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Università degli studi di Pisa Dipartimento d’Ingegneria Civile Industriale (DICI) Corso di Scienza delle Costruzioni

Appunti del corso Anno Accademico 2013/2014

Meccanica del continuo

Studente

Edoardo

Indice 1 Deformazioni 1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spostamento, deformazione, gradiente di deformazione . . . . 1.3 Misure di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Dilatazione Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Scorrimento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Variazione Volumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Tensore destro di deformazione finita di Cauchy - Lagrange . . 1.5 Deformazioni piccole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Dilatazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Scorrimento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Variazione volumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Deformazioni e direzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dipendenza di E dal sistema di riferimento . . . . . . . . . . . 1.8 Componenti di deformazioni in coordinate cilindriche e polari .

6 6 6 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 15 15

2 Problema Elastico Lineare 2.1 Legami costitutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Materiali Elastici Lineari . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Relazioni di Hooke dell’elasticità lineare isotropa . 2.4 Potenziale elastico lineare isotropo . . . . . . . . 2.5 Elasticità Lineare non isotropa . . . . . . . . . . . 2.6 Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . 2.7 Equazioni del Problema dell’ equilibrio elastico . . 2.7.1 Equazioni di Navier - Cauchy . . . . . . . 2.8 Problema elastico piano nella tensione . . . . . . 2.8.1 Coordinate Polari . . . . . . . . . . . . . .

16 16 18 21 24 26 27 33 34 37 37

. . . . . . . . . .

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3 Teoremi sulla Deformazione 45 3.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Energia di Deformazione elastica . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2

INDICE 3.3 Principi e Teoremi 3.3.1 Teorema di 3.3.2 Teorema di 3.3.3 Teorema di

3 per le strutture linearmente elastiche . Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . Betti - Maxwell . . . . . . . . . . . .

4 Il Problema di De Saint - Venant 4.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Condizioni di vincolo e di carico . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Formulazione matematica del problema . . . . . . . . . . 4.5.1 Ipotesi del de Saint Venant sullo stato di tensione 4.6 Postulato di de Saint - Venant . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Relazione fra stato di tensione e caratteristiche della sollecitazioni . . . . . . . . . . . . 5 Soluzione del Problema di de Saint - Venant 5.1 Equazioni di Beltrami - Michell . . . . . . . . . . 5.2 Soluzione Generale nelle tensioni Normali . . . . . 5.2.1 Formula di Navier per le tensioni normali . 5.3 Soluzione nelle tensioni tangenziali . . . . . . . . 5.3.1 Riduzione alle sollecitazioni semplici . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

48 49 52 52

. . . . . . .

54 54 56 57 57 58 58 60

. . . 61 . . . . .

62 62 63 63 66 66

6 Sforzo Normale o assiale 6.1 Stato di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Stato di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Energia di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 67 69

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 Torsione 70 7.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Torsione nella trave a sezione circolare . . . . . . . . . . . . . 71 7.3 Torsione nella trave di sezione generica (semplicemente connessa) 76 7.4 Analogia Idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.5 Torsione nelle travi di parete sottili a sezione chiusa . . . . . . 81 7.6 Torsione in travi si sezione rettangolare sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.7 Torsione nelle travi di parete sottile aperta . . . . . . . . . . . 85 8 Flessione retta e deviata 86 8.1 Flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.2 Stato di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4

INDICE 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10

Stato di deformazione . . Campo di spostamento . Energia deformazione . . Flessione deviata . . . . Stato di sforzo . . . . . . Stato di deformazione . . Campo di spostamento . Energia di deformazione

. . . . . . . .

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. . . . . . . .

87 88 91 92 93 93 93 94

9 Sforzo normale eccentrico 9.1 Stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Stato di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Energia di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 98 99

10 Flessione e Taglio 100 10.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2 Tensione tangenziale media su una corda: Formula di Jourawsky101 10.3 Stato di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.4 Energia di deformazione e fattore di taglio . . . . . . . . . . . 104 11 Flessione composta a taglio e torsione: Centro di Taglio 108 11.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.2 Centro di Taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.3 Formula di Jourawsky in forma binomia . . . . . . . . . . . . 111 12 Geometria delle Masse 12.1 Baricentri e Momenti Statici . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Il baricentro di un sistema di masse . . . . . . 12.1.2 Il Momento Statico . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Proprietà del baricentro . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Le coordinate del baricentro . . . . . . . . . . 12.1.5 I sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Momenti di secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Il momento d’inerzia assiale . . . . . . . . . . 12.2.2 Il momento d’inerzia polare . . . . . . . . . . 12.2.3 Il momento centrifugo . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 I teoremi di trasposizione . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Momenti rispetto ad assi di direzione variabile 12.2.6 Assi principali d’inerzia . . . . . . . . . . . . . 12.2.7 Il centro relativo ad un asse . . . . . . . . . . 12.2.8 L’ellisse centrale d’inerzia . . . . . . . . . . .

