Applicazioni della torsione PDF

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appunti scienza delle costruzioni...

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI PARTHENOPE Ingegneria Civile ed Ambientale Analisi Strutturale e Principii di Progettazione – Prof. ing. Antonio Occhiuzzi a.a. 2011/2012

TENSIONI TANGENZIALI DA TORSIONE: APPLICAZIONI Sono stati, in precedenza, forniti gli strumenti utili a tracciare i diagrammi delle tensioni tangenziali τz indotte da torsione, oltre che su sezioni circolari ed a corona circolare spessa, su: - sezioni sottili aperte (o monoconnesse), quali rettangoli allungati e complessi di rettangoli allungati (Fig. 1); - sezioni sottili (chiuse) biconnesse, ovvero le sezioni cosiddette alla Bredt (Fig. 2); - sezioni ottenute dall’assemblaggio di sezioni sottili biconnesse con rettangoli allungati (Fig. 3), di cui si forniranno esempi applicativi nel seguito. T

T

T

T

Figura 1

T

T

Figura 2

T

T

Figura 3

Brevemente il tutto può essere così riassunto. Sezioni sottili aperte: sono composte da uno o più rettangoli allungati; il momento torcente genera tensioni tangenziali sempre parallele alla linea media, aventi andamento lineare lungo la generica corda, con pendenza tgα=2Gθ’ e punto di nullo sulla linea media stessa. Il momento sollecitante T viene assorbito da ciascuno dei rettangoli (componenti la sezione) in misura proporzionale alla propria rigidezza torsionale (GI*)i. La rigidezza torsionale (GI*)i dell’i-mo rettangolo è: 3 Gb i t i (1) G I* i = 3 per cui l’angolo specifico di torsione θ’i è (Ti è l’aliquota di momento assorbita dal rettangolo i-mo): Ti 3T θ'i = = (2) * G I i Gbi t 3i

( )

( )

La pendenza del diagramma delle τz,i è, allora, tg αi =2G θ'i per cui la legge lineare delle τz,i agenti sulla generica corda del rettangolo i-mo è τ z, i = 2Gθ'i ⋅d l.m., i , con dl.m.,i distanza del generico punto

della corda dalla linea media del rettangolo.

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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Sezioni sottili biconnesse o alla Bredt: le tensioni tangenziali da torsione τz sono di valore costante su ciascuna corda. Tale valore è inversamente proporzionale alla dimensione δ della corda, secondo la prima formula di Bredt (Am area racchiusa dalla linea media della sezione): T τz = (3) 2A m δ Dalla (3) consegue: T = cos t 2A m

τzδ =

(3’)

che indica il fatto che in una sezione alla Bredt è costante il prodotto della tensione agente in un punto per la lunghezze della corda cui appartiene. Ha come immediata conseguenza che le τz avranno valore massimo ove lo spessore è minimo, valore minimo ove lo spessore è massimo. La rigidezza torsionale GI* di una sezione alla Bredt si calcola con la seconda formula di Bredt: 4GA 2m * GI = ds (4) ∫ δ(s)

Sezioni assemblaggio di parti sottili biconnesse e rettangoli allungati: il momento torcente T viene assorbito da ciascuna sezione alla Bredt e ciascun rettangolo con un’aliquota proporzionale alla propria rigidezza torsionale. Detta Ti la porzione di momento esterno assorbito dall’i-mo elemento (sezione alla Bredt o rettangolo allungato; sia ‘n’ il numero totale di elementi idealmente componenti la sezione; GI* la rigidezza torsionale della sezione nel suo complesso) è:

(GI ) ∑ (GI ) i

n

(GI ) T = η T *

*

Ti =

T=

*

i

GI

*

i

(5)

j

j =1

ove ηi è detto coefficiente di ripartizione relativo alla porzione i-ma della sezione esaminata. È ovvio che sia 0< ηi ≤1 e Σηi =1. Nota l’aliquota di momento torcente sollecitante il generico elemento, il tracciamento delle tensioni tangenziali su di esso si effettua come per un singolo rettangolo allungato o per una singola sezione alla Bredt, a seconda dei casi, con le modalità riassunte nei due punti precedenti.

