Análisis Matemático 1 - Ricardo Figueroa García PDF

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 R. FICUEROA C. E d ic io n e s CBB LIMA - PERÚ A N Á L IS IS M A T E M Á T IC O 1 SEGUNDA EDICIÓN E n e ro 2006 © Im p re so e n E d ic io n e s J iró n L o re to 1696 B re ñ a - T e le fa x 4 2 3 -8 4 6 9 E -m a il: e d ic io n e s _ 2 @ h o tm a il.c o m L im a - P e rú Todo...

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 R. FICUEROA C.

E d ic io n e s

CBB

LIMA - PERÚ

A N Á L IS IS M A T E M Á T IC O 1 SEGUNDA EDICIÓN E n e ro 2006

© Im p re so e n E d ic io n e s J iró n L o re to 1696 B re ñ a - T e le fa x 4 2 3 -8 4 6 9 E -m a il: e d ic io n e s _ 2 @ h o tm a il.c o m L im a - P e rú

Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905 HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 1501052004 - 5262 RAZÓN S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C ÍA DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña E ste lib ro no se p u e d e rep ro d u cir total o p arcialm ente p o r n in g ú n m ed io e le c tró n ic o , m e c á n ico o fotocopia u o tro s m ed io s sin el p re v io y e x p re so p e rm iso d el autor.

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Prólogo Esie es un libro para un curso corto de A nálisis M atem ático dirigido para estudiantes cuyo interés prim ordial radica en la ingeniería, las ciencias físicas y m atem áticas, econom ía y ciencias adm inistrativas. Su propósito es el de proporcionar una exposición asequible y flexible que cubra los tem as m ás im portantes del Cálculo D iferencial de una v a riab le , tan sencilla y claramente como sea p o sib le, de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez del estudiante Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas antes mencionadas están ios siguientes. El prim er capítulo contiene algunos temas de revisión y preliminares para el estudio del A nálisis M atem ático: F U N C IO N E S . A quí se presenta en fonna com pleta las técnicas para hallar el dom inioy el rango. así como la construcción de sus gráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones como modelos m atemáticos de situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen primero en la Sección 1.7 donde se dan sugerencias de com o obtener dichas funciones paso a p a s o . El segundo c a p ítu lo , que trata sobre L I M I T E S , es q u iz á , el m ás im portante de los capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del Análisis M atem ático. Prim ero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del límite en térm inos de intervalos abiertos como vecindades . Las demostraciones de los teore­ mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan em pleando vecinda­ des y la abundancia de ejem plos perm iten al estudiante comprender realmente cada demostra­ ción . Los otros dos capítulos siguientes : C O N T IN U ID A D y DERIVADA son práctica­ mente una extensión del segundo cap ítu lo , pues cada uno de estos temas se definen a base de límites. En el capítulo 5 se hace un estudio amplio sobre las A P L IC A C IO N E S D E L A S D E ­ RIVADAS que implican m áxim os y mínim os así com o el trazado de gráficas de fu n cio n es,

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Prólogo

IV

problem as de optim ización y aproxim aciones del cálculo de raíces de una ecuación por el método de N e w to n . En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N E S PA R A M É T R ÍC A S , su derivada y aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen m étodos para calcular límites que toman diversas FO R M A S IN D E T E R M IN A D A S por lareg lad eL 'H o sp ital y la aplicación de la Fórm ula de Taylor para aproxim aciones p o linom iales. En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejem plos concretos , aplicaciones y problem as que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría com o para dem ostrar la notable versatilidad del C álculo en la investigación de im portantes cuestiones cien tíficas. Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicaciones, esencialmente por medio de ejercicio s, los cuales recom iendo se resuelvan progresivamente , tuda vez que en la selec­ ción de los m ismos , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­ cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran al final del libro Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento a la Editorial A M ÉR IC A cuyo personal no ha escatim ado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­ cación del te x to . A sim ism o , una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagram ar gran parte del manuscrito. Creo que su excelente colaboración ha sido inestim able .

