Appunti, Fotogrammetria PDF

Title Appunti, Fotogrammetria
Course Fondamenti e applicazioni di topografia e cartografia
Institution Università degli Studi di Firenze
Pages 17
File Size 944.7 KB
File Type PDF
Total Downloads 46
Total Views 136

Summary

Download Appunti, Fotogrammetria PDF


Description

Fotogrammetria Scopo della fotogrammetria è la determinazione delle posizioni di punti nello spazio fisico a partire dalla misura delle posizioni dei punti corrispondenti su un’immagine fotografica. Ovviamente, affinché questo sia possibile, è necessario che siano note in modo preciso le relazioni geometriche fra le posizioni spaziali dei punti dell’oggetto rappresentato e quelle delle loro immagini sul piano della fotografia. In generale, la descrizione di queste corrispondenze non è semplice e richiede una conoscenza dettagliata del cammino ottico dei raggi luminosi attraverso il sistema i lenti che costituisce l’obiettivo della macchina fotografica. Tuttavia è possibile adottare, con buona approssimazione, una schematizzazione, in base alla quale si può affermare che i segmenti che congiungono i punti dell’oggetto rappresentato con le loro immagini si incontrano tutti in un punto, generalmente distante qualche cm dal piano della fotografia, detto centro di presa (fig.1). La distanza del centro di presa dal piano dell’immagine è detta distanza principale, e dipende dalla configurazione dell’obiettivo; pertanto, essa si mantiene fissa finché l’assetto del sistema di lenti non viene modificato. Negli apparecchi fotografici usati per fotogrammetria, quindi, operazioni come la messa a fuoco, che comportano un movimento relativo delle lenti, in generale non possono essere eseguite, o richiedono in ogni caso un controllo rigoroso.

A C’ B’ A’

distanza principale

B

O centro di presa

C fig.1 – Geometria della presa fotogrammetrica

Il rapporto fra la distanza principale p e la distanza dell'oggetto dal centro di presa fornisce la scala dell'immagine. Ad esempio, con riferimento a fotografie aeree di una porzione di territorio, posto p=15cm (che è un valore tipico per gli apparecchi fotografici in uso), una quota di volo di 450m corrisponde a una scala di 1:3000, una quota di 900m a una scala di 1:6000, una quota di 1800m a una scala di 1:12000, e così via. Per poter eseguire misure di posizione sull’immagine, è necessario che sul suo piano sia definito un sistema di assi cartesiani, che in generale è visualizzato da un insieme di marche impresse sui bordi dell’immagine (fig.2) . Idealmente, l’obiettivo dovrebbe essere costruito in modo che la perpendicolare condotta dal centro di presa al piano dell’immagine cada esattamente nell’origine delle coordinate. Generalmente questo non avviene in modo esatto: la proiezione del centro di presa sul piano dell’immagine dista alcuni µm (micron, ossia millesimi di millimetro) dall’origine. Tuttavia le sue coordinate x e y possono essere misurate esattamente e dichiarate dalla casa costruttrice insieme con la distanza principale. Questi 3 numeri sono detti parametri di orientamento interno.