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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ESERCIZIO 1: sezione a L Si intendono tracciare i diagrammi delle tensioni tangenziali τz indotti dal momento torcente sollecitante (di valore noto T) sulla sezione a L di Fig. 4. La sezione ha dimensioni globali b, h e spessori δ1, δ2, piccoli rispetto a b, h. Può, pertanto, considerarsi una sezione sottile composta da due rettangoli allungati (ricadendo, così, nella prima delle tre tipologie elencate in precedenza).

T

2 δ2 h

G 1

δ1 b Figura 4

La rigidezza torsionale dei due rettangoli è: Gb δ31 G I* 1 = 3

( )

;

(G I ) *

2

=

Gh δ 32 3

per cui, quella della sezione vista nel suo complesso è: G G I * = G I * 1 + G I* 2 = b δ31 + h δ32 3

( ) ( )

(

(6)

)

(7)

L’aliquota di momento torcente assorbita da ciascuno dei due rettangoli è, pertanto, immediatamente valutabile con la nota “formula di ripartizione” (la forma (5) ne costituisce l’espressione di validità generale):

(GI ) T = η T = *

T1 =

1

GI

*

1

b δ 31 T + h δ 23

b δ 31

;

(GI ) GI

*

2

T = η2 T =

( )

(

(8)

b δ31

L’angolo specifico di torsione è, per definizione: T T1 T2 3T θ' = = θ'1 = = θ'2 = = * * 3 * GI GI 1 G I 2 G b δ1 + h δ32

( )

h δ 32 T + h δ32

*

T2 =

)

(9)

La pendenza del diagramma delle τz su entrambi i rettangoli (si dirà τz,1 sul rettangolo 1, τz,2 sul 2) è, allora: 6T tg α = 2Gθ' = 3 (10) b δ 1 + h δ32

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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Per cui le leggi delle tensioni τz,1 e τz,2 agenti sui due rettangoli sono: 6T 6T τ z,1 = ; τ z,2 = 3 ⋅ d l.m.,1 ⋅ dl.m.,2 3 3 b δ1 + h δ2 b δ1 + h δ32 ed i rispettivi valori massimi sono: δ 6T τ z,1 max = ⋅ 1 3 3 b δ 1 + h δ2 2

;

τ z, 2 max =

6T b δ13

+h

δ32

⋅

(11)

δ2 2

(12)

Come noto a priori, visto che è δ1 >δ2 (Fig. 4), risulta τz,1max > τz,2max e, dunque, il valore massimo di tensione tangenziale τz max agente nell’intera sezione a L risulta essere: δ1 6T τz max = τz,1 max = 3 ⋅ (13) b δ1 + h δ32 2

δ2 2

T

α h τz, 2 max

G α

1

δ1

τz,1 max b Figura 5

N.B. Si osserva che, quando una sezione è composta da più rettangoli allungati, la massima tensione tangenziale da torsione si verifica sempre ai lembi del rettangolo più spesso.

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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L’allievo verifichi che, assumendo i dati: G=78400 MPa (acciaio) b=80 mm h=140 mm δ1=15 mm δ2=10 mm T=15 kNm risulta:

GI*1=7 056 Nm2 GI*2=3 659 Nm2 GI*=10 715 Nm2 η1=0,66 (coefficiente di ripartizione del rettangolo 1) η2=0,34 (coefficiente di ripartizione del rettangolo 2) T1=9.88 kNm T2=5.12 kNm τz,1max = 1646 N/mm2 = τz max τz,2max = 1098 N/mm2

Al fatto che la pendenza tgα dei diagrammi delle τz sia uguale per i due rettangoli consegue che la τz massima su ciascun rettangolo sia proporzionale allo spessore dello stesso. Nel caso numerico in esame, pertanto, l’allievo verifichi che risulti: τz ,1max δ1