El autor

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Contenido F U N C I O N E S ______________________________________________

1.2 1-3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

In tro d u c c ió n -------------------------

— , — - ........................ j .

1.1

Definición de función -----------------.---------------------------------- 2 Evaluación de una función -----------4 Gráfica de una función ............. ........... '— - — ........... - .............. .— • 6 13 Determinación del dom inio de una función — -----------------Determinación del rango de u n a f u n c i ó n . - - .................- — - - 17 Funciones com o m odelos matemáticos — .....................— - ............... 18 Funciones especiales Definición 1.5: F u u c ió ru d e n tid a d .................................................... 23 Definición 1 .6 : Función c o n s ta n te ........................................... 23 Definición 1.7 Función lineal — - ..................... ........... • 24 26 Definición 1.8: Función c u a d r á tic a .................................... Definición 1.9 Función raíz cuadrada ................ 31 D efinición 1.10: Función p o lín ó m ic a -----------------------35 Definición 1.11: Función r a c io n a l....................... 36 Definición Definición Definición Definición Definición Definición Definición Definición

1.12: 1.13 : 1.14 : 1.15 : 1.16: 1.17: 1.18 : 1.19:

Función seccionada ............... Función escalón unitario -• Función signo - Función valor a b s o l u t o ............................................. Función máximo entero ................................. Función par -Función impar — .......................... Función periódica — ................

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37 40 41 42 49 58 61 63

Contenido

VI 1.9 1.10 1.11

A lgebra de las f u n c io n e s ------------------------------------------------------------- 73 Com posición de f u n c io n e s ----------------------------------------------------83 Funciones crecientes y decrecientes --------------------------------------------- 94 Definición 1.23 : Función in y e c tiv a - 96 100 Definición 1.24 : Función sobreyecó va — .................................. Definición 1.23 : Función b iy e c tiv a -----------------------------------101 1.12 Función inversa ------------------------------------------1.12.1 Propiedades de las funciones inversas -------------------------------------------104 1.13 Función longitud de arco ------------------------------------------------------------ 115 1.14 Las funciones trigonom étricas — ---------------------------1.14.1 Propiedades de las funciones trigonométricas ------------------------------ 119 1.14.2 Gráficas de las funciones trigonom étricas ........................................... 123

116

L IM IT E S _____________________________________________£? 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13

2.14

Introducción ---------------------------------------------------------Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ................- .........................139 Definición 2.2 : Punto de a c u m u la c ió n .....................................................140 Definición 2.3 : Conjunto a c o t a d o ................- ......................................... 142 Definición 2.4 : Función a c o t a d a ------------------------------------------------143 Noción de lím ite de una función --------------------------------------------------- 145 Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N ---------------------- 147 El lím ite de una f u n c i ó n .............................. - 149 Definición 2 .6 : U na definición rigurosa del l í m i t e ---------------- 151 Teoremas sobre l í m i t e s ................................................. - .................. 167 Lím ite de una función in te r m e d ia -------------------------------------------------- 177 Técnicas para evaluar el límite de una función — ................................ 182 Lím ites la t e r a l e s ................................- --------------------------------Lím ite de las funciones trig o n o m é tric a s ....................................- ...............216 Lím ites al i n f i n i t o - ........... - ........................................... Límites i n f in ito s .....................— ------------------------Lím ites infinitos en i n f i n i t o ----------------------------------------------------------261 Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f ic a s ------------------------- 269 Las funciones exponenciales y lo g a rítm ic a s ...................................285 D efinición 2.21 : L a función p o te n c ia ........................................ Definición 2.22 : Función exponencial de base a ....................................286 Definición 2.23 : Función logarítm ica de base a ---------------------------- 287 El número e ---------------- 1 ------------------------------------------------------------292 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

139

202 236 252

285

VII

Contenido

2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g a rítm ic o s --------------------297 2.14.2 L ím iíe sd e la fo rm a : lim [ /( jc ) x-*a

= L

- ..................

