Analysis 1 Skript 2020 21 PDF

Preview

Summary

Vorlesungsskript zur Analysis 1Martin Brokate und Johannes ZimmerWintersemester 2020/ Zentrum Mathematik, TU M ̈unchenDanksagungCarl-Friedrich Kreiner, Hans-Peter Kruse und Florian Lindemann haben mit großem En- gagement Vorversionen des Skripts gelesen und wertvolle Verbesserungsvorschl ̈age einge-...

Description

Vorlesungsskript zur Analysis 1 Martin Brokate und Johannes Zimmer Wintersemester 2020/21 Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen

Danksagung Carl-Friedrich Kreiner, Hans-Peter Kruse und Florian Lindemann haben mit großem Engagement Vorversionen des Skripts gelesen und wertvolle Verbesserungsvorschl¨age eingebracht. Ganz herzlichen Dank f¨ ur die großartige Hilfe!

i

Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen

1

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Verkn¨upfung von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Vollst¨ andige Induktion

8

2.1 Summen- und Produktnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Die Beweismethode der vollst¨andigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Bonusmaterial und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Mengen

13

3.1 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Mengenoperationen und ihre Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Indizierte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Mengen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Schlussbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.6.1

Cantors Werk und seine Rezeption . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6.2

Zur Definition der nat¨urlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Einige Beweistechniken

23

4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Bonusmaterial: Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher . . . . . . . . . . . 28 5 Reelle Zahlen

30

5.1 Axiomatische Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.1.1

K¨orperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.2

Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.3

Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Folgerungen aus den K¨orpereigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.4 Elementare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ii

5.6 Supremum und Infimum. Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6 Funktionen

50

6.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2 Eigenschaften von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3 Die Umkehrfunktion. Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.4 Komposition von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7 Die komplexen Zahlen

59

7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2 Definition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen . . . . . . . . . 59 7.3 Nachbemerkung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8 Folgen

65

8.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.3 Rechenregeln f¨ur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.4 Vertr¨aglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . 71 8.4.1

Montone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.5 Uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.6.1

Teilfolgen und H¨aufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.7 Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.8 Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.9 Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.10 Bonusmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9 Reihen

84

9.1 Motivation und grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.2 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.3 Weitere Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.4 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.6 Reihenprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.7 Bemerkungen und Ausblicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

iii

10 Stetige Funktionen

104

10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.2 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.3 S¨atze uber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ¨ 10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.5 Monotone Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.6 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus

116

11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.2 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen . . . 120 11.3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.4 Die Kreiszahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.5 Tangens und hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.6 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.7 Die allgemeine Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12 Differenzierbarkeit reeller Funktionen

132

12.1 Kontext. Definition der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 12.4 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . 144 12.5 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.6 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 12.7 Schlussbemerkung: Nicht differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . 151 13 Folgen von Funktionen

153

13.1 Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.2 Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 14 Das Integral

159

14.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 166 14.3 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 14.4 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 172 14.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

iv

14.6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 15 Vertauschungss¨ atze

178

15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Entt¨auschungen . . . . . . . . . . . . . . . . 178 15.2 Vertauschungss¨ atze f¨ur gleichm¨ aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 180 16 Potenzreihen und Taylorreihen

183

16.1 Gleichm¨aßige Konvergenz von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 16.2 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 16.3 Bonusmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 17 Einf¨ uhrung in Differentialgleichungen

196

17.1 Separable Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 197 17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 17.2.1 Integrierende Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 17.2.2 Variation der Konstanten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

17.3 Anwendung: Coffeingehalt im Blut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 18 Unendliche Mengen

208

v

1 1.1

Aussagen Grundlagen

In der Mathematik befassen wir uns mit Aussagen. Ein einfaches Beispiel ist die Aussage 12 ist durch 3 teilbar.

(1.1)

Wir wissen, dass (1.1) wahr ist, da 12/3 = 4 gilt und kein Rest bleibt. (Wir gehen davon aus, dass wir die nat¨ urlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, . . . kennen und wissen, wie man sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.) Eine mathematische Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Es kann sich auch um mehrere S¨ atze handeln, und Satz“ ist hier als grammatikalischer Satz zu ver” stehen. Wir machen es uns einfach und nehmen an, dass eindeutig und unwiderspr¨ uchlich festgestellt werden kann, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. So ist Mathematik macht ” Spaß“ keine Aussage, da es hier (leider!) widerspr¨uchliche Ansichten gibt. Wir betrachten als n¨ achstes eine kompliziertere Aussage: Jede durch 6 teilbare nat¨urliche Zahl ist auch durch 3 teilbar.