y

x

marche

O’ proiezione ortogonale del d centro di presa

fig.2 – Orientamento interno

Inoltre, per le caratteristiche ottiche dell’obiettivo, la posizione dei punti sull’immagine si discosta leggermente (anche in questo caso di alcuni micron) da quella prevista in base allo schema geometrico sopra descritto. Sono cioè presenti delle deformazioni ottiche. Anche queste, tuttavia, si mantengono fisse per una data configurazione dell’obiettivo, e possono essere misurate, modellizzate e dichiarate dalla casa costruttrice. In genere la parte prevalente di queste deformazioni è radiale (ossia, dipende solo dalla distanza dall’origine) ed è ben descritta da un polinomio: δ r = k1 r 3 + k 2 r 5 con k1 >> k 2 . Questi coefficienti, insieme con i parametri di orientamento interno, sono inseriti nel certificato di calibrazione. Con l’uso dell’apparecchio queste quantità possono subire lievi variazioni nel tempo, ed è quindi consigliabile ricalibrare periodicamente l’apparecchio. Per eseguire un rilievo fotogrammetrico è quindi in linea di massima necessario disporre di apparecchi speciali (camere metriche o semimetriche) molto più costosi di quelli reperibili sul mercato a scopo amatoriale, che non offrono la possibilità di controllare in modo rigoroso la geometria della presa. Immagini digitali Negli ultimi anni hanno avuto grande diffusione, anche per scopi fotogrammetrici, apparecchi fotografici digitali. Come è noto, le immagini memorizzate per l'elaborazione informatica sono discretizzate, ossia suddivise in un reticolo regolare di piccole aree (pixel, che significa picture elements), a ciascuna delle quali viene attribuito un tono di grigio (per le immagini in bianco e nero) secondo una scala, anch'essa discretizzata, che, nelle applicazioni più comuni, contiene 28 = 256 livelli. Ogni pixel occupa quindi in memoria 8bit=1byte. Le immagini a colori risultano dalla composizione di un certo numero (ad esempio 3) di colori fondamentali, per ciascuno dei quali si ha una scala di 256 livelli. In questo caso, i livelli di colore sono 2 24, ossia circa 16 milioni. Tipicamente un’immagine fotografica digitale contiene alcuni milioni di pixel. Per fare un esempio numerico, si consideri un’immagine con 2000 × 2600 = 5200000 pixel. Se quest’immagine è rappresentata in un formato 10 × 13 cm, ogni mm lineare contiene 20 pixel, e quindi ogni pixel misura 50 µm . Spesso la risoluzione di un’immagine viene misurata in dpi (dots per inch, ossia punti per pollice lineare); poiché un pollice corrisponde a circa 25.4mm, nell’esempio visto sopra la risoluzione è 25.4 × 20 = 508 dpi.

Nella memoria del computer l’immagine si configura come una matrice numerica le cui righe e colonne corrispondono alle righe e colonne di pixel e i cui valori numerici rappresentano i toni di grigio o di colore. L’occupazione di memoria è 1byte per pixel; quindi nell’esempio visto sono 5200000 byte ≅ 4.96 Mbyte (1Mbyte= 220 byte). Tuttavia, è possibile eseguire una compressione di immagine, che comporta in generale una significativa riduzione della memoria occupata. La compressione consiste in un modo diverso di organizzare l’informazione sui toni di colore contenuti nell’immagine, che, anziché indicare i toni di colore pixel per pixel, utilizza opportune funzioni che descrivono le variazioni dei toni di colore sulla superficie dell’immagine, sfruttando il fatto che vaste zone dell’immagine spesso sono occupate da pixel il cui tono di colore è rappresentato da numeri che variano lentamente (ad esempio, porzioni di cielo). Questo fa sì che in genere foto con una distribuzione uniforme di colori occupino meno memoria di foto con forti contrasti. L’utilizzo di questo sistema di memorizzazione richiede in generale una lieve modifica dei toni di colore, che però, se si usa una compressione ad alta qualità, risulta pressoché impercettibile all’occhio. Raddrizzamento Poiché l’immagine è piana (quindi 2-dim.), mentre l’oggetto riprodotto è 3-dim., non è possibile, in base alla geometria della presa, determinare in modo univoco la posizione dei punti dell’oggetto dalle misure della posizione dei punti corrispondenti su una singola immagine. Infatti, una volta individuata la retta congiungente un punto dell’immagine con il centro di presa, pur sapendo che il punto corrispondente sull’oggetto deve stare su questa retta, l’immagine non fornisce alcuna ulteriore informazione sulla distanza dal centro di presa a cui questo punto si trova. Tuttavia, se anche l’oggetto è piano (ad esempio la facciata di un edificio, ignorando tutti gli aggetti e le rientranze presenti, la cui profondità è spesso piccola rispetto alle dimensioni della facciata), è possibile, analizzando le deformazioni prospettiche, ricostruire l’orientazione relativa del piano dell’oggetto rispetto al piano dell’immagine, e quindi, utilizzando anche un piccolo numero di misure eseguite direttamente sull’oggetto, stabilire precise relazioni fra le posizioni dei punti sull’immagine e quelle dei punti corrispondenti sull’oggetto. A causa delle deformazioni prospettiche, dovute al fatto che i piani dell’oggetto e dell’immagine non sono paralleli, fasci di rette parallele sull’oggetto vengono trasformati sull’immagine in fasci di rette che si incontrano tutte in un unico punto, detto punto di fuga. Se si considera ad esempio una facciata rettangolare, e se si assume che la perpendicolare al piano dell’immagine sia inclinata sia rispetto ad un piano orizzontale sia lateralmente, i fasci di rette parallele agli spigoli verticali e a quelli orizzontali della facciata vengono entrambi trasformati in fasci di rette convergenti in due punti di fuga (fig.3). Introducendo un sistema di assi xy sull’immagine e un sistema di assi XY sull’oggetto (quest’ultimo generalmente scelto in modo che l’asse X sia orizzontale e l’asse Y verticale), l’espressione matematica della trasformazione (detta trasformazione omografica) è ax + by + c px + qy +1 a ' x + b' y + c' Y = px + qy + 1 X=