298

Q j C O N T IN U ID A D ______________________________________ 3.1

3.2

33 3.4 3.5 3.6 3.7

Introducción ................... - .............................. 307 Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o ------------------------------------- 308 Definición 3.2 : Definición ( e - 8) d e la c o n lin u id a d ----------------------- 309 Definición 3.3 : Definición en términos de vecindades - ............ 309 309 Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id a d ------------Puntos de D isc o n tin u id a d ................................ 315 Definición 3.5 : Discontinuidad e v i t a b le ---------------------------------------315 Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable --------------------------------316 Continuidad lateral --------------------------------------------------------------------- 324 Composición de funciones c o n tin u a s --------------326 Continuidad en intervalos ------------329 Funciones acotadas -------------------------------------------------------------------- 341 Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s ---------------------- 349

L A D E R IV A D A ______________________________________ £ 4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6

Introducción ------------------------------------------------------------------------------ 363 In c re m e n to s .................. - -----------363 Definición 4.1 : Increm ento de una función -------364 Tangentes a una c u r v a ------------------------------------364 Definición 4 .2 : Pendiente de la t a n g e n te --------------------------------------- 365 Derivada de una función en un p u n t o --------------367 Definición 4.4 : Form a alternativa de definir / ’(■*).................... 367 D efinición 4.5 : L a función d e r i v a d a ----------------------369 Derivabilidad y continuidad --------------------- ............ .. 371 Reglas básicas de derivación ............................... - ............... — 382 Teorema 4 .2 : Regla de la c o n s ta n te ------------382 Teorema 4 .3 : Regla de la p o te n c ia --------------382 Teorema 4 .4 : Regla del múltiplo constante ...................... 383 Teorema 4 .5 : Regla de la combinación l i n e a l - .................... 384 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Contenido

VIII

Teorem a 4 .6 : R egla del p r o d u c to ..............- ------------

.................................................. 386

Teorema 4 .7 : R egla del r e c íp r o c o Teorem a 4 .8 : Regla del cociente 4.7

385

----------------------

387

R egla de la potencia generalizada - ---------------------

390

4.8

---------------------------------- 399 Derivada de una función c o m p u e s ta T eo rem a4 .1 0 : Regla de la c a d e n a -----------------------399

4.9

La derivada de una función i n v e r s a ---------------------------------------- - - - 401

4.10

Derivadas de orden s u p e r i o r ..............

409

4 .11

Derivación im p líc ita -----------------------------------------

422

Derivación de las funciones tra s c e n d e n te s--------------

428

Teorema 4 .1 4 : Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

441

4.12

Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritmo de base b -------------- 452 T e o re m a 4 .18 : D erivadade lafunción e x p o n e n c ia l-------------------------- 459 4 .1 9 :

Derivada de la función exponencial n a t u r a l--------------

459

Teorema 4 .2 0 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l------------- 460 4.13

A lgunos problemas sobre la t a n g e n te -------------------------------------------- 465 D efinición 4.6 : La recta tangente y a recta n o r m a l ------------------------- 465 Definición 4.7 : Tangente h o r iz o n ta l................

466

Definición 4.8 : Tangente vertical ----------------------------------------------- 466 Definición 4.9 :

....................... 467

Longitud de la tangente y n o r m a l

D efinición4.10: Angulo entre dos c u r v a s ----------------4.14

La derivadacom o razón de variación

Definición 4 .1 1 : Razón promedio de cam bio

- ...........— --------------- 478

Definición 4.12 : Razón de variación instantánea

-------------------------- 479

D efin ició n 4 .l3 : Intensidad relativa y razón porcentual 4.15

468

----------------------------------- 478

----------------- 481

M ovim iento r e c tilín e o -------------------------------------------------------- . . . .