(1.2)

W¨ahrend in (1.1) nur von zwei ganz bestimmten Zahlen die Rede ist, handelt (1.2) von beliebigen nat¨ urlichen Zahlen. Da es unendlich viele durch 6 teilbare Zahlen gibt, werden wir in K¨ urze einen Weg angeben, wie man beim Nachweis alle diese Zahlen auf einmal behandeln kann. Beide Aussagen (1.1) und (1.2) sind Beispiele f¨ ur ganz einfache mathematische S¨ atze. Ein mathematischer Satz oder kurz Satz ist eine wahre Aussage, die aus einer Voraussetzung und einer Behauptung besteht. Die Voraussetzung kann evtl. entfallen, wenn sie nur bekanntes Vorwissen umfasst, wie etwa in (1.1). Dort ist 12 ist durch 3 teilbar“ ” die Behauptung1 . Typischer ist Beispiel (1.2), das so umformuliert werden kann: Voraussetzung: Behauptung:

n ist eine durch 6 teilbare nat¨ urliche Zahl. n ist durch 3 teilbar.

(1.3)

Sowohl Voraussetzung als auch Behauptung enthalten eine Variable, hier mit n bezeichnet. Statt Voraussetzung: X, Behauptung: Y“ schreibt man meistens Sei X, dann gilt Y“. ” ” Je nachdem, welche Zahl n man in (1.3) betrachtet, k¨ onnen Voraussetzung und Behauptung – f¨ ur sich genommen – wahr sein oder auch nicht. Entscheidend ist, dass ein mathematischer Satz wahr ist (man sagt auch: richtig): dass aus der Voraussetzung die ” Behauptung folgt“. Das heißt, die Aussage Immer wenn die Voraussetzung wahr ist, ist auch die Behauptung wahr

(1.4)

1 uhrt man eine Variable ein, kann man (1.1) aber auch mit nichtleerer Voraussetzung schreiben: F¨ Wenn n = 12, dann gilt 3|n.

1

muss zutreffen. Um einen Satz als wahr zu erkennen, f¨ uhrt man einen Beweis. Beweise k¨ onnen unterschiedliche Strukturen haben. Wir besprechen zuerst den direkten Beweis. Ein direkter Beweis besteht darin, durch schrittweises logisches Schließen von der Voraussetzung zur Behauptung zu gelangen. Hier ist ein direkter Beweis f¨ ur den Satz (1.3): Sei n eine beliebige durch 6 teilbare nat¨ urliche Zahl. Wir setzen m = n/6. Da n nach Voraussetzung durch 6 teilbar ist, ist m ebenfalls eine nat¨ urliche Zahl. Es folgt n = (n/6) · 6 = 6m und weiter n/3 = (6m)/3 = (6/3) · m = 2m. Da 2m eine nat¨ urliche Zahl ist, ist auch n/3 eine nat¨ urliche Zahl. Also ist n durch 3 teilbar. Der Beweis zeigt, dass (1.4) f¨ ur (1.2) zutrifft; damit ist dieser mathematische Satz bewiesen. Wie weiter oben angek¨ undigt, ist es uns gelungen, in unserem Beweis unendlich viele nat¨ urliche Zahlen n gleichzeitig zu behandeln. Hier ein Beispiel f¨ ur eine falsche Aussage: Jede durch 6 teilbare nat¨urliche Zahl ist auch durch 5 teilbar.

