Análise de Estruturas método das forcas e método dos desl ocamentos Volume I PDF

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Análise de Estruturas método das forcas e método dos deslocamentos Volume I Análise de Estruturas Volume I Humberto Limo Soriono, D.Sc Professor titular da Faculdade de Engenharia da Universidade do Estodo do Rio de Janeiro. Professor titular aposentado da Escola Politécnica da Universidade Federal ...

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Análise de Estruturas

método das forcas e método dos deslocamentos Volume I

Análise de Estruturas Volume I

Humberto Limo Soriono, D.Sc Professor titular da Faculdade de Engenharia da Universidade do Estodo do Rio de Janeiro. Professor titular aposentado da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro e da Coordenoçáo dos Progromos de Pós-Graduaçáo em Engenharia - COPPE-UFRJ.

Silvio de Souza Limo, D.Sc Professor odlunto da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro

EDITORA

CIÊNCIA

MODERNA

Análise de Estruturas - Volume I CopyrightO 2004 Editora Ciência Moderna Ltda. Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA. Nenhuma parte deste livro poderá 5er reproduzida, transmitida e gravada. por qualquer meio eietrônico, mecânico, por fotocópia e outros, se-m a prévia autorização, por escrito, da Editora. Editor: Paulo André P. Marques Produção Editorial: Carios Augusto L. Almeida Capa e Diagramação: Patricia seabra Digitalização de Imagens e digitação: Humberto Lima Soriano Revisão: Luiz Carios de Paiva Josephson Assistente Editorial: Daniele M. Oliveira Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simpiesmente iistar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara estar utilizando tais nomes apenas para fins editoriais, em benefício exclusivo do dono da Marca Registrada, sem intenção de infringir as regras de sua utilização.

FICHA CATALOGRÁFICA Soriano, Humberto Lima e Lima, Silvio de Souza Análise de Estruturas - Volume I Rio de Japeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2004 Eng-nharia es!ruturai; análise estrutural I- Titulo CDD 624.1

Editora Ciência Moderna Ltda. Rua Alice Figueiredo, 46 CEP: 20950-150, Riachuelo -Rio de Janeiro -Brasil Tel: (21) 2201-666212201-6492/2201-651112201-6998 Fax: (21) 2201-669612281-5778

"Students usually have little trouble with the mothematical manipulations used to solve aproblem. Our experience is that they have more trouble in understanding the physical nature of the problem. With the advent of numerical tools such as thefinite-elemenf method, there is less motivation for study of eleganf analytical techniques. But there is a continuing need for physical understanding. Whatever the analysis method, a problem must be understood before ir can be solved. In sfudying this book, the main goal may nof be to learn specific solutions but to learn what theproblems are: that is, how do various shapes respond to various loads?" Robert D. Cook e Wmen C. Young, em prefácio ao livro Advanced Mechanics of Materiais, publicado por Prentice-Hall, Inc.

Dedicamos este trabalho às nossas famílias pelo incentivo continuado.

Sumário

Prefácio

Capítulo 1 -Fundamentos Introdução Conceitos básicos Trabalho das forças externas e energia de deformaç80 Teorema dos deslocamentos virtuais Teorema das forças virtuais Método da força unitária 1.6.1 Efeito de forças externas 1.6.2 Efeito de temperatura 1.6.3 Efeito de deslocamento prescrito 1.6.3 Efeito de apoio elástico Teoremas de reciprocidade Estruturas siméticas 1.E. 1 Carregamento simétrico 1.8.2 Carregamento anti-simétrico Exercícios propostos

Capítulo 2 - Método das forças Introdução Sistemática do método das forças Exemplos de sistemas principais Variação de temperatura Deslocamento prescrito Apoio elástico Estruturas simétricas Forças nodais equivalentes

Análise de Estruturas - Volume 1

2.9

Coeficientes de rigidez 2.9.1 Barra biengastada 2.9.2 Barra engastada e rotulada 2.9.3 Barra engastada e liberada à força cortante Exercícios propostos

2.10

-

Capítulo 3 Métodados deslocamentos Introdução Sistemática do método dos deslocamentos Exemplos de sistemas principais Variação de temperatura Deslocamento prescrito Apoio elástico Estruturas simétricas Deformação de força normal Estrutura com barra inclinada Exercícios propostos

Capítulo 4 -Tópicos complementares 4.1 4.2

4.3 4.4

Introdução Linhas de influência 4.2.1 Linhas de influência de deslocamentos 4.2.2 Processo cinemático 4.2.3 Método das forças 4.2.4 Método dos deslocamentos Processo de Cross Exercícios propostos