482

Definición 4.14 : Velocidad prom edio e in s ta n tá n e a ----------------------- 483 D efinición 4.15 : L a aceleración in s ta n tá n e a --------------------------------- 485 4.16

Razones de variación re la c io n a d a s

4.17

D ife re n c ia le s------------------------

--------

488 506

T eorem a4.2l : El tam año relativo de d y y Ay ---------------

508

4.17.1 Propagación de errores - ..............- ----------

508

4.17.2 Aproximación lineal -------------------------------

511

4.17.3 Propiedades de las d ife re n c ia le s

515

...........

4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r i o r ..................... Definición 4.16 : Segunda d if e r e n c ia l

516 ..........................

517

4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r io r .................

518

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IX

Contenido

1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E L A D ER IV A D A ________________ £ 5.1 5.2

5.3

5.4 5.5 5.6

5.7

5.8 5.9

Introducción -------------------------------------------------------------------------------523 Máximos y m ín im o s -------------------------------------------------------------------- 523 Definición 5.1 : Noción de extremos -------------------------------------------- 523 Teorema 5 .1 : El teorem a del valor e x tr e m o ----------------------------------- 524 Definición 5 .2 : Extremos relativos o l o c a l e s --------------------------------- 524 Definición 5.3 : Número c r í t i c o ................. 525 Teorema 5 .2 : Teorema del extremo in te r io r ----------------------------------- 526 El teorem a del valor medio y sus a p lic a c io n e s-----------------------------------530 Teorema 5 .3 : El teorem a del R o l l e --------------530 Consecuencias del Teorema de R o l l e --------------------------------------------- 531 Teorema 5 .4 : Teorema del valor medio (L a g ra n g e )------------------------- 537 Consecuencia del Teorema de Lagrange ------------538 Teorema 5 .5 : Teorema de C a u c h y .............................- ........................- - 5 4 5 Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ............................551 Teorema 5 .6 : Funciones crecientes y d e c re c ie n te s -------------------------- 551 El criterio de la prim era d e r iv a d a ----------------------------------------------------555 El criterio de la segunda d e r iv a d a ........................... — 556 Teorema 5 .8 : Criterio de c o n c a v id a d ------------------------------------------- 568 Teorema 5 .9 : Punto de inflexión ---------------------571 Teorema 5 .1 0 : El criterio de la segunda d e r iv a d a --------------------------- 574 --------------------- 580 Resumen de técnicas para graficar una f u n c ió n Gráfica de una función polinóm ica — ------------------580 G ráfica de una función racional ...................... 583 G ráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r Gráfica de una función conteniendo un radical de índice i m p a r Gráficas de funciones s e c c io n a d a s -----------------------------------------Gráficas de funciones trascendentes Problemas de o p tim iz a c ió n ---------------El método de N e w t o n ------------

589 59! 594 601 611 637

E C U A C IO N E S P A R A M É TR IC A S ____________________£ 6.1 6.2

Curva p a ra m é tric a ----------------647 Derivación paramétrica ----------------------------------------------------------------655

6.3

Rectas tangentes a curvas p a ra m é tric a s ----------------Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

656

Contenido

X 6.4 6.5 6.6

Derivación paramétrica de orden s u p e r io r ---------------------------------------- 662 Asíntotas en curvas p a ra m é tric a s ----------------------------------------------------666 Trazado de curvas p a ra in é tric a s -----------668

F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S ______________________ 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

In tro d u c c ió n .................................. 677 Prim era regla de L’ H ospital: Forma 0 / 0 ---------------------------------------- 677 Segunda regla de L’ H o sp ital: Form a « A » .................. 684 Form as indeterminadas a d ic io n a le s --------------------------------------- 691 Las formas indeterminadas 0Ü, S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 S ~ 16rc ; r = 5 S = 2 5 it; . . . (1) Si designam os por A = { 2 , 3 . 4 , 5 , . . . } el c o n ju n to d e to dos lo s ra d io s e sc o g id o s y B = ( 4 ;c , 9 r t , I 6tc , 2 5 í t , . .} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si expresamos las magnitudes ( 1 ) com o un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una relación funcional de S a través de r : / = {(2 , 47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B Es d e c ir, esta correspondencia define una ...