AM2 R22 - AM2 Definicje i twierdzenia oraz wykłady pomocne do zalicznia kursu PDF

Preview

Summary

AM2 Definicje i twierdzenia oraz wykłady pomocne do zalicznia kursu...

Description

Rozdział

2

Szeregi liczbowe *** 2.1 2.2

Definicja i najprostsze przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kryteria zbieżności szeregów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Kryterium całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Kryterium porównawcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Kryterium ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Kryterium d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Dwa kryteria Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Szeregi naprzemienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Zbieżność bezwzględna i warunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Kryterium Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Obliczenia przybliżone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Zmiana porządku wyrazów szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 34 34 37 38 40 42 44 44 45 47 48

Każdy z nas potrafi obliczyć sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, korzystając ze znanego wzoru. Niestety, na razie jest to jeden z nielicznych wzorów, który możemy wykorzystać do obliczenia sumy wszystkich wyrazów danego ciągu. W tym rozdziale będziemy w sposób ogólniejszy badać sumy wyrazów ciągów. Sumy takie nazwiemy szeregami (w wielu szkołach nauczyciele wręcz mówią o szeregu geometrycznym zamiast o sumie nieskończonego ciągu geometrycznego). Odróżniać przy tym będziemy samą konstrukcję nieskończonej sumy wyrazów ciągu od jej wartości liczbowej.

2.1 Definicja i najprostsze przykłady Zdefiniujemy teraz pojęcie szeregu liczbowego. Uważny Student od razu zauważy podobieństwo jego definicji do definicji całki niewłaściwej pierwszego rodzaju, którą sformułowaliśmy w poprzednim rozdziale. Zasada bowiem jest tu identyczna. Aby uzyskać sumę wszystkich wyrazów ciągu, sumujemy skończoną ilość jego początkowych wyrazów i z ich ilością przechodzimy do nieskończoności. Definicja 2.1.1. Mając dany ciąg liczbowy (an ), gdzie an ∈ R, wyrażenie a1 + a2 + · · · + an + · · · = 29

∞ X

n=1

an

30

2.1. DEFINICJA I NAJPROSTSZE PRZYKŁADY

nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach a1 , a2 , . . . Jeśli ciąg sum częściowych (Sn ), gdzie Sn = a1 + a2 + · · · + an , ciągu (an ) jest zbieżny do granicy ∞ X an jest zbieżny i piszemy właściwej, to mówimy, że szereg n=1

∞ X

an = lim Sn . n→∞

n=1

Liczbę tę nazywamy sumą szeregu

∞ X

an .

n=1

Jeśli lim Sn = ±∞, to szereg ten nazywamy rozbieżnym do ±∞ i piszemy n→∞

∞ X

n=1

Jeśli granica lim Sn nie istnieje, to szereg n→∞

an = ±∞.

∞ X

an nazywamy rozbieżnym.

n=1

Przykład 2.1.2. Na początku wyznaczymy z definicji sumę szeregu potęgowego ∞ X 1 . 2n n=1

W tym przypadku ciąg sum częściowych szeregu jest postaci Sn =

1 1 1 1 − 21n 1 1 = 1− n. + 2 + ··· + n = · 2 2 2 2 1 − 12 2

I skoro lim Sn = 1, to rozważany szereg jest zbieżny i w konsekwencji n→∞

  ∞ X 1 1 1 − = 1. = lim n→∞ 2n 2n n=1 Oczywiście w praktyce nikt w ten sposób nie sumuje wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego. Zauważamy bowiem, że skoro Sn = a1 + a1 q + a1 q 2 + · · · + a1 q n−1 = a1

1 − qn , 1−q

co można bardzo łatwo uzasadnić indukcyjnie, to po przejściu z n do nieskończoności dla |q| < 1 otrzymujemy wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego S = a1 + a1 q + a1 q 2 + · · · = lim Sn = n→∞

który z powodzeniem stosujemy od wczesnych lat przedszkolnych.

a1 , 1−q

31

ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE

Ale istnieją szeregi innego typu, których sumy także będziemy potrafili obliczać z definicji. Są to te wszystkie przypadki, gdy poszczególne składniki sumy częściowej szeregów upraszczają się, pozostawiając proste wyrażenie, którego granicę możemy już obliczyć. Rozważmy następujący przykład. Przykład 2.1.3. Wyznaczmy teraz sumę szeregu ∞ X

n=1

Zauważmy, że

1 . n(n + 1)

1 1 1 . = − n+1 n n(n + 1)

