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APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS A LA GANADERÍA.

ANDREA CARDONA HIDALGO YANELY DUARTE HOLGUÍN. CARLOS ANDRES ORTÍZ.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. MÉTODOS NUMÉRICOS INGENIERÍA AGROPECUARIA. CAREPA/ANTIOQUIA. 2020

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LISTA DE GRÁFICAS Gráfica 1: Producción inicial. ...................................................................................................... 5 Grafica 2: Tendencia producción inicial....................................................................................... 5

LISTA DE TABLAS. Tabla 1: Datos producción ........................................................................................................... 7 Tabla 2: Parámetros independientes de la matriz. ......................................................................... 8 Tabla 3: parámetros dependientes de la matriz. ............................................................................ 9

LISTA DE FIGURAS. Figura 1: matriz de regresión polinomial...................................................................................... 6 Figura 2: Matriz polinomial grado 3 ............................................................................................ 8 Figura 3: Matriz sumatorias. ........................................................................................................ 9 Figura 4: Matriz solución............................................................................................................. 9 Figura 5: Vectores solución ....................................................................................................... 10

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RESUMEN Mediante los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera, se a logrado identificar situaciones de producción que necesitan estimaciones para un periodo de tiempo determinado, una de estas se observa en la producción de lácteos. En este caso se cuenta con un hato ganadero donde se tienen 147 vacas, obtenidas en el transcurso de dos años. Se desea saber si la producción de leche de las vacas implicadas será suficiente para suplir las necesidades de estas y generar ganancias productivas. Para dar solución a esta situación se implementó el método de regresión polinomial por mínimos cuadrados para obtener una aproximación de los valores esperados. La matriz obtenida se resuelve mediante GAUSS-JORDAN, la cual arroja los coeficientes de una ecuación que es función del tiempo (Meses), así conociendo el valor del tiempo, se obtendrá la producción de leche (litros).

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INTRODUCCIÓN La leche se produce diariamente y por tanto puede proporcionar un ingreso en efectivo regular. El precio de la leche al productor se puede basar en la calidad composicional de la leche, su calidad higiénica y el período del año. Sin embargo, Trabajar en la producción de alimentos derivados de los lácteos es un negocio productivo que, bajo una buena supervisión y cumplimiento de los objetivos a la hora de conseguir la materia prima, generan una fuente de ingresos cómoda para ganaderos particulares. A continuación, se dará a conocer la manera en la que, aplicando los métodos numéricos, se realizará una estimación de producción de leche en una finca en crecimiento.

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MÉTODO A UTILIZARSE Se tiene un total de 147 vacas después de 16 meses, tomándose los datos de producción de leche (Gráfica 1) y viendo que se tendrá que hacer una estimación habrá que usarse algún método de extrapolación, viendo el comportamiento de la gráfica que no es una curva definida (cuadrática, semiparabolica) ni mucho menos lineal, en este caso (Gráfica 2), se utilizará una regresión polinómica de grado 3.

Litros x mes 800 700

Litros

600 500 400 300 200 100 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Meses

Gráfica 1: Producción inicial.

Curva de ajuste 800 700

Litros

600 500 400 300 200 100 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Meses

Grafica 2: Tendencia producción inicial.

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CONCEPTOS UTILIZADOS PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA -Métodos numéricos: Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica). -Regresión polinomial: La regresión polinomial es una forma de regresión lineal en la que la relación entre la variable independiente X y la variable dependiente Y, es modelada como un polinomio de grado n en X. La regresión polinomial se ajusta a una relación no lineal entre el valor de X y la correspondiente media condicional de Y, se utiliza para describir fenómenos no lineales como la tasa de crecimiento de los tejidos, y la progresión de epidemias de la enfermedad. En este caso la estimación de la producción de leche en un hato ganadero, donde la variable independiente son los meses y la variable dependiente son os litros de leche. La regresión polinomial arroja un polinomio de grado n: 𝑛

𝑛

∑𝑥 𝑖=1 𝑛

𝑛

∑𝑥

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥2 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥2 ∑ 𝑥3

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

∑ 𝑥2 𝑖=1 𝑛

𝑎0

∑ 𝑥3 𝑎1

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥4 𝑎2

𝑖=1

=

=

𝑛

∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

= ∑ 𝑥2 𝑌𝑖 𝑖=1

Figura 1: matriz de regresión polinomial

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A partir de dicha matriz se obtienen los coeficientes de la ecuación de grado n correspondiente a la obtenida mediante la regresión polinomial. La matriz se resuelve usando el método de GAUSSJORDAN. Método GAUSS-JORDAN: El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada. CÁLCULOS Y RESULTADOS:

Meses

Litros 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 200 250 300 350 400 350 600 700

Tabla 1: Datos producción

Del banco de datos correspondiente a la producción de leche del hato cada dos meses se obtiene que la ecuación que describe el comportamiento del mismo es: y = 0,5051x3 - 11,715x2 + 102,47x + 10,606 7

La cual tiene un coeficiente de correlación de 0,963, lo cual refleja un muy buen ajuste de la curva polinomial al comportamiento de los datos que se tienen inicialmente. Para obtener estos coeficientes es necesario realizar el procedimiento correspondiente a una regresión polinomial de grado 3, se estructura la matriz, la cual es: 𝑛