(1)

Si verifica che la trasformazione inversa, che esprime le coordinate sull’immagine in funzione di quelle sull’oggetto ha un’espressione simile:

mX + nY + k rX + sY + 1 m' X + n' Y + k ' y= rX + sY + 1 x=

(2)

fig.3 – Deformazioni prospettiche La trasformazione dipende da 8 parametri (nella (1), a , b , c, a ' , b' , c' , p, q ). Poiché questi parametri dipendono dall’orientazione del piano dell’immagine rispetto al piano dell’oggetto, oltre che dai parametri di orientamento interno, il loro valore è diverso da foto a foto, e va quindi determinato per ogni immagine. A tale scopo, è necessario che nella (1) i parametri siano le uniche incognite, e quindi per alcuni punti devono essere note non soltanto le coordinate x,y sull’immagine, ma anche le coordinate X,Y dei corrispondenti punti sull’oggetto. Più precisamente, dato che i parametri da determinare sono 8, è necessario scrivere 8 equazioni. Poiché per ogni punto si possono scrivere le 2 equazioni di (1), bisogna considerare 4 punti di cui devono essere note sia le coordinate sull’immagine sia le coordinate sull’oggetto. Si noti che le equazioni (1) sono lineari nei parametri: ad esempio, la prima si può scrivere xXp + yXq − xa − yb − c = − X . Per poter conoscere le coordinate sull’oggetto è necessario eseguire misure topografiche. I punti di coordinate note sull’oggetto sono detti punti d’appoggio. Una volta calcolati i valori dei parametri, è possibile utilizzare la (1) per calcolare le coordinate X,Y di qualsiasi punto sull’oggetto diverso dai punti d’appoggio dopo aver misurato le sue coordinate x,y sull’immagine. Naturalmente eventuali errori nella misura delle coordinate sull’immagine e sull’oggetto si ripercuotono sui valori calcolati dei parametri, e quindi sulle coordinate sull’oggetto dei punti diversi dai punti d’appoggio. Poiché in generale il sistema di equazioni ammette un’unica soluzione, non c’è modo di accorgersi degli errori di misura commessi. Se invece si misura un numero ridondante (maggiore di 4) di punti d’appoggio, si può scrivere un numero di equazioni più grande del numero di parametri. In generale queste equazioni risultano incompatibili a causa della presenza degli errori di misura, distribuiti casualmente. Questo significa che in generale non esiste una soluzione esatta, e ci si deve accontentare di una soluzione approssimata, determinata, come si vedrà in seguito, con il metodo dei minimi quadrati; l’entità degli scarti presenti nelle diverse equazioni riflette in qualche modo l’entità degli errori commessi. Il prodotto finale del raddrizzamento (fig.4) è una nuova immagine i cui punti sono ottenuti da quelli dell’immagine originaria eseguendo una trasformazione omografica con i parametri calcolati,

e che quindi rappresenta correttamente l’oggetto in scala. Bisogna però tenere presente che, se l’immagine è digitale, il trasformato di un pixel, che è di forma quadrata o tutt’al più rettangolare, non è in generale un pixel: infatti un rettangolo si trasforma in un quadrilatero i cui lati non sono paralleli. E' quindi necessario definire con un opportuno algoritmo il tono di grigio da attribuire a ciascun pixel dell'immagine trasformata. Ad esempio, si può attribuire a ciascun pixel il tono di grigio del pixel dell'immagine originaria a cui appartiene il punto il cui trasformato è il suo punto centrale, oppure, considerati tutti i pixel contenenti punti i cui trasformati appartengono ad un dato pixel dell'immagine raddrizzata, attribuire a quest'ultimo il valore medio dei loro toni di grigio. Queste procedure, che sono classificate fra le procedure di ricampionamento, modificano qualitativamente l'immagine e possono anche portare a un suo deterioramento.