Dzięki temu otrzymujemy S1 S2 S3

Sn

1 = 1−  2    1 1 1 1 = 1− + =1− − 3 2 2 3       1 1 1 1 1 1 = 1− + + =1− − − 4 2 3 4 2 3 .. .     1 1 1 n→∞ 1 − = 1− −→ 1 =1− + ··· + n n+1 n+1 2 ∞ X

n=1

  1 1 = 1. = lim 1 − n(n + 1) n→∞ n+1

Przykład 2.1.4. Uzasadnimy teraz z definicji rozbieżność szeregu

∞ X (−1)n . W tym przypadku mamy n=1

S1 = −1, S2 = −1 + 1 = 0, S3 = 0 − 1 = −1, S4 = −1 + 1 = 0, . . . , czyli S2n−1 = −1,

S2n = 0.

Granica lim Sn nie istnieje, więc rozważany szereg jest rozbieżny. n→∞

Przykład 2.1.5. A teraz, jak się okaże już niedługo, jeden z najważniejszych szeregów liczbowych. Rozważmy szereg harmoniczny ∞ X 1 . n n=1 Sn S2n S2n − Sn

1 1 1 + + ··· + n 2 3 1 1 1 1 1 1 + ··· + + = 1 + + + ··· + + n+1 n+2 2 n 3 2n 1 1 1 1 1 = . > n· + ··· + + = 2n 2n n+1 n+2 2 = 1+

32

2.1. DEFINICJA I NAJPROSTSZE PRZYKŁADY

Gdyby szereg harmoniczny był zbieżny, to ciągi (Sn ) oraz (S2n ) byłyby zbieżne do tej samej granicy, a różnica S2n − Sn dążyłaby do zera. Tymczasem lim (S2n − Sn )  n→∞

∞ X 1

n=1

n

1 2

. A zatem

= ∞.

Dowód rozbieżności do nieskończoności szeregu harmonicznego przedstawił jeszcze w średniowieczu francuski biskup i filozof Mikołaj z Oresme (1320 – 1382). On jednak postąpił zupełnie inaczej. Założył, że szereg ten ma własność łączności dodawania wyrazów sąsiednich. Państwo odkryją tę własność szeregów liczbowych dopiero w Twierdzeniu 2.4.1. Jego pomysł można oddać w następujący sposób. ∞ X 1 n n=1

   1 1 1 1 + + + + ··· + 3 2 4 5    1 1 1 1 + + ··· +  1+ + + 4 8 4 2 1 2 4 16 8 = 1+ + + + + ... + 32 16 2 4 8 = 1+









 1 1 + ...  + ··· + 17 32      1 1 1 1 1 + ··· + + ··· + + ... = + + 32 16 32 16 8 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + + ... = ∞ 2 2 2 2 2 1 8

+

1 1 + ··· + 16 9

+

Z nieskończoności tego ostatniego szeregu wyciągnął wniosek o nieskończoności szeregu harmonicznego. Ten bardzo naturalny, zastosowany przez Mikołaja z Oresme sposób badania zbieżności szeregów liczbowych przybliży Państwu Twierdzenie 2.2.7 dopiero w kolejnym paragrafie.

Mikołaj z Oresme

A teraz zmienimy odrobinę obszar zainteresowania. Być może pamiętają Państwo Przykład 1.3.4 oraz Twierdzenie 1.3.5 z poprzedniego rozdziału, w którym podaliśmy warunek konieczny zbieżności całki niewłaściwej pierwszego rodzaju. Sformułowanie analogicznego twierdzenia dla szeregów wydaje się teraz o wiele prostsze. Twierdzenie 2.1.6 (warunek konieczny zbieżności szeregu). ∞ X an jest zbieżny, to lim an = 0. Jeśli szereg n→∞

n=1

Dowód. Jeśli szereg

∞ X

n=1

an jest zbieżny, to istnieje liczba S ∈ R taka, że dla Sn = a1 + · · · + an

33

ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE

mamy lim Sn = S.

n→∞

Skoro wiec Sn = Sn−1 + an , to lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

∞ X 1 1 = 1, od razu wynika zatem równość lim n = 0. Ale nie na n n→∞ 2 2 n=1 ∞ X 1 1 = 0, podczas gdy = ∞. odwrót. Mamy bowiem na przykład lim n→∞ n n n=1

