Aplicaciones de Algebra Lineal (Tarea Investigativa) PDF

Preview

Summary

algebra lineal...

Description

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO Las aplicaciones del Álgebra lineal (economía, administración e ingeniería)

Cristhian Pacheco Cervantes1 Alejandra Moreira Villamar2 Facultad Ciencias e ingeniería, Universidad Estatal de Milagro, Ecuador 1 2

[email protected] [email protected]

a) Resumen y palabras claves El álgebra lineal es una parte de la ciencia que trabaja con conceptos, por ejemplo, vectores, matrices, doble espacio, sistemas de ecuaciones lineales y su perspectiva formal de la rama matemática, las transformaciones lineales y sus espacios vectoriales. En este trabajo investigativo vamos a mostrar cómo el álgebra lineal se está utilizando en el objetivo de resolución de problemas económicos, administrativos e ingeniería, e indicaremos una parte de los que han sido aplicados con esta parte de álgebra. Para ello, realizaremos un recorrido conceptual en la que se desarrollara el tema del álgebra lineal y cómo esta parte académica del álgebra ha sido y se está utilizando para abordar algunos problemas económicos, administrativos y de ingeniería. Palabras claves: álgebra lineal, economía, administración, ingeniería.

b) Objetivo El presente trabajo investigativo tiene como objetivo indagar las aplicaciones del algebra lineal en economía, administración e ingeniería, mediante la compilación de conceptos y teorías que ayudarán al estudiante a complementar sus cocimientos de algebra lineal.

1

c) Introducción En el campo de las Matemáticas y sus aplicaciones, hay problemas que se pueden mostrar utilizando ecuaciones de primer grado o lineales e inecuaciones, por ejemplo, investigación funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de actividades, ilustraciones de PC, diseño, etc. Es decisivamente cuando esto sucede el álgebra lineal puede ser un instrumento que se utilizará para el objetivo de tales cuestiones problemáticas, ya que los sistemas de ecuaciones lineales se pueden traducir a expresiones de matrices y resolverse con diferentes procedimientos. Por lo tanto, trabajar con sistemas lineales y, de esta manera, con matrices y determinantes para abordar cuestiones financieras, administrativas, y en determinados casos de ingeniería, toma gran importancia, permitiendo ocuparse de cuestiones matemáticas con ecuaciones diferenciales por referirnos a algunos modelos. El álgebra lineal se aplica en numerosos campos de negocio, en el diseño estructural, e ingeniería, es extremadamente útil para todo, en los aspectos financieros y organización empresarial el álgebra lineal es un instrumento significativo ya que a través de esto se puede deducir, por ejemplo, los ingresos de una organización en varios etapas productivas y temporales, los saldos, gastos que permiten comprender y examinar los informes financieros de una organización y por lo tanto permiten a los administradores de la misma establecerse en una decisión oportuna y eficaz , además nos permite calcular estados presupuestales, y en general el álgebra lineal, proporciona procedimientos, instrumentos y técnicas para supervisar más fácilmente los datos ya sean contables, administrativos o de cálculos de ingeniería de manera más eficaz e ideal bajo las normas de calidad.

2

d) Desarrollo Algebra lineal

El álgebra lineal es una parte de la aritmética actual que responde para contemplar ideas, por ejemplo, vectores, matrices, espacios vectoriales y ecuaciones lineales. En el álgebra lineal, las ideas son tan significativas como los cálculos, esta ciencia presenta un razonamiento teórico abstracto, con el argumento de que un enorme aspecto de su campo tiene una comprensión geométrica, que puede ayudar a imaginar decisivamente esas ideas[ CITATION Poo11 \l 12298 ]. El álgebra lineal se ha vuelto más significativa con la utilización de PC, debido a que se requiere un enorme número de tareas operacionales. El tratamiento de imágenes, el sonido y la digitalización de una amplia gama de datos demanda de la utilización de vectores o arreglos matemáticos. Lo que, es más, las reuniones de vectores estructuran matrices, además, trabajar con matrices es simplemente álgebra lineal. Componentes del álgebra lineal Vectores: Una forma de al menos uno de los fragmentos rectos que proponen una dirección caracterizada extendida en un espacio determinado se caracterizan además como líneas que tienen un tamaño, un curso y un rumbo explícitos. Se muestran gráficamente como secciones rectas y se hacen de los componentes que los acompañan: orientación, dirección, longitud o módulo y punto de origen o punto de aplicación (Componentes que son importantes para el espacio vectorial)[ CITATION Del111 \l 12298 ]. Matriz: Una disposición bidimensional de números o componentes orquestados en líneas y columnas, organizados en estructura rectangular. Permiten la representación de los coeficientes que los sistemas tienen de las ecuaciones lineales[ CITATION Del111 \l 12298 ]. Exponencial: La suma que se duplica sin nadie más, el mismo número de veces que se ha demostrado para obtener otra cantidad o número posteriormente. Se compone de encontrar la premisa de la fuerza, conocer el tipo de raíz y la suma sub revolucionaria. Para descubrir o eliminar la raíz, se desarrolla una actividad que está hacia atrás hacia el fortalecimiento, de forma similar a como la deducción es la actividad opuesta del agregado[ CITATION Del111 \l 12298 ]. Determinante: Esta es una articulación que se logra aplicando los componentes que componen un cúmulo cuadrado con respecto a ciertas pautas[ CITATION Del111 \l 12298 ].