112 . . . . . 112 . . . . . 112 . . . . . 113 . . . . . 113 . . . . . 114 . . . . . 114 . . . . . 115 . . . . . 115 . . . . . 116 . . . . . 117 . . . . . 117 . . . . . 118 . . . . . 119 . . . . . 120 . . . . . 122

INDICE

5 12.2.9 Le proprietà dell’ellisse cetrale d’inerzia . . . . . . . . . 123 12.2.10 La costruzione dell’ellisse centrale d’inerzia . . . . . . . 125

13 Crisi del Comportamento Elastico 126 13.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.2 Resistenza dei materiali da costruzioni . . . . . . . . . . . . . 127 13.2.1 Comportamento duttile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.2.2 Comportamento fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.3 Criteri di Crisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.4 Spazio di Haig - Westergaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 13.5 Criterio di resistenza di Galileo - Rankine . . . . . . . . . . . 133 13.6 Criterio di snervamento isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.7 Criterio di scorrimento di Coulomb, Mohr e Drucker - Prager . 138 14 Stabilità dell’equilibrio 140 14.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 14.2 Sistemi "articolati rigidi" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 14.2.1 Criteri di stabilità per sistemi ad un numero finito di gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.3 Sistemi elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.3.1 Sistemi ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . 142 14.3.2 Sistemi a due o più gradi di libertà . . . . . . . . . . . 143 14.4 Carico di punta delle travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 14.4.1 Limiti di validità della formula di Eulero e curve di stabilità per aste reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Capitolo 1 Deformazioni 1.1

Premessa

Il mezzo continuo rappresenta un modello matematico della materia la cui effettiva struttura, atomica o molecolare, è rappresentata mediante una distribuzione continua di punti materiali. La dimensione caratteristica dell’elementi di volume su cui si opera si suppone pertanto superiore di vari ordini di grandezza alle distanze atomiche e/o molecolari. I solidi, in particolare i materiali da costruzione, presentano inoltre, a una microscala opportuna osservabile con microscopi ottici ( nel caso della struttura a grani dei metalli ) o ad occhio nudo ( per esempio la distribuzione degli inerti e della pasta cementizia nei calcestruzzi o dei mattoni e dei corsi di malta nelle murature ), strutture eterogenee con proprietà meccaniche variabili con discontinuità e micro - cavità o micro - fratture. Un materiale di questo tipo può pertanto essere trattato come un mezzo continuo equivalente, omogeneo o con proprietà meccaniche variabili con continuità, solo a una scala con dimensione superiore o macrascala. Le usuali prove sperimentali, per esempio su provini cubici di calcestruzzo di lato 20 cm, consentono appunto di determinare queste proprietà medie equivalenti.

1.2

Spostamento, deformazione, gradiente di deformazione

Un corpo solido sottoposto all’azione dei carichi cambia di forma, ovvero assume configurazioni diverse. Come configurazione di riferimento C0 si considera una di esse, per esempio quella assunta dal corpo in assenza di carichi; i 6

1.2. SPOSTAMENTO, DEFORMAZIONE, GRADIENTE DI DEFORMAZIONE7 carichi e le azioni esterne fanno poi modificare la configurazione c0 in quella aggiornata, o attuale C ∗ . Le configurazioni C0 , C ∗ identificano gli insiemi di punti o posizioni, e sono insiemi connessi. Introduciamo un sistema di riferimento (O, x1 , x2 , x3 ) - ortogonale e destrorso - si indica per semplicità con P0 il generico punto materiale identificato in C0 dalla sua posizione rispetto all’origine. Si definisce deformazione la relazione che associa al punto P0 la posizione P∗ del punto materiale nella configurazione C ∗ . Indichiamo con il vettore x che collega l’origine del sistema di riferimento O con P0 , e indichiamo con il vettore x∗ che collega il sistema di riferimento O con P∗ : (1.1)

x∗ = xˆ(x)