Przykładowo, z faktu, że

Przykład 2.1.7. Uzasadnimy rozbieżność do ∞ szeregu ∞ X n . ln n n=2

Gdyby szereg ten był zbieżny, to mielibyśmy lim

n

n→∞ ln n

lim

n→∞

= 0. Tymczasem

∞ ] 1 n [∞ = lim 1 = lim n = ∞. n→∞ n→∞ ln n n

Zatem rozważany szereg jest rozbieżny do ∞, czyli ∞ X n = ∞. ln n n=2

Przykład 2.1.8. Podobnie można uzasadnić rozbieżność szeregu ∞ X (−1)n n2 . 100n2 + 1 n=1

Niech an =

(−1)n n2 . Mamy 100n2 + 1 a2n−1 =

1 −(2n − 1)2 n→∞ −→ − , 100 100(2n − 1)2 + 1

a2n =

1 (2n)2 n→∞ −→ . 100(2n)2 + 1 100

Granica lim

n→∞

(−1)n n2 100n2 + 1

nie istnieje, a zatem szereg

jest rozbieżny.

∞ X (−1)n n2 2+1 100n n=1

34

2.2. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

2.2 Kryteria zbieżności szeregów liczbowych W wielu przypadkach zastosowań praktycznych kwestia dokładnej wartości sumy szeregu nie jest jednak najważniejsza. Na pierwszy plan wysuwa się bowiem pytanie o zbieżność danego szeregu. Istotne jest dla nas rozstrzygnięcie, czy badany szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny do nieskończoności. Wtedy dokładne obliczenie sumy szeregu z definicji nie jest konieczne. Wystarczy bowiem jakoś oszacować wyrazy sumowanego ciągu, czy też przyjrzeć się innemu szeregowi, którego wyrazy podobnie szybko maleją do zera w nieskończoności, lub nawet całce z podobnie szybko malejącej do zera funkcji ciągłej. W niektórych przedstawionych poniżej kryteriach uważny Student odnajdzie odpowiedniki twierdzeń podanych w poprzednim rozdziale dla całek niewłaściwych.

2.2.1

Kryterium całkowe

Przykład 2.2.1. Z∞ ∞ X 1 1 oraz odpowiadającą mu całkę dx, która – jak Rozważmy ponownie szereg harmoniczny n x n=1

pamiętamy – jest rozbieżna do nieskończoności. Mamy

1

a zatem Z∞ 1

∞ X 1 1 dx ¬ . x n n=1

I skoro rozważana całka jest rozbieżna do nieskończoności, co pokazaliśmy w Przykładzie 1.1.2, a suma szeregu nie jest mniejsza od wartości całki, to szereg harmoniczny także jest rozbieżny do nieskończoności. Ale na tym przykładzie możemy zaobserwować coś więcej. Zauważmy bowiem, że mamy tu także

35

ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE

∞

Z ∞ X 1 1 ¬ dx n x n=2

1

∞ X 1 ¬ n n=1

Z∞

i w konsekwencji

1

1 dx. x

Mamy zatem Z∞ 1

Z∞ ∞ X 1 1 1 dx. ¬ dx ¬ x n x n=1 1

Podobnie można uzasadnić, że spełnione są nierówności ∞ X 1 ¬ n n=1

Z∞ 1

∞ X 1 1 dx ¬ , x n n=1

a stąd otrzymujemy już następującą własność: ∞ X 1 = ∞ n n=1

wtedy i tylko wtedy, gdy

Z∞ 1

1 dx = ∞ x

Zbieżność szeregu jest zatem ściśle związana ze zbieżnością odpowiadającej mu całki niewłaściwej I rodzaju. W tym przypadku z rozbieżności do nieskończoności całki niewłaściwej wynika rozbieżność do nieskończoności szeregu harmonicznego.

36

2.2. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

Twierdzenie 2.2.2 (kryterium całkowe zbieżności szeregu). Niech funkcja f : [k, ∞) −→ [0, ∞), gdzie k ∈ N ∪ {0}, będzie malejąca (lub choćby nierosnąca). Z∞ ∞ X f (x) dx. f (n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka Wtedy szereg n=k

