 Construcción y deniciones . . . . . . . . . . . . . 4.2 El orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Los enteros positivos . . . . . . . . . . . . 4.3 Inmersión de los naturales en los enteros . . . . . 4.4 El producto en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . 4.6 Divisibilidad y congruencias . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Subconjuntos de Z cerrados bajo la resta. 4.6.2 El máximo común divisor . . . . . . . . . 4.6.3 El mínimo común múltiplo . . . . . . . . . 4.7 El Teorema fundamental de la Aritmética . . . . 4.7.1 El conjunto de primos es innito . . . . . 4.8 El algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 4.9 El anillo de los enteros módulo n . . . . . . . . . 4.10 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Sistemas de congruencias . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1 El Teorema chino del residuo . . . . . . . 4.12 Ecuaciones diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Sistemas de numeración con bases distintas de 10 4.13.1 Algunos criterios de divisibilidad . . . . . 4.14 Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.1 La suma en Q . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.2 El producto en Q . . . . . . . . . . . . . . 4.14.3 El orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.4 Inmersión de Z en Q . . . . . . . . . . . .

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197 198 201 201 202 203 208 210 210 216 218 226 230 231 234 240 243 247 255 262 267 270 273 274 275 278

5 ¿De cuántas maneras? 281 5.1 ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos? . . 287 5.1.1 El principio de la pichoneras . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.2 Subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos 292 5.3 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 5.3.1 Ordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 5.4 ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de A a B? . . . . . . . . 308 5.4.1 Relación de recurrencia para Pnm . . . . . . . . . . . . . 311 5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

vi

ÍNDICE GENERAL

6 El campo de los números reales 6.1 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . 6.2 Construcción de R a partir de las cortaduras en Q 6.3 Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . 6.4 El producto en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Supremos e ínmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 El principio del supremo . . . . . . . . . . 6.5.2 La recta está completa . . . . . . . . . . . 6.6 Representación decimal de un número real . . . .

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7 El campo C de los números complejos 7.1 La inmersión de R en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 La conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 La ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Representación geométrica de los números complejos . . . . 7.5.1 Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar . . 7.6 Raíces n−ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . 7.7 El argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . . . 7.8 Algunas transformaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Contracciones y expansiones . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 Reexión sobre el eje X . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.4 Reexión respecto al origen . . . . . . . . . . . . . . 7.9 La función exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1 Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.2 La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Espacios vectoriales 8.1 Conceptos preliminares . . 8.2 Espacios vectoriales . . . . 8.3 Subespacios . . . . . . . . 8.3.1 Dependencia lineal 8.4 Bases . . . . . . . . . . . .

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331 331 333 339 348 356 357 360 363

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369 375 375 377 379 381 385 388 389 395 398 399 399 400 400 401 401

. 404 . 406 . 409 . . . . .

411 411 420 425 431 436

ÍNDICE GENERAL

vii

8.4.1 Intersección de subespacios y suma de subespacios . . . 444 8.5 Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 8.6 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 8.6.1 El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.7 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 T 8.8 La matriz de una función lineal entre F n −→ F m . . . . . . . 461 8.9 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.9.1 Algunas deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.9.2 Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales 475 8.9.3 Algoritmo para la solución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.10 Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 488 8.11 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.11.1 Notaciones para permutaciones . . . . . . . . . . . . . 497 8.11.2 La paridad de una permutación . . . . . . . . . . . . . 502 8.11.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.11.4 El desarrollo del determinante respecto a un renglón . 506 8.11.5 El determinante de un producto de matrices I . . . . . 513 8.11.6 Determinantes y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 8.11.7 El determinante de un producto de matrices II . . . . . 522 8.11.8 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . 528 8.11.9 La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 8.11.10 Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . 532 8.11.11 Resumen de las propiedades del determinante . . . . . 535 9 Polinomios con coecientes en R 539 9.1 Construcción y deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 9.2 Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 9.3 Los ideales de R [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 9.3.1 Traslación de la gráca de un polinomio . . . . . . . . 560 9.3.2 El método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 9.4 Un procedimiento gráco para resolver algunas desigualdades . 569 9.4.1 Procedimiento gráco para resolver la desigualdad f(x) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 9.4.2 Una aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 9.5 Reexión sobre el eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.6 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.7 Valores intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

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ÍNDICE GENERAL 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14

Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas y multiplicidad . . . . . . . . . El teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . Regla de los signos de Descartes . . . . . . Raíces racionales . . . . . . . . . . . . . . Coecientes y raíces . . . . . . . . . . . . Polinomios de tercer grado . . . . . . . . . 9.14.1 El discriminante y número de raíces 9.15 Polinomios de grado cuatro . . . . . . . . 9.16 Otra construcción de C . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . reales . . . . . . . .

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582 591 594 605 610 612 615 616 623 625

A Una teoría axiomática para R 629 A.1 Los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 A.1.1 Axiomas, Grupo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 B Las B.1 B.2 B.3 B.4

funciones trascendentes “Un cúmulo de conocimientos previos” Hipótesis. (Mosaico 1) . . . . . . . . . La función exponencial (2a. versión) . Funciones trigonométricas . . . . . . .