3

Aplicación en Economía

Como regla general, se puede pensar que los factores relacionados con ciertas cuestiones monetarias están conectados a través de ecuaciones lineales. Esto implica que se puedan hablar ciertas cuestiones mediante la disposición de las ecuaciones y, por lo tanto, las técnicas de examen y objetivo de los sistemas de ecuaciones lineales, recientemente contempladas, constituyen un aparato útil para estudiar y descubrir posibles respuestas para tales cuestiones[ CITATION Ary02 \l 12298 ]. Ecuaciones lineales. - En Administración y Economía existen aplicaciones ordinarias que pueden ser desentrañadas por modelos numéricos como muchas ecuaciones, una similar que al entenderlas se obtiene una recolección de cualidades de las preguntas que cumplen todas las ecuaciones del marco y abordan el tema[ CITATION Gar06 \l 12298 ]. En el ámbito de la gestión hay algunos modelos que a partir de ahora están resueltos y nos permiten con mayor eficacia plantear las cuestiones y desentrañarlas, entre las principales que tenemos: 

Modelo de costos: ��=��+��; 𝐶𝐶=$/𝐶(𝐶º 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 )



Modelo de ingresos: Ingreso = precio de venta, por nº de unidades vendidas



Modelo de Utilidad: Utilidad = Ingreso – Costos Totales



Interés simple: �=�∗�∗�, �=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ; �=𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 é𝐶; �=𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶



Monto o valor final con interés simple: �=�+�



Monto o valor final con interés compuesto: �=�(1+�)t

Específicamente hay dos circunstancias en las que la disposición de las ecuaciones es clave para la disposición y la comprensión de los resultados, tales circunstancias se conocen como focos de ecualización, que pueden ser de dos tipos; la idea interna del esfuerzo y el otro en relación con el mercado. En el caso esencial, el punto de riesgo subyacente de la asociación se hace cuando los costes directos son iguales a los ingresos. La información proporcionada por este resultado son los datos razonables y el cuadrado de creación a partir del cual pueden ocurrir ventajas. En el caso siguiente, el mercado recupera el punto de inversión original cuando se nivelan tanto la flexibilidad como el interés de una partida; los datos que ofrece son

4

información sobre el importe de la cosa ofrecida y solicitada cuando el coste está en el valor dado por el acuerdo. Funciones exponenciales. -

Entre las aplicaciones primarias que tienen estas

capacidades exponenciales, podemos referirnos a: acumulación progresiva, desarrollos poblacionales o disminuciones, con gracia o ecuaciones de solicitud[ CITATION Arg14 \l 12298 ]. Debido a la acumulación de fondos, ocurre cuando la prima creada por una medida específica de efectivo (introducción o capital principal) se añade al capital inicial del siguiente período de tiempo, de modo que el nuevo capital produce nueva prima, este ciclo se puede rehacer iteradamente en unos pocos períodos que pueden ser anuales o división de un año[ CITATION Arg14 \l 12298 ]. Supongamos que usted contribuye con un capital subyacente de $100 por un año a una cuota de préstamo anual del 4%. Hacia el final del año, la estimación de la empresa será: 100+100(0.04)- 104 Rápidamente esta última suma obtuvo, se reinvierte por un año más, a una cuota de préstamo anterior similar, esta actividad sucede hacia el final del año siguiente: 104 + 104(0.04) = 108.16 Matrices. - Producto como una aplicación a la economía, estas matrices que utilizamos para ver la interrelación entre la gracia y la solicitud de los resultados de cada industria que se venden como contribución a las empresas y clientes[ CITATION Gut14 \l 12298 ]. Ejemplo:

Fuente: [ CITATION Ary02 \l 12298 ] Cada renglón demuestra la adquisición de artículos por parte de la industria y los compradores. Cada columna por planta de procesamiento da la estimación de la que usted compra como contribución de cada una de las instalaciones industriales, al igual que lo que gastan

5

otros factores de creación. Esta investigación evalúa la creación absoluta de cada parte moderna.