k

Przykład 2.2.3. Zbadajmy zbieżność szeregu ∞ X

n=1

Z∞

dx 1 = lim 3x + 1 3 T →∞

ZT

1 . 3n + 1

3dx 1 = lim ln (3x + 1) 3x + 1 3 T →∞

1

1

T

|1

A zatem

∞ X

n=1

=

1 lim ( ln(3T + 1) − ln 4) = ∞. 3 T →∞

1 = ∞. 3n + 1

Przykład 2.2.4. ∞ X 1 jest zbieżny, bo zbieżna jest całka Szereg 4n2 + 9 n=1

Z∞

dx 4x2 + 9

=

lim

T →∞

1

ZT 1

=

  x = 3s dx  2 =  2  dx = 3 ds 4x + 9 2

2T  Z3  3 1 ds 1  = lim arc tg s  = · lim  2 9 T →∞ s2 + 1 6 T →∞ 2 3

|

2T 3 2 3

     1 2T 1 π π  2 2 = ∈ 0, . − arc tg − arc tg lim arc tg 6 T →∞ 3 6 2 3 12 3

Przykład 2.2.5. ∞ X arc tg n Szereg jest zbieżny, bo zbieżna jest całka n2 + 1 n=0 Z∞

arc tg x dx x2 + 1

=

lim

T →∞

0

ZT 0

=

  dx  arc tg x = s arc tg x· 2 =  dx  x +1 = ds 2 x +1

π2 1  π 2 = . 2 2 8

  1   = lim arc tg 2 x  T →∞ 2

T

|0

=

Przykład 2.2.6. A teraz przykład dla Koneserów. Badamy szereg ∞ X

n=2

1 . n ln n· ln ln n

Jest on rozbieżny do ∞, bo rozbieżna do ∞ jest całka Z∞

1 dx x ln x· ln ln x

=

lim

T →∞

2

ZT 2

  ln ln x = s 1 dx  =  · dx  ln ln x x ln x = ds x ln x

ln(ln T )

=

lim ln s

T →∞

|ln(ln 2)

= lim

T →∞

   = lim  T →∞ 

ln(ln Z T)

1 ds = s

ln(ln 2)

  ln ( ln(ln T )) − ln ( ln(ln 2)) = ∞.

=

37

ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE

2.2.2

Kryterium porównawcze

Bardzo często przydawać się Państwu będzie najnaturalniejsze z przedstawianych w tym rozdziale ktyteriów. Z nierówności dla wyrazów ciągu wynika odpowiednia nierówność dla sum tych wyrazów. Mamy zatem odpowiednik kryterium porównawczego dla całek, teraz wyrażone dla funkcji dyskretnych, czyli w naszym przypadku określonych w punktach naturalnych. Twierdzenie 2.2.7 (kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Jeśli an ¬ bn dla każdego n  1, to ∞ X

n=1

an ¬

∞ X

bn .

n=1

Wnioski 2.2.8. Zachodzą następujące twierdzenia: • Jeśli • Jeśli

∞ X

n=1 ∞ X n=1

an = ∞,

∞ X

to

bn = −∞,

to

• Jeśli 0 ¬ an ¬ bn oraz • Jeśli an ¬ bn ¬ 0 oraz

bn n=1 ∞ X

∞ X

n=1 ∞ X

n=1

= ∞.

an = −∞.

bn jest zbieżny, to an jest zbieżny, to

∞ X

n=1 ∞ X

an jest zbieżny. bn jest zbieżny.

n=1

n=1

Wygląda całkiem nieźle. Ale podstawą zastosowania kryterium porównawczego jest w istocie umiejętność wyznaczenia szeregu, z którym można będzie porównać szereg wyjściowy. Potrzebna jest więc ∞ X 1 dla dowolnie ustalowiedza, z czym można porównywać. Umówmy się, że szereg postaci p n n=1 nej dodatniej liczby rzeczywistej p nazywać będziemy szeregiem harmonicznym rzędu p. To właśnie z nim bardzo często porównywać będziemy szeregi. A domyślacie się już Państwo, kiedy ten szereg jest zbieżny. Jako wniosek z kryterium całkowego oraz kryterium z p dla całek niewłaściwych pierwszego rodzaju (a może także badając osobno szereg dla p = 0), otrzymujemy bowiem następujące spostrzeżenie. Wniosek 2.2.9 (zbieżność szeregu harmonicznego rzędu p). ∞ X 1 Niech p  0. Wtedy szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1. np n=1 Zwróćcie jednak Państwo uwagę na fakt, że badając zbieżność szeregu, najpierw musimy wstępnie ocenić, czy badany szereg jest zbieżny, czy rozbieżny do nieskończoności. Postawienie prawidłowej hipotezy jest bardzo ważne, bo dzięki temu wiemy, z której strony mamy szacować sumę badanego szeregu, a więc jaką nierówność napisać. Przykład 2.2.10. Badamy szereg

