Matemática Básica 1 - Ricardo Figueroa García PDF

Preview

Summary

libro para algebra y geometría analítica...

Description

MATEMÁTICA BÁSICA 1

ExeA VxEB

Pə

peg

pag EDICIONES

RFG

GUEROA G. MATEMÁTICA BÁSICA 1 R. FIGUEROA G.

SXEA

pal fog Ediciones

TA L Y RF G

LIMA - PER LibrosVirtual

MATEMÁTICA BÁSICA 1 Para Universidades y Centros de enseñanza superior La Primera Edición de esta obra filé publicada en Abril de 1982, siendo renovada los años 1984 (2da. Edición), 1986 (3ra. Edición) y 1996 (6ta. Edición) permaneciendo vigente en las ediciones Sétima y Octava hasta la actualidad.

N O VE NA EDICIÓ N Enero 2006 © Impreso en Ediciones Jirón Loreto 1696 Breña - Telefax 423-8469 E-mail: [email protected] Lima Perú Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905 “

HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599 - 2572 RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña

Este libro no se puede reproducir total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor. I

PROLOGO En la actualidad, en todas las disciplinas de estudio (carreras de cien cias, economía, ingeniería, administración, médicas, etc.) es evidente la necesidad de tener conocimientos básicos de las primeras áreas de las mate máticas (Algebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica). Desafortunadamente, de la misma manera también es evidente que el inte rés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creo que en gran par te los responsables de este desinterés somos las personas que de una manera u otra tenemos que ver con el proceso de enseñanza-aprendisaje. Este fué el motivo principal para la realización de esta obra. Actualmente, el contenido científico de un libro no es la única preocupa ción de los autores. El aspecto didáctico con lo que se presenta el mate rial es tan inportante como el contenido mismo. Haciendo mía esta preocupa ción, el contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema de instrucción personalizada, por lo cual los conceptos y propiedades que se presentan a lo largo de los 10 capítulos que consta la obra, (Lógica Conjuntos - Relaciones y Funciones - Los Números Reales - Relaciones y Fun ciones en R2 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas - Inducción Matemáti ca - Sucesiones - Los Números Complejos - Polinomios), están suficiéntemente motivados y reforzados con una cantidad amplia de ejemplos ilustrativos como de ejercicios propuestos, de tal manera que en todo el libro se presen tan más de 900 ejemplos y 1800 ejercicios a todos los niveles de dificultad.

La obra pretende buscar un equilibrio entre lo formal y lo intuitivo, de tal forma que se prefirió, en algunos casos, ser menos riguroso de lo desea do si se pensaba que ésto produciría un mayor beneficio pedagógico: sin em bargo, se trató de ser formal y preciso en la mayor medida posible. Este libro está básicamente enfocado a cualquier persona que desee adqui rir los fundamentos básicos de las matemáticas: así pienso que puede ser un buen auxiliar para los estudiantes que terminaron su educación secundaria como los del primer ciclo de las Escuelas Normales, Universidades y de cua¿ quier curso cuyo objetivo sea capacitar a los estudiantes para iniciarse en los estudios de cursos superiores. Sólo fines educativos LibrosVirtual II Prólogo Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a todas la per sonas que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus valiosas observacio nes a las primeras ediciones» pues sus criticas constructivas hicieron posi ble modificar el orden de algunos capítulos» agregar nuevos temas y mejorar la exposición de otros. Asimismo deseo expresar un especial reconocimiento a la Editorial AMERICA cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resol ver las dificultades inherentes a la publicación del texto. Una observación final. Se ha tenido especial cuidado en reducir las erra tas lo más posible. Cada ejercicio propuesto fué resuelto minuciosamente, las respuestas que figuran en la parte final del libro fueron comprobadas más de una vez. Aun cuando todo autor sueña con producir el libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tan to, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistí, do todavía. Ricardo Figueroa García *

Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido III

CONTENIDO LOGICA 1.1 Introdución. 1.2 Proposición 1 1.3 Proposiciones simples y compuestas 2 1.4 La Conjunción 4 1.5 La Disyunción 5 1.5.1 La Disyunción Inclusiva 6 1.5.2 La Disyunción Exclusiva. 1.6 La Negación 7 1.7 La Condicional o Implicación 9 1.7.1 Tabla de verdad de la Condicional o Implicación 9 1.7.2 El uso de las Proposiciones Implicativas 11 1.7.3 Proposición Recíproca 11 1.7.4 Proposición Inversa. 1.7.5 Proposición Contrarecíproca 12 1.8 La Bicondicional 12 1.9 Uso de los Signos de Agrupación 13 1.10 Evaluación de Esquemas Moleculares por la Tabla de Valores 19 1.11 Proposiciones Equivalentes 21 1.12 Otro uso de la Implicación 24 1.13 La Inferencia Lógica 27 1.13.1 El Método Abreviado 29 1.14 Principales Leyes Lógicas o Tautologías 33 1.14.1 Equivalencias Notables 34 1.14.2 Implicaciones Notables 43 1.15 La Demostración Matem ática. 1.15.1 Demostración Directa 45 1.15.2 Demostración Indirecta 47 1.16 Circuitos Lógicos. 1.16.1 Circuitos en Serie 49 1.16.2 Circuitos en Paralelo 50

CONJUNTOS 2.1 Definición. 2.2 Notación 61 2.3 Determinación de un conjunto 62 2.4 Conjuntos Finitos e Infinitos. 2.5 Conjuntos Numéricos 63

Sólo fines educativos LibrosVirtual IV Contenido 2.6 Conjuntos Especiales LO G IC A C U A N TIF IC A C IO N A L 64 2.7 Función Preposicional 66

2.8 Cuantificadores Universal y Existencial 67 2.9 Negación de Proposiciones que contienen Operadores Cuantificacionales 69 2.10 Funciones Lógicas que contienen más de una variable 71 2.11 Relaciones entre Conjuntos: Conjuntos Iguales. Conjuntos equivalentes 81 2.12 Representación Gráfica de los Conjuntos 85 2.13 Unión de Conjuntos. 2.13.1 Propiedades 89 2.14 Intersección de Conjuntos. 2.14.1 Propiedades 91 2.14.2 Propiedades Distributivas de la Unión e Intersección 93 2.14.3 Leyes de Absorción 94 2.15 Diferencia de Conjuntos. 2.15.1 Propiedades 94 2.16 Complemento de un Conjunto. 2.16.1 Propiedades 96 2.17 Diferencia Simétrica. 2.17.1 Propiedades 98 2.18 Número de elementos de un Conjunto. Propiedades 113

RELACIONES Y FUNCIONES 3.1 Introducción. 3.2 Par Ordenado 125 3.3 Producto Cartesiano 126 3.3.1 Propiedades del Producto Cartesiano 127 3.3.2 Diagonal de un Conjunto 129 3.3.3 Representación Geométrica del Producto Cartesiano 129 3.4 Relaciones Binarias 134 3.4.1 Dominio de una Relación. 3.4.2 Rango de una Relación 135 3.4.3 Propiedades del Dominio y Rango de una Relación 136 3.5 Relación Inversa o Reciproca. Propiedades 137 3.6 Composición de Relaciones. Propiedades 138 3.7 Relaciones definidas en un conjunto 139 3.8 Clases de Relaciones. 3.8.1 Relación Reflexiva 140 3.8.2 Relación Simétrica. 3.8.3 Relación Transitiva 141 3.8.4 Relación de Equivalencia 142 3.8.5 Relación Antisimétrica 143 3.8.6 Relación de Orden 144 3.9 FUNCIONES. 3.9.1 Dominio y Rango de una Función 154 3.9.2 Aplicaciones de A en B 155 3.9.3 Función Inyectiva o Univalente 161

Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido V 3.9.4 Función Sobreyectiva o Suryectiva 162 3.9.5 Función Biyectiva 163 3.9.6 Composición de Funciones 164 3.9.7 Función Inversa 166 3.10 Operaciones Binarías Internas 172 3.10.1 Propiedades de las Operaciones Binarías Internas 174

NUMEROS REALES 4.1 Introducción. 4.2 Definición Axiomática de los Números Reales 185 4.3 Teoremas sobre la Adición 187 4.4 Teoremas sobre la Multiplicación 189 4.5 Aplicaciones de R en el Algebra 193 4.5.1 Operaciones de Adición, Multiplicación y Cociente 193 4.5.2 n Potencia de un número real 197 4.5.3 Raíces y Radicales 203 4.5.4 Ecuaciones Cuadrádricas 213 4.5.5 Ecuaciones reducibles a cuadráticas 222