Aplicación administración

El álgebra lineal hace que los modelos numéricos sean adecuados para supervisar circunstancias genuinas en la organización. La producción de los modelos está situada predominantemente para abordar los problemas que surgen en toma de decisiones. Ya que un modelo es la representación de algo o la norma de algo que se hará a través de ser habla al mundo real. En la hipótesis numérica, el modelo se utiliza comúnmente para imitar circunstancias futuras y evaluar la probabilidad de su evento[ CITATION Gar06 \l 12298 ]. La hipótesis numérica aplicada a las cuestiones regulatorias también se denomina investigación de tareas (IO). A pesar del hecho de que esta sección está todo venerado, es excepcionalmente no exclusiva. Aunque la hipótesis numérica no es en sí misma una escuela caracterizada, (por ejemplo, hipótesis de estilo antiguo o la hipótesis de conexiones humanas), es un patrón extremadamente amplio que se encuentra en numerosos creadores, cuyo número de partidarios y patrocinadores se está expandiendo. hipótesis numérica acentúa el ciclo dinámico y lo trata de manera inteligente y normal a través de una metodología cuantitativa y determinista[ CITATION Lay12 \l 12298 ]. El álgebra lineal para los ejecutivos es útil, por ejemplo, en el caso de que se tenga en cuenta que para las transacciones es necesario llegar a una ganancia de nuevo el punto de inversión original dado por el agregado de la utilidad - costos de creación, de una manera groso. Además, si se sabe que los costos de creación son equivalentes a la totalidad de los costos operativos y los costos no operativos[ CITATION Ary02 \l 12298 ]. De los cuales se deducen numerosos factores, por lo tanto, utilizando las redes se puede calcular la estimación de cada factor en la disposición de ecuaciones concurrentes que se requieren independientemente de lo complejo que sea y se aplique en todas las extensiones fundamentales. Modelo: El costo de los artículos A, B, C y D por unidad es según lo siguiente: $3.80, $4.90, $6.50 y $10.80; y los importes que se compran de cada artículo son: A x 500, B x 600, C x 850 y D x 720. Decide el gasto de las adquisiciones . Solución aplicando matrices:

6

P1 x 4=[ 3.80, 4.90, 6.50,10.80 ]

[ ]

500 C 4 x 1= 600 850

Se cumple la condición de que la cantidad de segmentos en el clúster principal es equivalente a la cantidad de líneas en la presentación posterior y que el componente obtenido del artículo de los clústeres P y C-R es 1x1, y se adquiere considerando la cantidad de líneas del clúster principal por la cantidad de secciones en la exposición posterior. Dónde: R= [ ( 3.80)( 500 ) + ( 4.90 ) ( 600 ) +( 6.50 ) ( 850) +(10.80 )( 720 ) ] =18141

( P1 x 4 ) ( C 4 x1 ) =R1 x 1 Por lo tanto, el costo total es de

$ 18.141

Modelo de entrada-salida de Leontief

El modelo creado por Leontief sirve para diseccionar las conexiones de asociación entre las áreas rentables distintivas de una nación o distrito. Asumir una economía con n negocios [ CITATION Arg14 \l 12298 ]: •

ei: Interés externo en la industria I,

•

ai j: La cantidad de unidades de la industria que esperaba crear 1 unidad de la industria j, por ejemplo, la solicitud por unidad de j sobre I.

•

xi: Producción de I (número de unidades fabricadas por la industria I)

La información se puede representar en la tabla adjunta:

este es el medio por el cual se propone un arreglo de n ecuaciones con preguntas. La condición I-esima es dada por:

7

“Aquí I es la identidad en Mn,n. La matriz A se llama Matriz de tecnología, x es el vector de producción y e, es el vector de demanda externa. La matriz L = I −A se llama matriz de Leontief. Nótese que si L es invertible el problema tiene solución única”[ CITATION Arg14 \l 12298 ]. Aplicación en Ingeniería

Este tipo de álgebra es una parte de la aritmética identificada con la investigación de vectores (familias vectoriales o espacios lineales), y a capacidades que entran en un vector y producen otro, como indican normas específicas. Estas capacidades se denominan capacidades lineales y generalmente se habla con los clústeres[ CITATION Arg14 \l 12298 ]. Principalmente las matrices en la ingeniería son utilizadas como: •

Investigación de estructuras.

