Introduccion a Los Metodos Numericos Con Derive 6 PDF

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INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS CON DERIVE 6 Primera Edición Jaime Echeverría Profesor de Álgebra Lineal y Métodos Numéricos Departamento de Ciencias Exactas – Escuela Politécnica del Ejército. 2 Pró lo g o PRÓLOGO Los Métodos Numéricos, constituyen una herramienta fundamental en la generació...

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Introduccion a Los Metodos Numericos Con Derive 6 Richar Burbano

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INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS CON DERIVE 6 Primera Edición

Jaime Echeverría Profesor de Álgebra Lineal y Métodos Numéricos Departamento de Ciencias Exactas – Escuela Politécnica del Ejército.

2 Pró lo g o

PRÓLOGO

Los Métodos Numéricos, constituyen una herramienta fundamental en la generación de algoritmos computacionales y una técnica mediante la cual se resuelven problemas matemáticos, que no tienen solución analítica, frecuentes en las ciencias aplicadas y en todos los campos de la Ingeniería y la Tecnología. El presente texto explica en detalle una gran parte de los métodos del Análisis Numérico, poniendo énfasis en la ejemplificación de los mismos y en la programación con la ayuda del sistema de álgebra computacional Derive 6 y el software MathCAD, aunque el uso de los mismos no es obligatorio al lector, el cual puede hacer uso ya sea de otros sistemas CAS o lenguajes de programación(MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, C, Fortran, etc.). El capítulo 0 introduce al lector en los errores y su uso dentro del Análisis Numérico, pues al ser los métodos numéricos “aproximaciones” a lo exacto incurrirán en errores que deberán ser cuantificados para evitar que su presencia influya de forma negativa en un resultado. Además los errores constituyen uno de los parámetros fundamentales para identificar las fortalezas y debilidades de un método numérico y su análisis puede llevar a mejorar su rendimiento. El capítulo 1 trata la interpolación polinómica, elemento indispensable en la predicción de resultados así como para la generación de métodos numéricos para otros campos como la diferenciación e integración numérica. El capítulo 2 estudia la solución de las ecuaciones no lineales, pues algoritmos numéricos en este campo son indispensables dado que no existen soluciones analíticas exactas para la mayoría de ecuaciones no lineales, excepto para muy pocas de ellas, y aún para ecuaciones polinómicas sólo existen soluciones analíticas exactas para ecuaciones de cuarto grado o inferior. Muchos problemas de las ciencias aplicadas llevan la resolución de una ecuación lineal, por lo que este tema es de irrenunciable análisis para los métodos numéricos. Los capítulos 3 y 4 revisan los temas del cálculo numérico, dado que las derivadas e integrales numéricas son de vital importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales, tema este último que es uno de los puntos culminantes del Análisis Numérico y es revisado en el capítulo 5. El capítulo 6, revisa brevemente algunos métodos numéricos del Álgebra Lineal, exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente el Apéndice A, da una breve descripción de Derive 6 y en el Apéndice B una revisión de las series de Taylor, elemento básico en el análisis del error por truncamiento. El contenido del texto es suficiente para un curso de un semestre de Métodos Numéricos, pudiendo quedar a discreción del profesor la elección del orden de los temas a tratarse de acuerdo a su experiencia docente. La mayoría de los cálculos numéricos en los problemas del texto fueron realizados con la ayuda de una calculadora gráfica TI – 92 Plus, así como los gráficos provienen de los sistemas CAS Derive 6 y MathCAD. Espero que el texto sea una fuente invalorable de consulta para quienes esperan obtener de los Métodos Numéricos una fuente de información valiosa para sus posteriores estudios en campos especializados de la Ingeniería y la Tecnología. Cualquier comentario, consejo o sugerencia remitirlo al e-mail [email protected] Quito, Marzo 2010

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CONTENIDO PRÓLOGO ........................................................................................................................................................... 2 CONTENIDO ........................................................................................................................................................ 3 CAPÍTULO

0 .................................................................................................................................................... 6

PROCESOS ITERATIVOS Y ERRORES EN ANÁLISIS NUMÉRICO ............................................................. 6 0.1 PROCESOS ITERATIVOS. ...........................................................................................................................6 0.2 ERRORES EN ANÁLISIS NUMÉRICO. ........................................................................................................8 0.2.1 ERRORES DE REDONDEO Y NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE ....................................................10 0.2.2 FUENTES DE ERROR POR REDONDEO...........................................................................................13 0.2.3 CIFRAS DECIMALES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS. .............................................................................14 0.3 PRECISIÓN EN DERIVE 6. ........................................................................................................................17 CAPÍTULO