fig.4 – presa inclinata e raddrizzamento Il raddrizzamento può essere eseguito direttamente sull'immagine anche se non si dispone di posizioni di punti sull'oggetto; in tal caso, per ottenere unicità della soluzione, occorre imporre 8 vincoli direttamente sull’immagine. Per ottenere questo risultato si può individuare la posizione sull'immagine dei due punti di fuga (2 coordinate per ciascuno di essi, ossia 4 condizioni), ricavabili come punti di incontro di linee ben individuabili sull'immagine e corrispondenti sull'oggetto a segmenti di rette parallele agli assi del sistema di coordinate, e inoltre un punto che rimane fisso (2 condizioni), e un fattore di scala per ciascuno dei due assi (2 condizioni). Questa operazione viene eseguita automaticamente da molti programmi di trattamento di immagini digitali. Tuttavia, dato che è necessario introdurre due distinti fattori di scala nelle direzioni dei due assi, in generale l'immagine risultante non dà una rappresentazione fedele dell'oggetto, a meno che il rapporto fra i

due fattori di scala non sia derivato da un'informazione ricavata direttamente da misure sull'oggetto stesso. Ricostruzione stereoscopica del modello 3D Si è già osservato che un’immagine 2D non fornisce informazioni sufficienti per la ricostruzione tridimensionale di un oggetto. Queste informazioni possono essere ottenute se si dispone di 2 immagini che riproducono l’oggetto osservato da 2 punti di vista differenti (fig.5). E’ facile capire che, se sono note le posizioni dei 2 centri di presa e le orientazioni delle 2 immagini al momento dello scatto, la posizione di un punto sull’oggetto è univocamente determinata dalle posizioni dei punti che lo rappresentano sulle immagini (detti punti omologhi); infatti il punto sull’oggetto è il punto di incontro delle 2 rette che congiungono i 2 punti omologhi con i centri di presa corrispondenti (fig.6). In generale, tuttavia, le informazioni sulle posizioni dei centri di presa e sull’orientazione delle immagini non sono disponibili. Soltanto in tempi recenti, in fotogrammetria aerea, sono state sviluppate delle tecniche che consentono, con l’uso di strumentazione GPS e di accelerometri a bordo dell’aereo, di ricostruire istante per istante posizione e orientazione del sensore fotografico. E’ però possibile ricavare queste informazioni dall’esame delle immagini fotografiche, con l’aggiunta della conoscenza delle posizioni di un piccolo numero di punti sull’oggetto, ricavata da misure topografiche. Date 2 immagini che rappresentano lo stesso oggetto, per individuare la loro posizione relativa all’istante dello scatto, occorre disporle in modo che, per ogni coppia di punti omologhi, le rette che li congiungono con i centri di presa corrispondenti si incontrino. Ovviamente, dato che le coppie di punti omologhi sono infinite (o in ogni caso, per un’immagine discretizzata, un numero molto elevato), è impossibile verificare che tutte soddisfino questa condizione; tuttavia, come si vedrà, è sufficiente fare la verifica per un piccolo numero di coppie. Questa operazione è detta orientamento fotogrammetrico. Una volta determinata la posizione e l’orientazione delle immagini, è possibile determinare la posizione 3D di un qualsiasi punto le cui rappresentazioni sulle immagini siano ben identificabili; si può così eseguire la restituzione stereoscopica del modello 3D. Bisogna però osservare che la condizione imposta di incontro delle rette congiungenti i punti omologhi con i corrispondenti centri di presa non definisce in modo univoco le posizioni delle 2 immagini e dell’oggetto. Innanzitutto, la configurazione dell’oggetto e delle immagini è invariante per roto-traslazioni, e quindi, come è ovvio, è necessario fissare una terna di assi ad essa solidale. Inoltre, una volta stabilita una configurazione, la condizione di incontro delle rette viene mantenuta se i centri di presa vengono spostati lungo la loro congiungente, mantenendo invariata l’orientazione delle immagini: infatti in questo caso le rette corrispondenti a ciascuna coppia di punti omologhi si mantengono sempre nello stesso piano (fig.7). Quindi, qualunque sia la posizione dei centri di presa lungo la retta congiungente, i punti di incontro delle rette uscenti da punti omologhi generano un modello 3D che è una rappresentazione dell’oggetto in una scala proporzionale alla distanza dai centri di presa.