Durante il processo di deformazione di un mezzo continuo non è consentita per ipotesi nè la separazione o frattura del corpo in più parti, nè che due porzioni prima distinte vadano ad occupare la stessa regione e quindi si compenetrino. Di conseguenza la legge di deformazione xˆ trasforma punti interni al corpo nella configurazione di riferimento C0 in punti interni C ∗ ; analogamente, punti appartenenti alla superficie esterna del corpo rimaranno sulla frontiera di esso. Per questi motivi che la funzione vettoriale xˆ deve essere continua ( di classe C 2 e differenziabile di classe C 2 ), sufficientemente regolare ed invertibile. La deformazione si pone nella forma: (1.2)

x∗ = xˆ(x) = x + u(x)

Definiamo a questo punto la matrice dei gradienti di deformazione F:

F=

 ∂ xˆ 1  ∂x1   ∂ xˆ 2   ∂x1   ∂x ˆ3 ∂x1

∂x ˆ2 ∂x1

∂x ˆ1 ∂x3

∂x ˆ2 ∂x2

∂x ˆ2 ∂x3

∂x ˆ3 ∂x2

∂x ˆ3 ∂x3

       



   =   

∂u1 ∂x2

∂u1 1 + ∂x 1 ∂u2 ∂x1

1+

∂u3 ∂x1

∂u2 ∂x2

∂u3 ∂x2

che è basata sulla matrice dei gradienti di spostamento

H=

 ∂u 1  ∂x1   ∂u 2   ∂x1   ∂u3 ∂x1

tramite la (1.3)

∂u1 ∂x2

∂u1 ∂x3

∂u2 ∂x2

∂u2 ∂x3

∂u3 ∂x2

∂u3 ∂x3

       

F = H + I =⇒ H = F − I

∂u1 ∂x3 ∂u2 ∂x3 ∂u3 1 + ∂x 3

       

8

CAPITOLO 1. DEFORMAZIONI

Differenziando l’equazione x∗ = x + u ottengo (1.4)

dx∗ = dx + du = 

   =   

dx1



   dx2    

dx3

 ∂u 1 dx 1 ∂x1    ∂u2 +  ∂x1 dx1  

∂u3 dx1 ∂x1

+

∂u1 dx2 ∂x2

+

+

∂u2 dx2 ∂x2

+

+

∂u3 dx2 ∂x2

+

∂u1 dx3 ∂x3



   ∂u2 dx3   ∂x3  

= F · dx

∂u3 dx3 ∂x3

Una deformazione si dice omogenea quando il tensore F è costante in tutti il solido. Nella relazione dx∗ = F · dx, F costituisce l’operatore algebrico che applica ogni vettore dx dello spazio dei vettori infinitesimi dell’intorno di origine x nei corrispondenti vettori dx∗ di arrivo. Rinviando ad approfondimenti matematici la nozione completa di tensore, è sufficiente in questa sede affermare che il termine tensore è utilizzato nel testo per definire un operatore algebrico lineare che trasforma uno spazio vettoriale V in un altro spazio vettoriale V ′ ; inoltre, le componenti di un tensore, al cambiare della base del riferimento, mutano così da rispettare proprietà di invarianza del vettore trasformato. Il gradiente di deformazione F è pertanto la matrice ( tensore ) che, applicata al generico segmento orientato dx = P1 − P0 , che esprime la distanza fra due punti nella configurazione di riferimento, lo trasforma nel corrispondente vettore dx∗ = P∗1 − P0∗, nella configurazione attuale. Conoscendo il campo di spostamento u = x∗ − x, lo differenziamo e quindi ottengo: (1.5)

du = dx∗ − dx =⇒ du = F · dx − dx = (F − I) · dx = H · dx

che permette di esprimere lo spostamento del generico punto P1 dell’intorno infinitesimo di P0 .

1.3 1.3.1

Misure di deformazione Dilatazione Lineare

Consideriamo nell’intorno di P0 appartenente a C0 una fibra di materiale lunga ds e nell’intorno di P ∗ appartenente a C ∗ la stessa fibra di materiale che si allungata e che identificheremo con una lunghezza ds∗ . (1.6)

dx = ds · n

dx∗ = ds∗ · n∗

1.3. MISURE DI DEFORMAZIONE

9

Sapendo che la deformazione εn (P ): (1.7)

εn (P ) =

ds∗ − ds ds

Scriviamo: (1.8) ds∗2 = dx∗ · dx∗ = (Fdx)t · (Fdx) = (Ft F)(dx · dx) = (Ft F)ds2 Ricaviamo ds∗ : (1.9)

q

ds∗ = ds Ft F

Sostituisco ds∗ nella formula di εn (P ): √ q ds Ft F − ds (1.10) = Ft F − 1 εn (P ) = ds