∞ X

1 . 2+n n n=1

Wyrazy sumowanego ciągu są dodatnie, a patrząc na n2 w mianowniku, a więc na p = 2 > 1, podejrzewamy, że szereg ten jest zbieżny, a zatem wyrazy ciągu ograniczamy z góry. 0<

n2

1 1 < 2 +n n

=⇒

0<

∞ X

∞

X 1 1 < . n2 + n n=1 n2 n=1

38

2.2. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

I skoro szereg

∞ ∞ X X 1 1 także jest zbieżny. jest zbieżny (p = 2 > 1), to szereg 2+n 2 n n n=1 n=1

Przykład 2.2.11. Badamy zbieżność szeregu Mamy tu

∞ X √ 1 3 n tg . n n=1

 π x dla x ∈ 0, 2 √ 1 3 n n ∞ ∞ X X√ 1 1 2 3 = ∞, p = . n = 2 3 n 3 n n=1 n=1

tg x > √ 1 3 n tg n ∞ X √ 1 3 n tg n n=1

> 

A zatem ∞ X √ 1 3 = ∞. n tg n n=1

Przykład 2.2.12. Badamy zbieżność szeregu

∞ X ln n n=2

n2

.

W tym przypadku otrzymujemy

0 < ln x ln n 0 < n2 ∞ X ln n 0 < n2 n=2 A zatem szereg

∞ X ln n n=1

2.2.3

n2

√ < 2 x dla x > 1 √ 2 2 2 n = √ = 3 < n2 n n n2 ∞ X 1 3 jest zbieżny, p = > 1. < 2 3 2 2 n=1 n

także jest zbieżny.

Kryterium ilorazowe

Pora na kolejne narzędzie, którym będziemy mogli badać zbieżność szeregów. Będzie to odpowiednik kryterium ilorazowego dla całek niewłaściwych. Uzasadnienie prawdziwości tego twierdzenia można zatem oprzeć na kryterium całkowym zbieżności szeregów. Twierdzenie 2.2.13 (kryterium ilorazowe zbieżności szeregów). Jeśli an bn > 0 dla każdego n  k ∈ N oraz spełniony jest warunek lim

an

n→∞ bn

= g,

g ∈ (0, ∞),

to szeregi ∞ X

n=1

an

oraz

∞ X

n=1

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do nieskończoności.

bn

39

ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE

O ile zastosowanie kryterium porównawczego wymagało od nas wstępnej analizy zbieżności szeregu, postawienia poprawnej hipotezy i jej uzasadnienia, o tyle zastosowanie kryterium ilorazowego wydaje się znacznie prostsze. Tu jednak musimy wykazać się umiejętnością obliczania granic. Musimy tak zmodyfikować n-ty wyraz sumowanego ciągu, aby granica ilorazu była dodatnia i skończona. Przykład 2.2.14. Badamy zbieżność szeregu

∞ X

n=1

Mamy tu

1 p

n(n + 1)

an = p

oraz

.

1

oraz

n(n + 1)

an = lim lim n→∞ bn n→∞

s

n2 = n(n + 1)

bn =

r

lim

n→∞ n

1 n

n = 1. +1

A zatem oba szeregi ∞ X 1 n n=1

∞ X

oraz

n=1

p

1 n(n + 1)

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do ∞. Skoro jednak szereg harmoniczny jest rozbieżny do ∞, to także ∞ X 1 p = ∞. n(n + 1) n=1

Przykład 2.2.15.

A teraz pytamy o zbieżność szeregu

∞ X 3n − 2n

n=1

Mamy zatem an = a także

Skoro więc

4n − 3n

3n − 2n 4n − 3n

.

oraz

bn =

 n 3 , 4

 n 1 − 23 3n − 2n 4n an · = lim   = 1. = lim n lim n→∞ 4 − 3n 3n n→∞ bn n→∞ 1 − 3 n 4 ∞ X

n=1

bn =

∞  n X 3 n=1

4

=

3 1 · 4 1−

3 4

=

3 ·4 = 3, 4

to również zbieżny jest szereg wyjściowy.

Przykład 2.2.16.  ∞  X 1 ? 1 − cos A szereg n n=1 Pewnie troszkę trudniej wykombinować, że należałoby przyjąć an = 1 − cos

1 n

oraz

bn =

1 . n2

Dlaczego właśnie tyle? Wszystko wyjaśnia sposób obliczenia granicy lim

n→∞

sin2 1 − cos n1 an = lim = lim 1 1 n→∞ n→∞ bn n2 n2

1 n

·

1 1 + cos

1 ...