Capítulo 5 - Análise automática de estruturas 5.1 5.2 5.3 5.4

5.5

Introdução Estrutura dos sistemas de análise Dados de estruturas em barras Sistema SALT 5.4.1 - Apresentação do Sistema 5.4.2 Análise estática 5.4.3 Linhas de influência e valores extremos Exercícios propostos

Respostas dos exercícios propostos selecionados Glossário Bibliografia Notações Índice

Prefácio

A motivação para a publicação desta Análise de Estruturas, em que este é o primeiro volume, foi disponibilizar material didático atuaiizado para as disciplinas tradicionalmente denominadas Hiperestática, Estática das Estruturas e/ou Anaise de Estruturas dos cursos de Engenhara Civil. Na linha de conhecimento, essas disciplinas vêem após as disciplinas Mecânica (Técnica), Isostática e Resistência dos Materiais. A Hiperestática, como disciplina, engloba o estudo do método das forças e do método dos deslocamentos, adotando simplificações e metodologias que permitem a análise de uma grande variedade de modelos de estruturas em barras em procedimento manual de cálculo. O método das forças, no caso particular de análise de treliças, foi desenvolvido no final do século XIX. O método dos deslocamentos foi concebido na terceira década do século XX e intensivamente utilizado em procedimento manual através de sua variante processo de Cross. Apesar do tradicionalismo desses métodos, eles constituem um tema atual por não terem substitutos. O método das forças é necessário para o desenvolvimento do método dos deslocamentos, e ambos, em procedimento manual de cálculo, propiciam o desenvolvimento no estudante do sentimento de comportamento estrutural, essencial para a concepção de estruturas eficientes e para a análise crítica de resultados fornecidos por sistemas computacionais. Esses sistemas utilizam o método dos deslocamentos em formulação matricial, extremamente trabalhosa em procedimento manual, e são indispensáveis atualmente nos escritórios de projeto.

Este volume apresenta a Hiperestática com terminologia e enfoque que facilitam o entendimento da análise matricial de estruturas tratada no, segundò volume. Apresenta também, uma introdução à análise automática de estruturas e o Sistema SALT, disponibilizado em versão acadêmica na "internet", para que o leitor possa confrontar seus resultados manuais com resultados computacionais, iniciando-o na interpretação de resultados de análise automática e motivando-o a progredir em seus estudos.

Análise de Estruturas - Volume 1

O segundo volume desta Análise de Estruturas, atualmente em desenvolvimento, abordará a formulação matricial do método dos deslocamentos e sua implementação computacional. O terceiro volume, em planejamento, apresentará uma introdução ao método dos elementos finitos na análise de estruturas. O objetivo desses três volumes é preparar o leitor para criteriosamente usar sistemas computacionais de análise de estruturas, por entender que bem utilizar esses sistemas não é fazê-los funcionar com agilidade. Os autores agradecem à Faculdade de Engenharia da Universidade do Estado do Rio de Janeiro e à Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro pelas condições favoráveis propiciadas ao desenvolvimento deste livro. Agradecem também aos seus colegas, professores e alunos, que de uma ou de outra forma contribuíram para essa realização. Criticas e sugestões que possam contribuir para o seu aprimoramento são bemvindas.

Fundamentos

1.1 - Introdução As estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte eiou de comportamento da estrutura como um todo elou de suas partes. Isso, para elaborar o projeto de uma nova estrutura a ser construída ou estudar o comportamento de uma estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura. Cabe ao engenheiro a responsabilidade de conceber esse modelo, sob ações externas estabelecidas a partir de códigos de projeto e com as aproximações julgadas cabíveis, e, após a determinação de seu comportamento, fazer análise crítica de sua pertinência. Neste livro, a análise se restringe ao estudo das estruturas em barras, desenvolverido métodos e processos de determinação de resultantes de tensão (esforços solicitantes), deslocamentos e reações de apoio. Por simplicidade de expressão, o modelo de análise é aqui também denominado estrutura, assim como a sua representação gráfica. Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projeto. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade &e avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados, e que se tenha "sentimento de comportamento das estruturas". Com o objetivo de propiciar ao leitor esse conhecimento e iniciá-lo no desenvolvimento desse sentimento, este primeiro volume de Análise de Estruturas apresenta a formulação clássica dos métodos das forças e dos deslocamentos em análise de