(1.5)

Betrachten wir n¨amlich die Zahl 6, so ist sie zwar durch 6, aber nicht durch 5 teilbar. ur (1.5) falsch. Indem wir ein sogenanntes Gegenbeispiel Die Aussage (1.4) ist also f¨ angegeben haben, n¨amlich die Zahl 6, haben wir also bewiesen, dass die Aussage (1.5) falsch ist. (Ein einziges Gegenbeispiel gen¨ ugt; wir m¨ ussen nicht mehrere davon angeben; im vorliegenden Fall g¨abe es unendlich viele davon). Es gibt auch unendlich viele nat¨ urliche Zahlen, die sowohl durch 6 als auch durch 5 teilbar sind (n¨ amlich jedes n = 30m mit einer nat¨ urlichen Zahl m) und daher sowohl Voraussetzung als auch Behauptung erf¨ ullen, aber die Aussage (1.5) ist trotzdem falsch. Werden Variablen in S¨atzen verwendet, wie etwa n in (1.3), kann der Variablenname frei gew¨ ahlt werden. Statt n h¨ atten wir beispielsweise auch k verwenden k¨ onnen. Erstaunlich oft gehen einem in der Mathematik sinnvolle Variablennamen aus. Gerne benutzt man griechische Buchstaben α, β, γ. . . . Außerdem ist es oft praktisch, Variablen zu indizieren: statt f¨ ur die Summe s von zehn Zahlen die Variablen a, . . . , j einzuf¨ uhren und zu schreiben s = a+b+c+d+e+f +g +h+i+j, ist es praktischer, die 10 einzelnen Variablen a1 , a2 , a3 , . . . , a10 , zu nennen. Ein Vorteil ist, dass man sieht, dass es sich um vergleichbare Objekte handelt (n¨amlich Zahlen, die addiert werden k¨ onnen). Hier ist die kte Variable ak , wobei k Werte zwischen 1 und 10 annimmt; k ist der Index von ak , und a eine mit k indizierte Variable. Die Summe kann dann geschickter geschrieben werden als s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a8 + a10 , 2

(1.6)

und wir werden in Kapitel 2 daf¨ ur eine elegante, auf der Indexnotation basierende kompakte Schreibweise kennenlernen. Das Aufstellen von mathematischen S¨ atzen ist die zentrale Aufgabe der Mathematik. Da S¨ atze definitionsgem¨aß wahre Aussagen sind, ist ein Beweis unabdingbar, der die Wahrheit der Aussage zeigt. Wir werden in Kapitel 4 verschiedene Beweistechniken besprechen.

1.2

Verkn¨ upfung von Aussagen

Beim Umgang mit Aussagen wird eine Reihe von logischen Verkn¨upfungen verwendet. F¨ ur uns sind die folgenden f¨unf Verkn¨ upfungen wesentlich: (i) Wir beginnen mit der Negation. Die Negation von das Glas ist voll“ ist das Glas ” ” ist nicht voll“. Die Negation einer Aussage A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist. Die Aussage das Glas ist leer“ ist also nicht die Negation von das Glas ist voll“, ” ” denn es ist auch m¨ oglich, dass das Glas weder voll noch leer ist. Man bezeichnet die Negation von A mit ¬ A. Man kann das Verh¨ altnis zwischen A und ¬ A u¨bersichtlich mit einer Wahrheitstafel ausdr¨ ucken. Die Wahrheitstafel f¨ur die Negation hat die Form A ¬A W F F W Auf der linken Seite stehen die beiden m¨oglichen Wahrheitswerte von A (mit W f¨ ur wahr und F f¨ ur falsch), auf der rechten Seite die zugeh¨origen Wahrheitswerte von ¬ A. (ii) Als n¨ achstes kommt die Und-Verkn¨ upfung zweier Aussagen A und B, im Zeichen A ∧ B. Die Aussage das Glas ist voll und der Eimer ist leer“ ” ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. So sind wir das auch im Alltag gewohnt. Die zugeh¨ orige Wahrheitstafel ist A B A∧B W W W W F F F W F F F F Hier hat die linke Seite zwei Spalten. Ihre Zeilen enthalten alle m¨ oglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von A und B. In der rechten Spalte stehen die zugeh¨origen Werte von A ∧ B.

Hier wie auch in allen anderen F¨allen gilt: Der Wahrheitswert der durch die Verkn¨ upfung erzeugten Aussage A ∧ B ist durch den Wahrheitswert der an der Verkn¨ upfung beteiligten Aussagen A und B eindeutig festgelegt.