ORDEN EN R 4.6 Desigualdades 224 4.7 Teoremas Relativos a Desigualdades 224 4.8 Inecuaciones. 4.8.1 Inecuaciones Lineales 237 4.8.2 Inecuaciones Cuadráticas 239 4.8.3 Inecuaciones Racionales 241 4.9 La Recta Real 245 4.10 Intervalos 246 4.11 Operaciones con Intervalos 248 4.12 Resolución Gráfica de Inecuaciones en R 256 4.13 Inecuaciones Polinómicas 258 4.14 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 265 4.14.2 Inecuaciones con Radicales 267 4.15 Valor Absoluto. 4.15.1 Teoremas sobre Valor absoluto 276 4.15.2 Ecuaciones con Valor Absoluto 286 4.15.3 Inecuaciones con Valor Absoluto 287 4.16 El Máximo Entero de un Número Real 299 4.16.1 Teoremas sobre el Máximo Entero de un Número Real 300

Sólo fines educativos LibrosVirtual VI Contenido

RELACIONES Y FUNCIONES EN IR2

RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R 5.1 El Producto Cartesiano de R x R 313 5.2 Distancia entre dos puntos 315 5.3 Gráficas de Relaciones de R en R 315 5.3.1 Gráficas de Relaciones Lineales 317 5.3.2 Gráficas de relaciones de la forma: x^+y2»!2 o (x -h^+ fy -k ^t2 317 5.3.3 Gráficas de las relaciones de la forma: y=ax2+bx+c 320 5.3.4 Gráficas de las relaciones de la forma: AxJ+Cyí +Dx+Ey+F=0 323 5.3.5 Gráficas de las relaciones de la forma: Ax2-Cy2+Dx+Ey+F’*0 324 5.3.6 Gráficas de relaciones con valor absoluto 325 5.3.7 Gráficas de relaciones definidas por inecuaciones 331 I) Desigualdades Lineales. II) Desigualdades Cuadráticas 337 5.3.8 Gráficas de relaciones inversas 341 5.3.9 Criterios generales para graficar una relación 351

FUNCIONES EN R2 5.4 Funciones reales de varióle real 359 5.5 Gráfica de una función. 5.5.1 Propiedades 360 5.6 Cálculo del dominio y rango 362 5.7 Funciones Especiales. 5.7.1 Función Identidad 5.7.2 Función Constante 366 5.7.3 Función Lineal. 5.7.4 Función Cuadrática 367 5.7.5 Función Raíz Cuadrada 369 5.7.6 Función Polinómica de grado n 370 5.7.7 Función Racional 370 5.7.8 Funciones Seccionadas 371 5.7.9 Función Escalón Unitario 372 5.7.10 Función Signo 373 5.7.11 Función Valor Absoluto 374 5.7.12 Función Máximo Entero 376 5.7.13 Funciones Pares 382 5.714 Funciones Impares. 5.7.15 Funciones Periódicas • 383 5.8 Algebra de las Funciones 397 5.9 Composición de Funciones 409 5.10 Funciones Crecientes y Decrecientes 421 5.11 Función Inyectiva o Univalente 422 5.12 Función Sobreyectiva 426

Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido VII 5.13 Función Biyectiva 427 5.14 Función Inversa 428 5.14.1 Propiedades de la Función Inversa 429 5.15 Imagen Directa de un Conjunto. Propiedades 445 5.16 Imagen Inversa de un Conjunto. Propiedades 447

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 6.1 La Función Exponencial 454 6.2 Logaritmos 457 6.2.1 Propiedades Fundamentales de los Logaritmos 459 6.3 La Función Logaritmo 468 6.4 Ecuaciones Exponenciales 473 6.5 Ecuaciones Logarítmicas 477 6.6 Inecuaciones Exponenciales 483 6.7 Inecuaciones Logarítmicas 487

INDUCCION MATEMATICA 7.1 Introducción. 7.2 Principio del Buen Orden 499 7.3 Principio de Inducción Completa 500 7.4 Definiciones Recursivas 504 7.5 Sumatorias 509 7.6 Propiedades de las Sumatorias 513 7.7 Formulas importantes de las Sumatorias 514 7.8 Notación de producto de los términos de una sucesión 518

n 7.9 Propiedades de X T f(i) 519 i=l 7.10 Binomio de Newton 523 7.10.1 Propiedades del Coeficiente Binomial 524 7.10.2 El Teorema del Binomio 525

Sólo fines educativos LibrosVirtual VIII

Contenido

SUCESIONES l ü 8.1 Introducción 537 8.2 Sucesiones Aritméticas y Geométricas 539 8.3 Sucesiones Monótonas 545