Análise de Estruturas - Volume 7

estruturas em barras, conduzindo o leitor à resolução de um grande número de pequenos modelos de estruturas. A presente abordagem é em terminologia e enfoque adequados à formulação matricial do método dos deslocamentos a ser apresentado no segundo volume juntamente com a correspondente implementação computacional. O terceiro volume tratará da análise de estruturas através do método de elementos finitos. Neste capítulo são apresentados os fundamentos dos métodos de análise de estruturas em bar& que em parte são estudados nas disciplinas de Isostática e de Resistência dos Materiais. Destaca-se o método da força unitária de cálculo de deslocamentos, por ser essencial ao método das forças apresentado no segundo capítulo. Por sua vez, esse último método é fundamental para o desenvolvimento do método dos deslocamentos apresentado no terceiro capítulo, que em sua formulação inatricial é O método amplamente utilizado nos sistemas computacionais de análise. No quarto capítulo é apresentado o estudo de linhas de influência e do processo de Cross. As linhas de influência são muito úteis no projeto de estruturas com cargas móveis, como pontes rodoviárias, ferroviárias e rolantes. O processo de Cross é uma forma manual prática de utilizar o método dos deslocamentos, atualmente pouco utilizado, mas que é apresentado por contribuir ao entendimento de comportamento das estruturas em barras.

O quinto capítulo introduz o leitor na análise automática, propiciando-o confrontar os seus resultados manuais utilizando os métodos aqui apresentados com resultados computacionais, fundamentando-o para adequadamente utilizar análise automática, ao mesmo tempo em que o motiva a progredir em seus estudos. Para isso, fornece informações para o uso do Sistema SALT de Análise de Estruturas desenvolvido pelos autores e disponibilizado em versão acadêmica na Intemet. Sugere-se ao leitor acompanhar o estudo dos primeiros quatro capítulos com a leitura do quinto capítulo e do uso do Sistema SALT ou de outro sistema de análise de estrutura que venha a ter disponibilidade.

1.2 - Conceitos básicos De forma simplificada, as estmturas podem ser classificadas como constituídas de barras (retas ou curvas) e como continuas. A barra é um elemento estrutural que tem uma dimensão preponderante em relação às demais. São as vigas, colunas, pilares, escoras, tirantes, eixos, nervuras etc., ditos elementos unidimensionais. As estruturas contínuas são constituídas de elemento(s) em que não se caracteriza uma dimensão preponderante, como as chapas, placas, cascas, membranas e blocos, ditos elementos de superfície e de volume, conforme se possam caracterizar duas ou três dimensões preponderantes. Utilizando computador, essas últimas estruturas são usualmente analisadas pelo método de elementos finitos. Com a hipótese de cada seção transversal de barra permanecer plana após a sua deformação por ações externas, a barra é idealizada para efeito de análise pelo lugar geométrico dos centróides de suas seções transversais. Esse é o eixo geométrico representado por um segmento de reta ou de curva, dito elemento unidimensional. Considera-se que as seções transversais sejam perpendiculares a esse eixo. Além disso, como os apoios são idealizados como pontuais, a estrutura fica modelada como um conjunto de elementos unidimensionais ligados entre si em pontos e em apoios discretos. Por simplicidade, a representação unidimensional de barra é aqui também denominada barra e qualquer de seus pontos, seção transversal.

Capitulo 1 - Fundamentos

Na Mecânica do Contínuo, em idealização tridimensional e proximidade infinitesimal de "ponto material", o efeito do material de um lado de uma seção infinitesimal sobre o material do outro lado desta seção é considaado por meio do vetor tensão de componentes normal e cisalhante. De forma mais simplista, em idealização unidimensional de barra na presente análise de estruturas, esse efeito é considerado em cada seção transversal através de resultantes de componentes de tensão denominadas esforsos solicitantes ou esforços seccionais, aplicadas no ponto representativo da seção. A Figura 1.1 ilustra esses esforços em barra utilizando o referencial xyz, em que x coincide com o eixo geométrico, e y e z, com os eixos principais de inércia da seção transversal em questão. Na parte (a) dessa figura, os esforços solicitantes N, V e M, que ocorrem no caso plano, representam o efeito da parte em tracejado da barra sobre a parte em traço contínuo da barra. Inversamente, o efeito da parte em traço contínuo sobre a parte em tracejado se faz através desses esforços em sentidos contrários. O esforço N, de vetor representativo de mesma direção que o eixo x, é denominado força ou esforço normal, de tração ou de compressão. O esforço V, de vetor representativo de mesma direção que o eixo y, é denominado força ou esforço cortante, e o esforço M, de vetor de seta dupla representativo de mesma direção que o eixo z, é denominado momentofletor. A Figura l . l b ilustra o caso tridimensional de esforços solicitantes, onde V, e V, são as forças cortantes, respectivamente segundo os eixos y e z, e M, e M, são os momentos fletores, também segundo esses eixos, e onde T é o monzento de torção de vetor representativo de seta dupla de mesma direção que o eixo x.

