Amostra/prova prática 4 Abril 2019, questões PDF

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lista de apoio a prática...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: CONJUNTOS E FUNÇÕES 1a LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Mostre que A ⊂ B se, e somente se, A ∪ B = B. 2. Prove que B ⊂ A ∪ B. 3. Prove que A ∩ B ⊂ A. 4. Represente no diagrama a seguinte afirmação A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . 5. Sejam A e B conjuntos não-vazios. Prove que (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc Represente através do diagrama tal fato. 6. Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo. marca

No de consumidores

A

105

B

200

C

160

AeB

25

BeC

40

AeC

25

A, B e C

5

Nenhuma

120

Determine o número de pessoas consultadas. 7. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os dados tabelados abaixo.

1

marca

No de consumidores

A

109

B

203

C

162

AeB

25

BeC

41

AeC

28

A, B e C

5

Nenhuma

115

Determine: a) O número de pessoas consultadas. b) O número de pessoas que só consomem a marca A. c) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C. d) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 8. Em uma certa comunidade há indivíduos de três etnias: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda: a) Quantos indivíduos tem a comunidade? b) Quantos são os indivíduos amarelos? 9. Defina módulo de um número real e elimine o módulo a) | − 5| + | − 2| b) | − a|, (a > 0) c) |a|, (a < 0) d) |2a| − |3a|. 10. Sendo r > 0 elimine o módulo |x − p| < r. 11. Prove que para quaisquer x, y ∈ R temos |x + y| ≤ |x| + |y|. 12. Resolva as equações a) |x| = 2 2

b) |x − 2| = −1 c) |x + 1| = 3 d) |2x + 3| = 0 e) |2x − 1| = 1 f) |x| = 2x + 1. 13. Prove que para quaisquer x, y ∈ R a) |x − y| ≥ |x| − |y| b) |x − y| ≥ |y| − |x| c) ||x| − |y|| ≤ |x − y| n(n + 1) , ∀n ∈ N∗. 2 (n + 1)(4 + 3n) , ∀n ∈ N. 15. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 2+5+8+· · ·+· · ·+(2+3n) = 2 14. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 1 + 2 + 3 + · · · + n =

16. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 20 + 21 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1, ∀n ∈ N∗. n(n + 1)(2n + 1) , ∀n ∈ N∗. 6 ]2 [ n(n + 1) , ∀n ∈ N∗. 18. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = 2 17. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

19. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 8 | (32n − 1), ∀n ∈ N∗. 20. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 2 | (n2 + n), ∀n ∈ N. 21. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 3 | (n3 + 2n), ∀n ∈ N. ) ) ) ( ( ( 1 1 1 .···. 1+ 22. Demonstre, usando o princípio da indução finita: (1 + 1). 1 + = . 1+ 2

n + 1, ∀n ∈ N∗.

23. Demonstre, usando o princípio da indução finita:

3

n

1 1 1 1 n + + +· · ·+ = , ∀n ∈ N∗. 1 . 2 2 . 3 3. 4 n(n + 1) n + 1

24. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + · · · + n(n + 1) = n( n + 1)(n + 2) n N∗. ,∀∈ 3 25. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 2n ≥ n + 1, ∀n ∈ N∗. 26. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 2n > n, ∀n ∈ N. 3 27. Demonstre, usando o princípio da indução finita: 13 + 23 + 33 + · · · + n >

n4 , ∀n ∈ N∗. 4

28. Demonstre, usando o princípio da indução finita: (1 + a)n ≥ 1 + na, ∀n ∈ N∗, ∀a ∈ R, a ≥ −1. 3

29.

Sejam a, b ∈ R. Prove que se a < b então a < 1 (a + b) < b. Além disso, descrever ao longo da

demonstração a hipótese e a tese de tal questão.

2

4

30. Faça uma redação acerca do conjunto dos números reais e suas propriedades.

5...