𝑛

𝑛

∑𝑥 𝑖=1 𝑛

𝑛

∑ 𝑥3

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

∑𝑥

∑ 𝑥2

∑ 𝑥3

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥2 ∑ 𝑥3

∑ 𝑥3 ∑ 𝑥4 [𝑖=1 𝑖=1

𝑛

∑ 𝑥2

∑ 𝑥4

∑ 𝑥5 𝑖=1

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑎0 𝑎1

∑ 𝑥4

∑ 𝑥5 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥6 𝑖=1

[𝑎 ] = 2

𝑎3

]

∑ 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥2 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥3 𝑌𝑖 [𝑖=1 ]

Figura 2: Matriz polinomial grado 3

De acuerdo a la tabla 1 la variable independiente serán los meses y la dependiente serán los litros, Con el uso de Excel se calcularon los parámetros que conforman la matriz de la figura 2 y se tabularon en tablas de la siguiente manera: X

x^2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 72,00

x^3 0 4 16 36 64 100 144 196 256 816,00

x^4 0 8 64 216 512 1000 1728 2744 4096 10368,00

x^5 0 16 256 1296 4096 10000 20736 38416 65536 140352,00

x^6 0 32 1024 7776 32768 100000 248832 537824 1048576 1976832,00

0 64 4096 46656 262144 1000000 2985984 7529536 16777216 28605696,00

Tabla 2: Parámetros independientes de la matriz.

8

y

xy 0 200 250 300 350 400 350 600 700 3150,00

x^2y 0 400 1000 1800 2800 4000 4200 8400 11200 33800,00

x^3y

0 800 4000 10800 22400 40000 50400 117600 179200 425200,00

0 1600 16000 64800 179200 400000 604800 1646400 2867200 5780000,00

Tabla 3: parámetros dependientes de la matriz.

Los valores rellenados en color azul son las sumatorias correspondientes a la figura 2, la cual al remplazarlos queda de la siguiente manera: 9 72 816 10368 𝑎0 3150 𝑎1 72 816 10368 140352 33800 ] ]=[ ][ [ 816 10368 140352 1976832 𝑎2 425200 𝑎3 5780000 10368 140352 1976832 2860569 Figura 3: Matriz sumatorias.

Mediante el método de GAUSS-JORDAN se hallarán los coeficientes correspondientes a la matriz de la figura 3. Estos coeficientes formaran una ecuación de la forma: 𝑦 = 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏

Mediante un algoritmo programado en Python se obtuvo la siguiente matriz solución: 350 33 142025 0 1 0 0 1386 10825 0 0 1 0 − 924 50 0 0 0 1 99

1 0 0 0

Figura 4: Matriz solución

9

350 33 142025 𝑎0 𝑎1 ] = 1386 10825 [ 𝑎2 − 𝑎3 924 50 [ 99 ] Figura 5: Vectores solución

Reemplazando estos valores en la ecuación 1 se obtiene la ecuación que describe la curva de ajuste polinomial de la gráfica 2. 𝑦 = 0,5051𝑥 3 − 11,715𝑥 2 + 102,47𝑥 + 10,606

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐

En principio se desea conocer a 20 meses como será la producción de leche. La ecuación 2 describe el comportamiento aproximado de la producción de acuerdo al banco de datos inicial descritos en la tabla 1, de esta manera se obtiene una relación entre la producción y el tiempo (Meses), por lo tanto, se sustituye x= 20 meses en la ecuación 2 y se obtiene la estimación a este tiempo. 𝑦 = 0,5051(20)3 − 11,715(20)2 + 102,47(20) + 10,606 𝒚 = 𝟏𝟒𝟏𝟒 𝑳𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

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DISCUSIÓN Se observa que con el pasar de los meses se presenta una tendencia al aumento en la producción de litros de leche, a partir de los datos iniciales se conoce que pasados 16 meses la producción era de 700 Litros, de acuerdo a la estimación realizada se obtuvo que para 20 meses a producción de leche se duplico hasta alcanzar los 1414 litros de leche aproximadamente. Se debe tener en cuenta que los resultados acarrean errores de distinta índole, tales como errores humanos a la hora de la medición y que el resultado arrojado por el procedimiento realizado no deja de ser una aproximación, lo cual significa que el resultado no es exacto.

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CONCLUSIÓN Después de haber insertado exitosamente los datos en las respectivas ecuaciones y resolviendo adecuadamente los métodos tenemos que va a haber una estable producción de leche para los próximos meses. Se evidenció un aumento del 49 % en la producción de leche entre los 16 y 20 meses, es decir, se duplico la producción en una cuarta parte del tiempo, es decir 4 meses.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] https://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan [2] https://conzmr.wordpress.com/2017/04/04/regresionpolinomial/#:~:text=En%20estad%C3%ADstica%2C%20la%20regresi%C3%B3n%20polinomial ,de%20grado%20n%20en%20x. [3] https://iartificial.net/regresion-polinomica-en-python-con-scikitlearn/#:~:text=la%20regresi%C3%B3n%20polin%C3%B3mica%20(tambi%C3%A9n%20conoci da,R2%20y%20visualizando%20datos [4]https://docs.google.com/presentation/d/1N1SDMZC6Q9dkzF3GWPwwoivcHZRCToEueS66x GzKizs/edit#slide=id.g2b9cee2831_0_303 [5] http://static.fedegan.org.co.s3.amazonaws.com/publicaciones/Libro_Costos_de_ganaderia.pdf [6] http://www.fao.org/dairy-production-products/socio-economics/economics/es/ [7] file:///C:/Users/yanely/Desktop/15892184-Aplicacion-metodos-numericos.pdf

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