1 .................................................................................................................................................. 20

INTERPOLACIÓN POLINÓMICA .................................................................................................................. 20 1.1 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA POR EL MÉTODO GENERAL O DE SERIE DE POTENCIAS .................20 1.1.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO GENERAL CON DERIVE 6................................21 1.2 INTERPOLACIÓN LINEAL.........................................................................................................................22 1.2.1 INTERPOLACIÓN LINEAL CON DERIVE 6. .......................................................................................23 1.3 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE. ................................................................................25 1.3.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE CON DERIVE 6.................................................27 1.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS. ........................................................................................................................28 1.5 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON. ....................................................................................32 1.5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DERIVE 6.....................................................38 1.6 ERROR EN POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN. .....................................................................................39 1.7 ERROR EN LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON. .......................................................45 1.8 INTERPOLACIÓN CON RAÍCES O PUNTOS DE CHEBYSHEV. MINIMIZACIÓN DEL ERROR DE INTERPOLACIÓN. ..........................................................................................................................................46 1.8.1 RAÍCES DE CHEBYSHEV CON DERIVE 6..........................................................................................48 CAPÍTULO

2 .................................................................................................................................................. 49

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES ............................................................................................. 49 2.1 AISLAMIENTO DE RAICES. ......................................................................................................................49 2.2 APROXIMACIÓN GRÁFICA A LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN. .........................................................50 2.3 MÉTODOS CERRADOS. ...........................................................................................................................51 2.3.1 MÉTODO DE BISECCIÓN. ................................................................................................................51 2.3.1.1 MÉTODO DE BISECCIÓN UTILIZANDO DERIVE 6 ....................................................................55 2.3.2 MÉTODO DE FALSA POSICIÓN, DE LAS CUERDAS O REGULA FALSI. ..........................................56 2.4 MÉTODOS ABIERTOS. .............................................................................................................................59 2.4.1 MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON O DE LAS TANGENTES. ..........................................................60 2.4.1.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON CON DERIVE 6. ..................................................................63 2.4.2 MÉTODO DE LAS SECANTES. ..........................................................................................................64 2.4.2.1 MÉTODO DE LAS SECANTES CON DERIVE 6. .........................................................................66 2.4.3 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO O DE SUSTITUCIONES SUCESIVAS. ............................66 2.4.3.1 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO CON DERIVE 6. .....................................................71 CAPÍTULO

3 .................................................................................................................................................. 72

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA .................................................................................................................... 72 3.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS. ............................................................................72 3.1.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS. ..................72 3.1.2 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS CENTRALES.................................................78 3.1.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. ................................................................................................79

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3.2 ERROR EN DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA. .............................................................................................81 3.3 DERIVADAS NUMÉRICAS CON DERIVE 6................................................................................................83 CAPÍTULO

4 .................................................................................................................................................. 85

INTEGRACIÓN NUMÉRICA .......................................................................................................................... 85 4.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO .....................................................................85 4.1.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO CON DERIVE 6. ....................................89 4.2 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS. ...............................................................................................................89 4.2.1 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS CON DERIVE 6................................................................................92 4.3 REGLAS DE SIMPSON. ............................................................................................................................92 4.3.1 REGLA DE 1/3 DE SIMPSON. ...........................................................................................................92 4.3.2 REGLA DE 3/8 DE SIMPSON. ...........................................................................................................96 4.3.3 REGLAS DE SIMPSON UTILIZANDO DERIVE 6. ...............................................................................97 4.4 FÓRMULAS DE NEWTON – COTES. ........................................................................................................98 4.5 ERROR EN MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. ..............................................................................................98 4.6 INTEGRACIÓN DE ROMBERG. ..............................................................................................................102 CAPÍTULO

5 ................................................................................................................................................ 110