1.3.2

Scorrimento Angolare

Consideriamo nell’intorno di P0 appartenente a C0 due fibre di materiale lunghe alla stessa maniera ds che formano un angolo di π/2 e nell’intorno di P ∗ appartenente a C ∗ le stesse fibre lunghe rispettivamente ds1∗ e ds∗2 che formano un angolo di ϑ∗ . (1.11)

dx1 = ds · n

(1.12)

dx1∗ = ds1∗ · n∗

Si calcola che:

dx2 = ds · m dx∗2 = ds2∗ · m∗

(1.13)

dx∗1 · dx2∗ = (Fdx1 )t · (Fdx2 ) = (Ft F)(dx1 · dx2 ) =

(1.14)

= ds2 (Ft F)(n · m)

Ora ricalcoliamo: (1.15) (1.16)

dx1∗ · dx∗2 = ds1∗ ds2∗(n · m) = ds∗1 ds2∗cos(ϑ∗ ) = = ds1∗ ds2∗sen

π





− ϑ∗ = ds∗1 ds2∗sen γnm

2 Uguagliamo le due espressioni trovate in precedenza: (1.17)

Quindi ricaviamo γnm : (1.18)



ds2 (Ft F)(n · m) = ds1∗ds∗2 sen γnm

γnm

(Ft F)(n · m) = arcsen (1 + εn )(1 + εm )



!



10

1.3.3

CAPITOLO 1. DEFORMAZIONI

Variazione Volumica

Consideriamo nell’intorno di P0 appartenente a C0 un cubetto infinitesimo dV0 e nell’intorno di P ∗ appartente a C ∗ lo stesso cubetto infinitesimo deformato dV ∗ . Quindi: (1.19)

1.4

ϑ(P ) =

dV ∗ − dV0 = det(F) − 1 dV0

Tensore destro di deformazione finita di Cauchy - Lagrange

Si vuole ora determinare la variazione della metrica quadratica dell’intorno di P0 dovuta alla deformazione, in termini relativi rispetto a quella originaria. Verranno inoltre indotti i coefficienti di variazione lineare, volumetrica e superficiale costituenti le principali misure della deformazione nelle tre dimensioni.Si consideri il vettore dx = P0 − P1 appartenente all’intorno di P0 , esso per la deformazione si trasforma nel vettore dx∗ = P1∗ − P ∗ a mezzo della dx∗ = Fdx. Siano ds e ds∗ le ampiezze di dx e dx∗ ottenibili rispettivamente da ds2 = dx · dx e ds∗2 = dx∗ · dx∗ . La metrica quadratica varia tra C0 e C ∗ a causa della deformazione, ed è valutabile tramite il passaggio al limite per ds → 0 della quantità:

(1.20)

ds∗2 − ds2 (dx∗ · dx∗ ) − (dx · dx) = dx · dx ds2 t (F F)(dx · dx) − (dx · dx) = dx · dx t = F F − I = (H + I)t (H + I) − I = (Ht + I)(H + I) − I = Ht H + Ht + H = 2D

dove D è chiamato tensore di deformazione finita di Cauchy - Lagrange. Il cambio delle dimensioni dei segmenti appartenenti all’intorno di P0 , primo carattere definitorio della deformazione, dipende dunque solo dalla loro direzione textbf n tramite il tensore D di deformazione finita di Cauchy Lagrange, simmetrico, definito: (1.21)

1 2D = Ft F − I =⇒ D = (Ft F − I) 2

1.5. DEFORMAZIONI PICCOLE

1.5

11

Deformazioni piccole

. Per gran parte delle ordinarie applicazioni tecniche nelle quali la deformazione del solido strutturale non ne modifica sensibilmente la geometria, si può fare l’ipotesi di piccole deformazioni, sotto la quale si conseguono importanti semplificazioni della teoria della deformazione. L’ipotesi di deformazioni "piccole" o "infinitesime" che si adottta qui risiede nell’imporre un maggiornate δ (positivo) e molto piccolo rispetto all’unità a tutte le componenti del gradiente di spostamento H.      ∂ui    ∂xj 

(1.22)

< δ + −1. In definitiva, il modulo di Poisson appartiene all’intervallo: (2.31)

−1 < ν <

1 2

Pur risultando in via teorica possibile, per la (31), valori negativi del modulo di contrazione trasversale, non sono noti materiali che presentino tale caratteristica. Le (28) e (29) possono essere invertite tramite risoluzione rispetto alle componenti di tensione, ottenendosi:

(2.32)

(2.33)

σ1 =

2G 1−2ν

σ2 =

2G 1−2ν

σ3 =

2G 1−2ν
<...