Apoyo 03 - Integración po Partes (Cíclicas) PDF

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Integrales por partes (Parte 3)...

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Trabajo Cooperativo Integración por partes Apoyo 03. Cíclicas

Así se obtiene la fórmula. La diferencial del producto de funciones se determina:

d (uv)  udv  vdu “Eliminamos” el segundo término del lado derecho de la igualdad:

d (uv)  vdu  udv Integramos ambos lados de la igualdad:

 d (uv)  vdu   udv “Separamos” la integral del lado izquierdo de la igualdad:

 d (uv)   vdu   udv En la primera integral del lado izquierdo de la igualdad, se “elimina integral y diferencial”:





uv  vdu  udv Se acomodan ambos miembros de la igualdad:

 udv  uv   vdu FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES



Para aplicar la integración por partes debemos tener un producto.



Una de los factores lo elegimos como u. En general, su diferencial debe ser sencilla



El otro factor lo elegimos como dv. En general, su integral debe ser sencilla.



La integral que se obtiene, luego de aplicar la fórmula debe ser más simple o de igual complejidad que la original

1

Ejemplo 1.



3

 

e x sen 5x dx

Es un producto. Entonces, elegimos u y dv. La idea es que diferencial e integral sean sencillas y la integral resultante, luego de aplicar la fórmula, sea igual o más simple.

Para las integrales cíclicas se recomienda construir una tabla:

u  e3 x

dv  sen5x dx

u  e3 x

dv  sen5x dx

la diferencial

la integral1

du  3e3xdx

1 v   cos 5 x  5

selección calcula obtén Completa la tabla: selección calcula obtén

Aplica la fórmula:

Simplifica:

e

3x



1 3 3x sen5 xdx   e3 x cos5 x  e cos 5x dx 5 5

La integral obtenida, al aplicar la fórmula y simplificar, es muy parecida a la original ¡Vamos por buen camino! Se aplica de nueva cuenta la integración por partes.

Construye y completa la tabla: selección calcula obtén

1 2

u  e3 x

dv  cos 5 x dx

la diferencial

la integral2

du  3e3xdx

1 v  sen5 x  5

La integral en este paso puede ser Inmediata o reducible. En este ejemplo es reducible: se elige u = 5x. La integral en este paso puede ser Inmediata o reducible. En este ejemplo es reducible: se elige u = 5x.

2

Aplica la fórmula:

Simplifica:

e

3x



1 3 1 3 3x  sen5 x dx   e3 x cos5 x   e3 xsen5 x  e sen 5xdx 5 5 5 5 



1 3 3 3 9 3 e x sen5 x dx   e x cos5 x  e x sen5 x  5 25 25

e

3x

sen 5x dx

La integral resultante es IGUAL a la integral original, entonces la eliminamos y quedan del mismo lado de la igualdad:

e

3x

sen5xdx 



9 1 3 e3 x sen5xdx   e3 x cos 5x  e 3x sen 5x 25 5 25

Reduce términos semejantes:



34 3 x 1 3 e sen5x dx   e3 x cos 5x  e3 x sen5x  25 5 25 Elimina el coeficiente y se suma la constante de integración:



e3 xsen5 xdx 

25  1 3 x 3   e cos5 x  e 3 xsen 5x   C  34  5 25 

Simplifica:

e

3x

sen5xdx  

Ejemplo 2.

5 3x 3 e cos5x   e3x sen5 x  C 34 34

 sent cos2tdt

Es un producto. Entonces, elegimos u y dv. Construimos la tabla: selección calcula obtén

3

u  sent

dv  cos 2t dt

la diferencial

la integral3

du  cos tdt

v

1 sen 2t  2

La integral en este paso puede ser Inmediata o reducible. En este ejemplo es reducible: u = 2t.

3

Aplica la fórmula:

Simplifica:



sentcos2 t dt 

1 1 sentsen2 t   2 2

 costsen 2t dt

La integral obtenida, al aplicar la fórmula y simplificar, es muy parecida a la original ¡Vamos por buen camino! Se aplica de nueva cuenta la integración por partes.

Construye y completa la tabla:

u  cos t

dv  sen 2t dt

la diferencial

la integral4

du  sentdt

1 v   cos 2t  2

selección calcula obtén

Aplica la fórmula:

Simplifica:

 sentcos2tdt  2 sentsen2t  4cos t cos2t  4  sent cos 2t dt 1

1

1

La integral resultante es IGUAL a la integral original, entonces la eliminamos y quedan del mismo lado de la igualdad:

 sentcos2 t dt 4  sentcos2 tdt  2 sentsen2t  4 cost cos 2t  1

1

1

Reduce términos semejantes:

3 4

4



sentcos 2 t dt 

1 1 sentsen2 t  cost cos 2t  2 4

La integral en este paso puede ser Inmediata o reducible. En este ejemplo es reducible: u = 2t.

4

Elimina el coeficiente y suma la constante:



sentcos2 t dt 

4 1 1 sentsen2t  cos t cos 2t  C  3 2 4 

Simplifica:

 sent cos2t dt  3 sentsen2t  3 cos t cos2t   C 2

Ejemplo 3.

1

 cosln ydy

Es un producto. Entonces, elegimos u y dv. Construimos la tabla: selección

u  cosln y 

dv  dy

calcula

la diferencial

la integral

1 du   senln y dy y

v y

obtén

Aplica la fórmula:

Simplifica:

 cosln ydy  y cos ln y   senln ydy La integral resultante es similar a la original. A esta integral se le vuelve a aplicar la integración por partes. Construye la tabla: selección

u  senln y 

dv  dy

calcula

la diferencial

la integral

obtén

du  cosln y 

1 dy y

v y

Aplica la fórmula:

5

Simplifica:





 cos ln ydy  y cos ln y   ysen ln y   cos ln ydy   cos ln y dy  y cos ln y  ysen ln y   cos ln ydy La integral resultante es IGUAL a la integral original, entonces la eliminamos y quedan del mismo lado de la igualdad:

 cos ln y dy   cos ln y dy  y cos ln y  ysen ln y Reduce términos semejantes:



2 cos ln y dy  y cos ln y   ysen ln y  Eliminas el coeficiente y sumas la constante:



cosln ydy 

1 y cos ln y   ysen ln y  c 2

Simplificas:

 cosln ydy  2 y cos ln y  2 ysen ln y  c 1

1

6...