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

=

τ z , 2 max δ2

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ESERCIZIO 2: sezione rettangolare cava Si consideri la sezione in Fig. 6. Gli spessori δ1, δ2, δ3 e δ4 siano piccoli rispetto alle dimensioni globali b e h della sezione. Quest’ultima può, pertanto, definirsi biconnessa sottile ovvero una sezione alla Bredt.

s

1

1

T

δ2 h

2

4

δ4 3

δ3

b Figura 6

Il calcolo delle tensioni tangenziali indotte in ciascun punto della sezione dal momento torcente agente T è particolarmente semplice, se si ricorda la prima formula di Bredt (3): T τz = (3) 2A m δ L’area Am racchiusa dalla linea media è evidentemente pari a: A m = bh

(14)

Dunque, nella (3), l’unico termine variabile con il punto considerato è lo spessore δ, pari a δ1 se il punto appartiene al rettangolo 1, δ2 se appartiene al rettangolo 2, e così via. Detta τzi (i=1, 2 ,3, 4) la tensione tangenziale, di valore uniforme, agente in tutti i punti del rettangolo i-mo, risulta, pertanto: T T T T ; τz 4 = ; τz3 = τz1 = ; τ z2 = (15) 2bh ⋅ δ4 2bh ⋅ δ 3 2bh ⋅ δ2 2bh ⋅ δ1 e si osserva che l’entità delle tensioni tangenziali su una generica corda è proporzionale allo spessore della corda e, dunque, del rettangolo cui la stessa appartiene. Se il minore dei quattro spessori è δ3 (Fig. 7), il massimo valore τz max agente nell’intera sezione è: T τz max = τz3 = (16) 2bh ⋅ δ3

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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s

δ1 τz1

δ2

τz4

T

h δ4

τz2 τz3 δ3

b Figura 7

A titolo esercitativo, si calcoli anche la rigidezza torsionale della sezione con la seconda formula di Bredt (4): 4GA 2m GI* = (4) ds ∫ δ(s ) essendo, al denominatore ds ds ds ds ds b h b h (17) ∫ δ(s) = ∫ δ( s) + ∫ δ(s ) + ∫ δ (s ) + ∫ δ(s) = δ + δ + δ + δ 1 2 3 4 Re tt .1 Re tt .2 Re tt .3 Re tt. 4 Dunque, dalla (4): 4Gb 2 h 2 GI = b h b h + + + δ1 δ 2 δ3 δ4 *

L’allievo verifichi che, assumendo i dati: G=78400 MPa (acciaio) b=80 mm h=140 mm δ1=10 mm δ2=7 mm risulta δ3=5 mm δ4=12 mm T=15 kNm

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

(18)

τz1 = 67 N/mm2 τz2 = 96 N/mm2 τz3 = 134 N/mm2= τz max τz4 = 56 N/mm2 GI*=706 670 Nm2

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ESERCIZIO 3: sezione rettangolare cava con appendice rettangolare Si consideri la sezione in Fig. 8. Può ritenersi composta da una sezione rettangolare cava sottile (spessori δ1, δ2, δ3 e δ4 piccoli rispetto alle dimensioni b e h) ed un rettangolo allungato, di spessore δ5 e lunghezza a (a>>δ5). La sezione è sollecitata da un momento torcente T. Si richiede il tracciamento dei diagrammi delle tensioni tangenziali innescate da detta torsione in ciascun punto.