8.4 Limite de una Sucesión 548 8.5 Teoremas sobre Límites 551 8.6 Series Infinitas 559

| NUMEROS COMPLEJOS u Introdución. 9.2 El Sistema de Números Complejos 565 9.3 Propiedades de la Adición 566 9.4 Propiedades déla Multiplicación 568 9.5 R como subconjunto de C 570 9.6 Forma cartesiana de un número complejo 571 9.7 Representación geométrica de los números complejos 573 9.8 Conjugado de un número complejo. Propiedades 574 9.9 Modulo de un número complejo. Propiedades 582 9.10 La raíz cuadrada de un número complejo 584 9.11 Lugares Geométricos en C 589 9.12 Forma polar de un número complejo 602 9.13 Operaciones en la forma polar 9.13.1 Multiplicación. Interpretación Geom. 603 9.13.2 Cociente. Interpretación Geométrica 604 9.14 Potenciación de números complejos. El Teorema de Moivre 608 9.15 Radicación de números complejos 611 9.15.1 Ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos 613 9.15.2 Raices primitivas de la unidad 614 9.16 La exponencial compleja. 9.16.1 Propiedades 616 9.16.2 Operaciones en la forma exponencial compleja 618

POLINOMIOS 10.1 Definición y Notaciones. 10.2 Igualdad de polinomios 10.3 Suma y Multiplicación de polinomios 10.4 Algoritmo de la división 637 638 639

Sólo fines educativos LibrosVirtual Contenido IX 10.5 _ La división Sintética 642 10.6 Teorema del Resto 645 10.7 Teorema del Factor 646 10.8 Raíces de un Polinomio 655 10.8.1 Número de raíces de una ecuación polinómica 655 10.8.2 Multiplicidad de un factor 656 10.8.3 Naturaleza de las raíces de un polinomio real 656 Teorema 10.8. Regla de los signos de Descartes 659 10.8.4 Raíces racionales de un polinomio 661 Teorema 10.10. Teorema del Valor Intermedio 663 10.9 Acotación de Raíces 666 10.10 Relación entre las raíces y los coeficientes 674 Respuestas a Ejercicios Propuestos 682

LISTA DE SIMBOLOS Pag. Pag. A Conjunción "y'1 4 Z Conjunto de núm. enteros 63 V Disyunción Inclusiva "o" 6 Q núm. racionales 64

Conjunto ce

A Disyunción exclusiva 7 I Conjunto de núm. irrac. 64 A Discriminante 215 R Conjunto

de núm. reales 64 % Negación 7 C Conjunto de núm. complejos 64 «=> Implicación, entonces 9 Conjunto vacío o nulo 64 Bicondicional; si y sólo si 12 o Conjunto universal 65 = Equivalente 21 Para todo 67 No es equivalente 22 3 Existe 68 No implica 24 C Es subconjunto de: 82 i Mayor que 47--186 • • Por lo tanto 28 rj Incluye a: 82 < Menor que 46--186 $ No es subconjunto de: 82 > P(A) Conjunto potencia de A 84 Mayor o igual que 224 n Intersección 91 Menor o igual que 224 U Unión 83 > } Conjunto 61 A' Complemento del conj. A 96 e Pertenece, es elemento de. 62 AAB Diferencia simétrica de

los

i No pertenece 62 conjuntos A y B 98 N

Conjunto de núm. naturales 63 n(A) Número de elementos de A

113 Sólo fines educativos LibrosVirtual X Lista de Símbolos aRb a está relacionado con b 134 z Sumatoria 509 Dom(R) Dominio de la relación R 135 n Notación de producto 518 Ran(R) Rango de la relación R 135 n! Factorial de n 523 R*=R'1 Relación inversa de R 137 Coeficiente binomial o L 0 RoS Relación compuesta de S

número combinatorio 523 por R. 138 lani Sucesión 538 f:A -*■ B f es una función de Lim an Límite de la sucesión 549

A en B. 154 n-K» iari) cuando n tiende a Dcn(f) Dominio de la función f 154 i=(0/l) Unidad compleja 571 Ran(f) Rango de la función f 154 Re(z) Parte real de z 572 gof Función conpuesta de f Im(z) Parte imaginaria de z 572 por g. 409--164 z Conjugado complejo 574 Función Inversa de f 167 1*1 Módulo del

complejo z 582 Intervalo Abierto 247 8=Arg(z) Argumento de z 602 [a,b] Intervalo cerrado 247 exp(z)=ez Exponencial compleja 616 Valor Absoluto de a 276 Función Valor Intervalo infinito 248 P(z) Polinomio de variable M compleja 638 1 1 Absoluto 314 Máximo entero no mayor P(x) Polinomio de variable 1 * 1 real 638

que x. 299 R2 Plano Cartesiano 313 I Función Identidad 366 eXPb

Función Exponencial 455

Función Logaritmo 468 *

Sólo fines educativos LibrosVirtual veK D INTRODUCCION Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento hunano. Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deducti vo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en ba se de sus experiencias específicas, decide aceptar como válido un princi pio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habra de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lógica propos icional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.