A

B fig.5 – coppie stereoscopiche di fotogrammi A – architettonica B – aerea

La ricostruzione dell’oggetto può quindi essere descritta individuando due fasi distinte (tuttavia non necessariamente separate sul piano operativo, come si vedrà). La prima, detta orientamento relativo, consiste nell’introdurre una terna di assi arbitraria solidale alle immagini e una distanza arbitraria fra i 2 centri di presa, in modo da avere l’unicità della soluzione ottenuta imponendo l’incontro delle rette e costruire un modello 3D dell’oggetto in una posizione e in una scala arbitraria; la seconda, detta orientamento assoluto, consiste nel riportare il modello alla scala dell’oggetto e nell’eseguire una roto-traslazione dal sistema di assi fissato arbitrariamente ad un sistema solidale con l’oggetto.

fig.6 - schema di coppia stereoscopica

Per entrare più in dettaglio, si assuma, ad esempio, che il sistema di assi solidale alle immagini abbia l’origine nel centro di presa di una delle immagini, l’asse Z perpendicolare a questa immagine, con il verso positivo diretto dall’origine verso l’immagine, gli assi X e Y paralleli agli assi definiti dalle marche sull’immagine stessa. In questo modo, le coordinate X,Y,Z di un punto appartenente a questa immagine sono determinate in modo molto semplice: se x,y sono le coordinate del punto nel sistema di assi definito dalle marche, e se ξ ,η sono le coordinate in questo stesso sistema della proiezione ortogonale del centro di presa sull’immagine, si ha

X = x − ξ , Y = y −η , Z = p

(p=distanza principale).

(3)

Per quanto riguarda l’altra immagine, se si vogliono conoscere le coordinate di punti ad essa appartenenti nel sistema di assi XYZ, è necessario conoscere la posizione del suo centro di presa, definita dalle coordinate X,Y,Z, e la sua orientazione, descritta da 3 angoli: 2 per definire la direzione della retta ad essa perpendicolare (per esempio, l’angolo con l’asse Z e l’angolo della sua

proiezione sul piano XY con l’asse X), e 1 per individuare l’orientazione degli assi legati alle marche nel piano dell’immagine. Quindi complessivamente 6 parametri incogniti da determinare.

fig.7 - variazione di scala del modello

Bisogna però ricordare che, per risolvere in modo univoco il problema dell’orientamento relativo, occorre fissare la distanza fra i centri di presa. Di conseguenza, le coordinate X,Y,Z del centro di presa non sono fra di loro indipendenti, e possono essere tenuti come incogniti, ad esempio, soltanto i 2 angoli che definiscono l’orientazione della retta congiungente i centri di presa. Complessivamente, quindi, i parametri di orientamento che vanno considerati incogniti sono soltanto 5. Per determinare questi parametri devono essere imposte le condizioni di incontro delle rette congiungenti le coppie di punti omologhi con i corrispondenti centri di presa. Si scrivono quindi le equazioni di tali rette (dette equazioni di collinearità), che sono della forma X 1 − X 0 Y1 − Y0 Z − Z0 = = 1 X 2 − X 0 Y 2 − Y0 Z 2 − Z 0

(4)

dove X 0 , Y0 , Z 0 sono le coordinate del centro di presa, X 1 , Y1 , Z 1 le coordinate del punto sull’immagine, X 2 , Y2 , Z 2 le coordinate del punto sull’oggetto. Per ...


Similar Free PDFs