3

(iii) Die Oder-Verkn¨ upfung, geschrieben als A ∨ B) bedeutet in der Mathematik immer das einschließende Oder. Sagt man das Glas ist voll oder der Eimer ist voll“, ” so kann auch der Fall vorliegen, dass beide voll sind. Die zugeh¨ orige Wahrheitstafel ist A B A∨B W W W W F W F W W F F F Meint man in einem mathematischen Text oder, aber nicht beides“, so muss man ” explizit entweder – oder“ sagen. Meistens umschreibt man eine solche Situation ” besser mit Genau einer der folgenden F¨alle tritt ein“. ” (iv) Die Implikation ( Aus A folgt B“, A impliziert B“, A ⇒ B“) beschreibt das, ” ” ” was in einem mathematischen Satz passiert, denn mathematische S¨ atze sind wahre Aussagen der Form A ⇒ B“. ” Wir fragen uns nun, wann A ⇒ B“ gelten soll. Einleuchtend ist, dass A ⇒ B“ ” ” falsch sein muss, wenn A wahr und B falsch ist, denn B soll ja aus A folgen. Die anderen drei F¨alle kann man sich am Beispiel der Aussage f¨ ur alle nat¨ urliche Zahlen n gilt: Aus n < 3 folgt n < 5“ ” klarmachen. Die Wahrheitswerte von A ⇒ B“ sollen so festgelegt werden, dass ” diese Aussage wahr ist, egal welche Zahl man f¨ ur n einsetzt. W¨ ahlen wir n = 2, 4, 6, so erhalten wir gerade die drei ausstehenden F¨alle. Die Wahrheitstafel ergibt sich als A B A⇒B W W W W F F F W W F F W In der dritten und vierten Zeile wird der Wahrheitswert der Aussage A⇒B“ auch ” f¨ ur den Fall festgelegt, dass A falsch ist. Das kommt einem zun¨ achst merkw¨ urdig vor, es passt aber dazu, wie man die Implikation normalerweise verwendet: Nehmen alle m¨ oglich: wir an, wir wissen, dass A⇒B“ wahr ist. Es sind zwei F¨ ” • A ist wahr. Dann ist B auch wahr. • A ist falsch. Dann k¨ onnen wir nichts dar¨uber sagen, ob B wahr oder falsch ist. Auf lateinisch: ex falso (sequitur) quodlibet: aus Falschem folgt jede beliebige Aussage. Das entspricht gerade den drei Zeilen der Wahrheitstafel, in denen rechts W steht. Zur Notation: Die Aussage B ⇐ A“ bedeutet dasselbe wie A ⇒ B“. ” ”

4

ur B und B ist notwendig f¨ ur A. Ist A ⇒ B“ wahr, dann ist A hinreichend f¨ ” Sprachlich genauer w¨are: Die G¨ultigkeit von A ist eine hinreichende Bedingung f¨ ur die G¨ultigkeit von B, bzw. die G¨ ultigkeit von B ist eine notwendige Bedingung f¨ ur die G¨ ultigkeit von A. ¨ (v) Die Aquivalenz zweier Aussagen A und B bedeutet einfach: Wenn wir wissen, dass A gilt, so wissen wir auch, dass B gilt, und umgekehrt. Wir sagen: A gilt genau ” dann, wenn B gilt“ oder A und B sind a¨quivalent“, und schreiben daf¨ ur A ⇔ B. ” ¨ Die Wahrheitstafel der Aquivalenz entsteht, indem wir die beiden Spalten f¨ur A⇒ ” upfen. Das Ergebnis ist B“ und B ⇒ A“ mit und“ verkn¨ ” ” A B A⇔B W W W W F F F W F F F W ¨ Aquivalente Aussagen tauchen beim Umformen von Ausdr¨ ucken st¨andig auf. So gilt etwa f¨ur beliebige nat¨ urliche Zahlen n ⇔

7n = 3

21n = 9 .

¨ Aquivalente Aussagen ergeben sich auch beim Umformen von zusammengesetzten Aussagen. Wir suchen etwa die Negation von das Essen ist heiß und scharf“. ”

(1.7)

Sie lautet das Essen ist nicht heiß oder nicht scharf“. (1.8) ” Dass (1.8) die Negation von (1.7) ist, basiert auf der Regel, dass die Negation einer Aussage der Form A ∧ B dasselbe ist wie die (genauer: ¨aquivalent ist zur) Aussage andig in Formeln ausgedr¨uckt, (¬A) ∨ (¬B). Oder, vollst¨ ¬(A ∧ B)