C D PROPOSICION__________________________________________H Una ser Una mo:

preposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de verdadera (V) o falsa q queda establecido de acuerdo a la si guiente regla: La. condicional o implicación tendná un valon de vendad (¡alio cuando el antecedente p e¿ vendadeno y el consecuente q es {¡also; en tos demás ca sos diñemos que p * q es vendadeno. En consecuencia, la tabla de verdad de la implicación es la siguiente: p q p + q V V V V F F F V V F F V EJEMPLO 4. Dadas las proposiciones p,q y r tales que V(p)=V(q)=F y V(r)=V, hallar el valor de verdad de las siguientes proposi ciones: a) p-rrv(qv r) c) n, (pA n,q) •+ (yr a pj b) 'vq (n.pvr) d) 'vfq* n,r) + p + r) Solución, a) V(q v r)=V(Fv V)=V * V(n.(q v r))=F V(p + ^ q v r) J=VfF -k F)=V b) VC^q)=V y VKp v r)=V(Vv V)=V Vh-q * tvpv r) }=V(V + V)=V c) V(p*n.q)=V(FnV)=F -*■ Vfríp^q) J=V ; V(n.r a p)=V(FA F)=F .\ V M p a njq) + (nrA p))=V(V * F)= F d) V(q nr)=V(F * F)=V * Vfa(q+ n,r)]=F ; VKp +r)=V(V V)=V Sólo fines educativos LibrosVirtual Sección 1.7: La Condicional o Implicación 11 Vfv(q ■* n,r) + (np ■* r)] = V(F V) = V

J

03 e l u s o pe la s p r o p o s ic io n e s im p lic a tiv a s ^

El uso de las proposiciones impl icat ivas en matemáticas es de sima importancia. Ya hemos visto que la condicional p + q significa que "q se obtiene lógicamente de p". Los teoremas tienen esta misma forma condicional. Recordemos que en la demostración de un teorema intervienen dos factores: la hipótesis o dato (p), aquello que se considera verdadera, y la tesis o conclusión (q), aquello que se quiere demostrar. Entonces el teorema es: p -v q. Probar el teorema, es demostrar que p ■* q sea verdadera, y, dado que la hipótesis p es verdadera; es decir, la verdad de p q se obtiene de la verdad de q, sabiendo que p es verdadera. Otras formas de leer el teorema p -*■ q son las siguientes: "p sólo si q" ; "q, si p"; "p es condición suficiente para que q"; "q es condición necesa ria para que p", etc. EJEMPLO 5. Sean las proposiciones: p="Dos ángulos tienen un lado común". q="Dos ángulos son adyacentes". Establecer quién es condición necesaria y/o suficiente para quién. Solución. Consideremos las implicaciones siguientes: r=p ->■ q: Si dos ángulos tienen un lado común, entonces son adya centes. s-q -*■ p: Si dos ángulos son adyacentes, entonces , tienen un lado común. La implicación r es falsa, pues si dos ángulos tienen un lado común, no necesariamente son ad yacentes. En la figura se observa que el y el r)#s. Solución. Según la definición de i, las tablas de verdad de p#q y (^r)#s. 'Vr s ('vr )#s F V V F F F V V F V F F Vemos que la tabla de valor de verdad de 6 (4) Todos los hombres son inmortales (5) Sócrates nació en Atenas Cuál de las alternativas siguientes es correcta: a) 3 son enunciados abiertos b) 2 son proposiciones c) 3 no son proposiciones d) 4 son proposiciones 2. Si p:"Carlos vendrá", q:"Carlos ha recibido la carta" y r:"Carlos está interesado todavía en el asunto". Simbolizar los siguientes enunciados: a) "Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado todavía en el asunto". b) "O Carlos vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado to davía en el asunto". c) "Carlos vendrá si y sólo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado todavía en el asunto". 3. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: (1) (3+5=8) v (5-3=4) (3) (3+8=11) A (7-4 > 1) (2) (5-3=8) - (1-7=8) (4) (4+6=9) ~ (5-2=4) 4. v[(vpw q) v (r q)] a [(vpvq) + (q Avp)], es verdadera. Hallar los valo res de verdad de p,q y r. 5. De la falsedad de (p = vq) v (vr + vs), se deduce que el valor de verdad de los esquemas: A=v(vq v vs) + vp ¡ B=v(vr a s) ♦+ (v...