Seção transversal r-------.....-------

M L------------..-..--

(a) Caso plano

z

(b) Caso tridimensional

Figura 1.1 -Esforços solicitantes. 3

Análise de Estruturas - Volume 1

Uma vez obtidos os esforços solicitantes, os componentes de tensão em um ponto qualquer da seção transversal podem ser determinados com os conhecimentos da disciplina Resistência dos Materiais. Também podem ser determinados deslocamentos e rotações de uma seção qualquer da barra através da presente análise de estruturas. A rotação de uma seção em tomo do eixo y (ou z) é igual à rotação da tangente ao eixo geométrico da barra, deformada no ponto representativo da seção, no plano xz (ou xy). O termo dèslocamento é usado em sentido generalizado, incluindo deslocamento linear e deslocamento de rotação. Força tem também sentido generalizado, abrangendo força no sentido estrito da palavra e momento de força. São consideradas apenas ações (externas) estáticas sob as formas de forças aplicadas (concentradas ou distribuídas), de variação de temperatura, de deslocamento prescrito (por vezes, denominado recalque de apoio) e de deformação imposta, também denominada deformação prévia. Diz-se que são ações estáticas por terem aplicação gradual lenta até valores finais constantes, de maneira a poderem ser desprezadas as forças de inércia e de amortecimento. Em edificações, essas ações são estabelecidas pelos códigos normativos de projeto NBR-6120 e NBR-6123. A menos de efeito de instabilidade elástica, que não é objeto de estudo neste livro, a estrutura está em equilíbrio quando a resultante-força e a resultante-momento (em relação a um eixo qualquer) das ações e das reações de apoio são nulas. Decompondo essas resultantes em um referencial cadesiano XYZ, esse equilíbrio é expresso pela nulidade de suas componentes, o que é matematicamente representado pelas equações de equilíbrio da estática que se escrevem:

Quando essas equações são suficientes para determinar as reações de apoio e os esforços solicitantes em todas as seções das barras constituintes da estrutura, diz-se ser uma estrutura isostútica. A habilidade em determinar' esses esforços nesse tipo de estrutura é pré-requisito neste livro. Apoio é dito vínculo externo por ser imposto pelo meio exterior à estrutura. As denominadas reações de apoio são as componentes no referencial XYZ da reação força e da reação momento que um vínculo pontual exerce sobre a estrutura. A capacidade de uma seção transversal de barra transmitir esforço solicitante à seção que lhe é adjacente é um vínculo interno, por ser efeito de uma parte da barra sobre a outra sua parte, através da seção em questão. Quando os vínculos externos e internos são insuficientes para manter o equilíbrio estático da estrutura elou de suas partes, diz-se ser uma estrutura hipostática, cujo comportamento não é aqui objeto de estudo. No caso de vínculos externos elou internos superabundantes para o equilíbrio estático, diz-se ser uma estrutura hiperestática externa elou internamente, estrutura essa que é o objeto primeiro de estudo deste livro. O número de reações de apoio e esforços solicitantes superabundantes para esse equilíbrio é denominado grau de indeterminação estática que pode ser externo eiou interno. A Figura 1.2 ilustra essa classificação de equilíbrio estático em um modelo de estrutura denominado pórtico plano. O pórtico da Figura 1.2a é hipostático porque não tem vínculo que impeça o seu deslocamento horizontal como corpo rígido quando da atuação de forças com componentes horizontais. O pórtico da Figura 1.2b é isostático porque, dado um carregamento qualquer, as reações de apoio são suficientes para impedir os seus

Capítulo 1 - Fundamentos

deslocamentos de corpo rígido, quando então as equações de equilíbrio da estática são também suficientes para o cálculo dessas reações. Além disso, os vínculos internos são suficientes para impedir mecanismos da estrutura e de suas diversas partes. O pórtico da Figura 1 . 2 ~é hiperestático externamente, com grau de indeterrninação estática igual a 1, porque existe uma reação superabundante para impedir os deslocamentos de corpo rígido do pórtico como um todo, quando, então, as equações de equilíbrio da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio. O pórtico da Figura 1.2d é isostático externamente e hiperestático internamente, com grau de indeterrninação estática igual a 3, porque, mesmo após o cálculo das reações de apoio (utilizando as equações de equilíbrio da estática), os três esforços solicitantes da seção S indicada não são possíveis de serem calculados com equações da estática. É natural que se possa ter também estrutura hiperestática interna e externamente, quando, então, as equações da ...