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ........................................................................................ 110 5.1 SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ..........................................110 5.2 MÉTODOS DE EULER ............................................................................................................................111 5.2.1 MÉTODOS DE EULER HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS ............................................................111 5.2.2 MÉTODO DE EULER MODIFICADO ...............................................................................................116 5.2.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE EULER ..........................................................................................118 5.3 MÉTODOS DE TAYLOR ..........................................................................................................................122 5.3.1 ERROR EN LOS MÉTODOS DE TAYLOR ........................................................................................125 5.4 MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA ..............................................................................................................127 5.4.1 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE TERCER ORDEN ......................................................................127 5.4.2 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE CUARTO ORDEN.......................................................................129 5.4.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA ............................................................................131 5.5 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE EDOs DE PRIMER ORDEN CON DERIVE 6 ...........................................131 5.6 APLICACIONES ......................................................................................................................................133 5.7 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS .......................................137 CAPÍTULO

6 ................................................................................................................................................ 142

ALGEBRA LINEAL NUMÉRICA .................................................................................................................. 142 6.1 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO PARCIAL ........................................................142 6.2 MÉTODOS ITERATIVOS PARA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ......................145 6.2.1 MÉTODO DE JACOBI .....................................................................................................................145 6.2.2 MÉTODO DE GAUSS–SEIDEL ........................................................................................................147 6.3 MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS–SEIDEL CON DERIVE 6 ....................................................................153 6.4 APLICACIONES ......................................................................................................................................153 APÉNDICE

A................................................................................................................................................ 159

BREVE INTRODUCCIÓN A DERIVE 6 ........................................................................................................ 159 A.1 INSTALACIÓN, INICIO Y BREVE DESCRIPCIÓN DE DERIVE.............................................................159 A.2 SIMPLIFICACIÓN Y APROXIMACIÓN .................................................................................................160 A.3 SUSTITUCIÓN ....................................................................................................................................161 A.4 VECTORES Y MATRICES ...................................................................................................................162 A.5 PROGRAMACIÓN CON DERIVE 6. ....................................................................................................164 A.5.1 PROGRAMACIÓN FUNCIONAL ......................................................................................................164 A.5.1.1 PROCESOS ITERATIVOS Y LAS FUNCIONES ITERATES E ITERATE .......................................164 A.5.1.2 FUNCIÓN CONDICIONAL IF ...................................................................................................165 A.5.1.3 FUNCIÓN VECTOR ..................................................................................................................166 A.5.1.4 SUMATORIA Y PRODUCTO ITERADO – FUNCIONES SUM Y PRODUCT ...............................166

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A.5.2 PROGRAMACIÓN PROCEDURAL ..................................................................................................168 A.5.2.1 FUNCIÓN PROG......................................................................................................................168 A.5.2.2 FUNCIÓN LOOP ......................................................................................................................168 A.6 GENERACIÓN DE UNA UTILIDAD .....................................................................................................169 APÉNDICE

B................................................................................................................................................ 173

SERIES DE TAYLOR ................................................................................................................................... 173 B.1 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN. ......................................................................................................173 B.2 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON RESTO EN FORMA DE LAGRANGE. ....................................174 B.3 FORMA ALTERNATIVA PARA LA SERIE DE TAYLOR Y EL RESTO. ........................................................175 B.4 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON DERIVE 6. .............................................................................175 BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS .............................................................................................................. 180 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................................180 NOTAS Y REFERENCIAS. .............................................................................................................................180 ÍNDICE ALFABÉTICO...................................................................................................................................... 181

6 Pro c e so s ite ra tivo s y e rro re s e n Mé to d o s Numé ric o s

CAPÍTULO

0

PROCESOS ITERATIVOS Y ERRORES EN MÉTODOS NUMÉRICOS Los métodos numéricos al consistir de aproximaciones bastante confiables, pero aproximaciones al fin, incurren en errores propios de lo no exacto. El presente capítulo tiene como objetivo analizar estos errores pues, en base a ellos, se podrá escoger un método y no otro, así como cuantificar la precisión de los resultados que se obtengan en cada uno de los métodos numéricos que se estudien a lo largo del texto.

0.1 PROCESOS ITERATIVOS. Un proceso iterativo es el uso de una fórmula para generar de forma secuencial valores a partir de uno o más valores iniciales, así entonces… x i1  f(x i )

(0.1)

i  0,1,2,3...

El siguiente ejemplo aclarará este concepto... Ejemplo 0.1 Determinar los primeros cuatro valores numéricos que se obtengan mediante un proceso iterativo para

f(x)  esen(x )  2 , a partir de x0 = 3 como valor de inicio.

El proceso iterativo va a generarse mediante: x i1  esen( xi )  2 con i = 0,1,2,…, es decir x 2  esen( x1 )  2
...