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633 633 639 640 645

Prefacio La Matemática es una ciencia viva. Cada año incorpora a su acervo miles de teoremas. Cada día se producen nuevos resultados. Aparecen nuevas teorías y se actualizan las que son clásicas. Se mejoran todas. La tecnología aporta nuevos puntos de vista; otra manera de enfocar los temas sustantivos de ésta, que es la más pura expresión de la inteligencia humana Sin embargo, dentro de esta revolución de nuevas ideas, se distinguen aquellas que por su trascendencia se conservan incólumes. Apenas tocadas por el maquillaje de las nuevas formas de expresión. La Geometría de Euclides, enriquecida con las precisiones de Hilbert, permanece subyacente en una gran parte del conocimiento cientíco. Y qué decir del Álgebra, el lenguaje universal con el que se expresa la Matemática. Las ciencias de la computación han cambiado sustancialmente el proceso de enseñanza-aprendizaje, pero los conceptos básicos y la lógica con la que deben manejarse siguen siendo vigentes y su importante relevancia se reconoce en el énfasis que se pone en los contenidos curriculares de los primeros cursos de las diferentes licenciaturas que no abandonan la enseñanza de la Geometría ni del Álgebra. La idea central que nos motivó para escribir este libro fue la de realizar un intento para reunir algunas partes esenciales de ese conocimiento sobre el que se construye y desarrolla el edicio de la Matemática La experiencia de muchos cursos de álgebra básica que los estudiantes toman en los primeros semestres de sus carreras y que los autores hemos impartido durante varios años en las facultades de Ciencias y de Química de la UNAM, nos llevaron a seleccionar el contenido, y conscientes de que el problema del rigor es uno de los parámetros más importantes en el proceso de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, decidimos mantener éste en un grado de dicultad adecuado para buscar el equilibrio -el justo balance- entre el formalismo deseado y el nivel de conocimientos y habilidades con que -sabemos- ingresan nuestros alumnos a las licenciaturas. Nos queda claro que el aprendizaje de la ix

x

PREFACIO

Matemática exige la formación de estructuras mentales de la más alta calidad, que obviamente, no pueden generarse de la nada. Para lograr un aprendizaje signicativo, es indispensable ante todo, una buena formación previa y se requiere además un esfuerzo mantenido -constante- por parte del estudioso que debe “hacer suyo el conocimiento”. Que necesita ir modicando sus marcos conceptuales y desarrollando el caudal de habilidades y de herramientas teóricas que le permitan continuar con buen éxito su desarrollo profesional. Enfatizamos aquí la importancia de este esfuerzo, convencidos de que cada resultado, cada denición, cada concepto que el estudiante ignora produce, cuando aparece en un discurso, un “cono de sombra” que oscurece, oculta o distorsiona una parte signicativa del desarrollo posterior de teoría, que puede en muchos casos, volverse inentendible para él. Agradecimientos Agradecemos a los árbitros por la cuidadosa lectura del texto, y por sus valiosos comentarios y sugerencias. Agradecemos a Rolando Gómez Macedo por haber señalado multitud de errores tipográcos. Agradecemos al Dr. Carlos Velarde por las ilustraciones de la transformación geométrica producida por la función exponencial compleja. A todas las personas que contribuyeron de alguna manera a la realización de este libro, les agradecemos su ayuda e interés.

Capítulo 1

Lógica proposicional Puede decirse que la Lógica matemática es una teoría analítica del arte de

razonar, y uno de sus principales objetivos es sistematizar (codificar) los principios que rigen los razonamientos válidos. Surge de la forma en que usamos el lenguaje para argumentar y persuadir, y se basa en la identicación de las partes esenciales de este lenguaje que se requieren para tal propósito. Es, en este sentido, una Teoría axiomática intuitiva, que tiene como uno de sus propósitos fundamentales el de clasicar los razonamientos dentro de dos clases: los válidos y los no válidos. De una manera informal, diremos que un razonamiento es válido cuando nos permite obtener conclusiones verdaderas si uno ha comenzado con proposiciones verdaderas (las hipótesis). En cambio, un razonamiento que a partir de proposiciones verdaderas produzca conclusiones falsas, no es un razonamiento válido. En este texto daremos una pequeña introducción al tema de la Lógica Matemática. El lector que quiera profundizar, puede consultar: [7], [18].

1.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad Comenzaremos con los conceptos primitivos de Falso (F o 0) y de Verdadero (V o 1). Decimos que ambos conceptos son primitivos porque no los explicamos en términos de conceptos más elementales. Es claro que el proceso de “explicar” no puede ser innito, porque entonces nunca podríamos hablar de nada, nos la pasaríamos “explicando” cada concepto usado e inventando nuevos. Para dar una imagen de esto, 1

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CAPÍTU...