δ5

δ1 5

1

δ2

T

h

2

4

δ4 3

δ3

a

b Figura 8

La prima operazione da condurre è la ripartizione del momento torcente T nelle due aliquote TB e TR assorbite rispettivamente dalla sezione chiusa alla Bredt (B) e dal rettangolo allungato (R) che fa da appendice. Detta ripartizione viene eseguita, come noto, sempre attraverso la (5) ovvero in misura proporzionale alla rigidezza torsionale delle singole parti componenti la sezione. La rigidezza torsionale (GI*)B della sezione alla Bredt in Fig. 8, idealmente composta dai rettangoli 1, 2, 3, 4 è stata valutata nell’esercizio precedente (v. eq. (18) come: 4Gb 2h 2 * GI B = (19) b h b h + + + δ1 δ2 δ3 δ4

( )

La rigidezza torsionale (GI*)R del rettangolo è, invece: Ga δ 35 G I* R = 3

( )

(20)

per cui la rigidezza complessiva della sezione è: *

( ) + (G I )

G I = GI

*

B

*

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

R

4Gb 2 h 2 Ga δ 35 = + b h b h 3 + + + δ 1 δ 2 δ3 δ 4

(21)

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Dunque la ripartizione del momento torcente avviene nel seguente modo: GI* B GI * R T T = TB = T ; R GI * GI *

( )

( )

(22)

L’angolo specifico di torsione è, secondo definizione: T TB TR θ' = = θ'B = = θ' R = * * G I* R GI GI B

( )

( )

(23)

Detta τzi (i=1, 2 ,3, 4) la tensione tangenziale, di valore uniforme, agente in tutti i punti del rettangolo i-mo della sezione alla Bredt, risulta: TB TB TB TB ; τz 4 = ; τz3 = τz1 = ; τ z2 = (24) 2bh ⋅ δ4 2bh ⋅ δ 3 2bh ⋅ δ2 2bh ⋅ δ1 È noto, invece, che le tensioni tangenziali indotte dal momento TR sul rettangolo allungato 5 hanno un andamento lineare su ciascuna corda con pendenza pari a: tgα = 2Gθ ' (25) con θ’ calcolato nella (23). La legge di variazione delle tensioni τz5 sulla generica corda del rettangolo 5 è, pertanto: τ z5 = 2Gθ'⋅d l.m.,5 (26) con valore massimo, agli estremi della stessa, di valore: τz5 max = 2G θ' ⋅

δ5 2

(27)

Il diagramma delle tensioni assume l’aspetto raffigurato in Fig. 9.

δ1

τz5 m ax

τz1

δ2

δ5

α

τz4

T

h δ4

τz2 τz3 δ3

b

a Figura 9

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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L’allievo verifichi che, assumendo i dati: T=15 kNm G=78400 MPa (acciaio) b=80 mm h=140 mm a=100 mm δ1=10 mm δ2=7 mm δ3=5 mm δ4=12 mm δ5=10 mm risulta:

(GI*)B=706 670 Nm2 (GI*)R=2 613 Nm2 GI*=709 284 Nm2 (coefficiente di ripartizione della porzione di sezione alla Bredt) ηB=0,996 ηR=0,004 (coefficiente di ripartizione del rettangolo 5) TB=14,94 kNm TR=0,06 kNm θ’= θ’B= θ’R=0,0211 rad/m τz1 = 67 N/mm2 τz2 = 95 N/mm2 τz3 = 133 N/mm2 = τz max τz4 = 56 N/mm2 τz5 max = 17 N/mm2

Se si confrontano i valori delle tensioni agenti nei punti della sezione alla Bredt nel caso in esame con quelli relativi all’esercizio precedente, ci si accorge che sono pressoché identici. A rigore, in realtà, occorre dire che sono leggermente inferiori, se si confrontano le cifre decimali. Tale risultato è subito spiegabile se si guardano i valori di rigidezza torsionale (GI*)B e (GI*)R delle due parti componenti la sezione in esame e si osserva che, nella somma GI*, il contributo dato dal rettangolo allungato è praticamente trascurabile rispetto a quello dato dalla porzione di sezione alla Bredt: quest’ultima assorbe il 99,6% (ηB) del momento T sollecitante.

(Appunti del corso a cura dell’Ing. N. Caterino)

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