•

Tratar con datos importantes

•

Hacer emprendimientos de mejora organizados.

•

Mejor control de perfil especializado.

•

Planifica un rumbo hipotético.

•

Capacidad óptica en sistemas de planificación.

Ejemplo Un diseñador necesita jugar un establecimiento para enviar los montones del edificio de tareas, se tiene en cuenta que utilizaron columnas, que se trabajaron en las capas más profundas de la suciedad. Es necesario planificar los segmentos con medidas que contengan un volumen de 30m3. En la posibilidad de que las tres proporciones de A, B y C entonces los métodos A es dos veces más alto que B, y que las tres estimaciones llenan su capacidad y que las dos primeras iniciales a la mitad ¿Qué medida tiene cada columna? X-estimación del piloto A

8

Proporción de piloto B Piloto C estimado en Z Teniendo en cuenta las ecuaciones dadas por la cuestión, estas son las ecuaciones planteadas: x=2 y x+ y+ z=30 x + y=15 Transformamos el sistema de ecuaciones en una matriz:

( |)

|)

(

1 2 0 0 F 2− F 1 1 1 1 30 F 3− F 1 1 1 0 15

1 2 0 0 0 −1 1 30 0 −1 0 15

| )

(

0 1 2 0 0 1 −1 − 30 0 −1 0 15

(−1) ∗F 2

| )

(

60 1 0 2 F 1−2 F 2 0 1 −1 − 30 F 3+ F 2 0 0 −1 −15

(−1) ∗F 3

(

| )

1 0 2 60 0 1 −1 − 30 15 0 0 1

( | )

1 0 0 30 F 1−2 F 3 0 1 0 − 15 F 2− F 3 0 0 1 15

x =30 y=−15 z=15

Así que necesitamos dirigir A=30m3, piloto B=15m3, piloto C=15m3.

9

El álgebra aporta a diseñar la capacidad de construir un razonamiento coherente y algorítmico al abordar los problemas, ya que es más sencillo tratar, diagramar y explicar, a partir de ese momento la importancia de examinar el álgebra lineal. e) Conclusiones Numerosos fenómenos de la naturaleza, que se introducen en la ingeniería, ciencias económicas y administrativas se pueden aproximar a un modelo lineal. Esta área matemática nos sirve para retratar estos fenómenos y transformarlas en un modelo lineal, ya que es más sencillo tratar, diagramar y comprender, a partir de ese momento la importancia de tener conocimientos en álgebra lineal. El álgebra lineal nos proporciona instrumentos numéricos para aplicarlos, decidiendo, conociendo y utilizando métodos significativos y valiosos en cuestiones de mercado, mejorando activos y ahorrando tiempo en ciclos y procesos inútiles, descubriendo cómo proyectar la empresa con mayor seguridad y eficacia. Nos permite crear información, adelantar cualidades, por ejemplo, claridad, relación, racionalidad, orden, secuenciación, solidez, entre otros para la mejora de nuestros ejercicios profesionales. f) Referencias bibliográficas Argomedo, C. S., Herrera, T. J., Molina, A. K., & Relos, P. S. (2014). Algebra Lineal para Ingeniería (Primera ed.). Programa ALFA III EuropeAid.: Iniciativa Latinoamericana de Libros de Texto Abiertos (LATIn). Arya, J. C., & Lardner, R. W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (Cuarta ed.). (M. G. Trujano, Ed., & M. V. Ibarra, Trad.) México: Pearson Education. Del Valle, S. J. (2011). Algebra Lineal, para estudianetes de Ingeniería y Ciencias (Primera ed.). México, D. F.: McGraw-Hill Educación. García, C. J. (2006). Álgebra Lineal. Sus Aplicaciones en Economía, Ingenierías y otras Ciencias (Primera ed.). (T. F. García, Ed.) Madrid, España: Delta Publicaciones. Gutiérrez, G. E., & Ochoa, G. S. (2014). Álgebra lineal y sus Aplicaciones. México, D.F.: GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Lay, D. C. (2012). Algebra Lineal y sus aplicaciones (Cuarta ed.). (P. J. Alfaro, Ed., & H. A. García, Trad.) México, S.A. de C.V.: Pearson Educación. Poole, D. (2011). Álgebra lineal, Una introducción Moderna (Tercera ed.). (G. S. Cervantes, Ed., & O. V. Campos, Trad.) México, D.F.: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V

10

11...