Aplicacion de integrales multiples en la ingenieria civil PDF

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INTEGRALES MULTIPLES APLICACIONES INTEGRANTES: COD. DOCENTE : 2016 Facultad de Escuela Profesional de Civil UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO INDICE de las integrales 1 Aplicaciones de las integrales dobles:............................................................................... 1.1 de una figura ...

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INTEGRALES MULTIPLES

APLICACIONES INTEGRANTES: COD.

DOCENTE :

2016 Facultad de Ingeniería- Escuela Profesional de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

INDICE Presentación:...............................................................................................................................3

1.-Aplicaciones de las integrales múltiples:..................................................................................4 1.1 Aplicaciones de las integrales dobles:................................................................................4 1.1.1 Área de una figura plana..............................................................................................4 1.2 Aplicación de las integrales triples:.....................................................................................7

1.2.1 Volumen de un sólido en el espacio:...........................................................................7

1.2.1 Masa, momentos respecto a los planos coordenados y centro de masa de un solido 8 1.3 Integrales aplicadas a estructuras.......................................................................................9

Conclusiones:.............................................................................................................................10

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Presentación: Como alumno del tercer semestre de la UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO, de la facultad de INGENIERIA de la escuela profesional de INGENIERIA CIVIL, pongo en consideración del docente del mismo curso el presente trabajo monográfico. El contenido de este trabajo es un tema de suma importancia para poder realizar los cálculos con integrales múltiples para determinar área de superficies de los planos con una integral doble volúmenes de cuerpos con integrales dobles o triples. Asimismo, se dará a conocer en el desarrollo del trabajo conocimientos previos a cerca de estas integrales múltiples desarrollando los conceptos y fórmulas que estas presentan. Estoy seguro que en el contenido de este habrá errores que los he cometido involuntariamente, pero como toda actividad humana es perfectible por lo que espero sus aportes y sugerencias para poder mejorar.

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1.-Aplicaciones de las integrales múltiples: Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral de dos y tres variables, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas de superficies planas, con una integral doble volúmenes de cuerpos con una integral doble o triple, superficies de superficies, con una integral de superficie, centros de gravedad, momentos de inercia. La Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. Este proyecto pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del cálculo que aprendimos durante el curso de Cálculo integrales múltiples, además de su aplicación en el análisis de estructuras.

1.1 Aplicaciones de las integrales dobles: Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. 1.1.1 Área de una figura plana En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D, ∫∫D f (x, y) dA , como el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f (x, y) =1, entonces la integral anterior queda como: ❑

❑

D

D

∬ f ( x , y ) dA=∬ dA

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el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura:

❑

En otras palabras, la integral

∬ dA

representa el volumen de un sólido de sección

D

transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ❑

A=∬ dxdy D

Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior queda como: f (y)

b

f (x)

a b

∫ dydx=¿∫ [ y ] fg(( xx )) d x A=∫ ¿ a b

A=∫ [ g ( x ) −f (x ) ] dx a

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y=f (x)

y

y=g(x ) en el intervalo cerrado [a, b].

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Ejemplo: Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles: ❑

❑

D

D

∬ dxdy y ∬ dydx , D={(x , y) x ≥ y 2−2 y ∧ x ≤ 4− y 2} Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales 2 2 x = y −2 y y x=4− y tal como se puede observar en la siguiente figura.

❑

a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

∬ dxdy D

necesario definir los límites de integración, que se ilustran: Por tanto el área se obtiene como:

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, es

4−y

2

∫

2

dydx=¿ ∫ [4−2 y 2+2 y ] dy=9 −1

2

y −2 y

2

A=∫ ¿ −1

1.2 Aplicación de las integrales triples: Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio. 1.2.1 Volumen de un sólido en el espacio:

El volumen de un sólido (S) cualquiera, viene dado por: ❑

Volumen(S)∭ 1 dxdydz S

Ejemplo: Determine

el

volumen

del

sólido

B

acotado

x =0 , y=x , y=2−x , z =1 y z=5−x2 − y 2 Solución: Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la ❑

integral triple

∭ dV

. En la siguiente gráfica se

B

ilustra el sólido B acotado por las superficies

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por

las

superficies

mencionadas y adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del recinto B.

Por lo tanto el volumen se obtiene como: 2

❑ 5−x − y

V =∬

2

∫

D

dzdA

1

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha proyección se muestra:

Entonces la región D, está definida como: D = {(x, y) 0 ≤ x ≤1 ∧ x ≤ y ≤ 2 − x} luego: ¿ (¿ 4− x2− y 2)dydx 2− x

∫¿ x

2−x 5− x2 − y 2

∫ ∫ x

1

dzdydx=¿ ∫ ¿

1

0 1

V =∫ ¿ 0

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16 3 (¿

+8 3 2 8 x −4 x −4 x ) dx= 3 3 1

V =∫ ¿ 0

1.2.1 Masa, momentos respecto a los planos coordenados y centro de masa de un solido

1.3 Integrales aplicadas a estructuras Deflexiones: Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.  Métodos de energía: En estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material. Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes. En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la

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combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen. Trazado tentativo de la curva elástica: Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal. En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento.  Análisis y diseño de Viga En la vida real podemos constatar que aparte de las cargas fijas o estáticas, las estructuras, están sometidas a otras fuerzas externas como son las Cargas Vivas o aquellas que no permanecen en un solo punto o distribuidas constantemente sobre la estructura.

En el caso de estructuras sometidas a cargas muertas, la representación de la variación de las cargas a lo largo de una viga, quedaba determinada mediante los diagramas de Fuerza cortante y Momento Flector. Pero al someter una viga a cargas móviles que se desplazan de un extremo a otro sobre ella, se puede percibir con un simple criterio lógico que las reacciones en los apoyos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores no permanecen constantes y que varían a medida de que la fuerza se aleje de un extremo y se acerque al otro.

Conclusiones:  Con este trabajo, nos hemos percatado de cómo los conceptos de integración múltiple han sido utilizados como métodos que usa la estática para resolver estos ejemplos de aplicación a la ingeniería y muchos otros de manera eficaz y exacta.

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Pero no solo en el cálculo estructural se puede aplicar sino también en la resistencia de materiales donde es muy útil.  Con este concepto mostrado pudimos percatarnos que el comprender mejor los conceptos de Integración múltiple, me ayudo a tener un concepto más claro de la problemática y que así como en otros casos donde se use esta disciplina, podre aplicarla, y así obtener mejores resultados para realizar una mejor labor como ingeniero civil.

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