Appunti su formula di Hermite - Analisi matematica 1 a.a. 2016/2017 PDF

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Teresa Radice...

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1

Scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale il cui denominatore ha almeno uno zero con molteplicit` a maggiore di uno

Se f e g sono polinomi a coefficienti reali e se le radici dell’equazione g(x) = 0 non sono tutte semplici si pu`o dare alla funzione razionale f /g la seguente espressione, che trova applicazioni nel calcolo integrale. Supponiamo che il polinomio g(x) sia monico e che l’equazione g(x) = 0 abbia p soluzioni reali distinte tra loro α1 , ..., αp con molteplicit`a rispettivamente h1 , ..., hp e 2v soluzioni complesse distinte tra loro β1 ± iγ1 ,..., βv ± iγv con molteplicit`a k1 , ..., kv . Si ha che h1 + ... + hp + 2k1 + ... + 2kv = n dove n indica il grado del polinomio g(x). Possiamo scomporre g(x) nel seguente modo: g(x) = (x − α1 )h1 ... (x − αp )hp (x2 + p1 x + q1 )k1 ... (x2 + pv x + qv )kv , dove si `e posto pj = −2βj e qj = βj2 + γj2 per 1 6 j 6 v. Denotato con g ∗ (x) il polinomio che si ottiene da g(x) scalando di una unit`a gli esponenti dei fattori che compaiono in g(x), cio`e: g ∗ (x) = (x − α1 )h1 −1 ... (x − αp )hp −1 (x2 + p1 x + q1 )k1 −1 ... (x2 + pv x + qv )kv −1 , e posto m il grado di g ∗ (x) si pu`o dimostrare che : Teorema. Considerata la funzione razionale: f (x) g(x) con grado di f (x) minore di g(x), esistono n costanti A1 , ..., Ap , h1 , k1 , ... hv , k v , a0 , ..., am−1 , tali che:   p v X hj x + k j f (x) X Ai d a0 + a1 x + ... + am−1 xm−1 . (1.1) + + = g ∗ (x) g(x) x − αi j=1 x2 + pj x + qj dx i=1 La (1.1) prende il nome di formula di Hermite per la scomposizione in fratti semplici della (x) . funzione razionale fg(x) Dalla (1.1) e dalla linearit`a dell’integrale indefinito si ha che: Z

f (x) dx g(x)

p Z X

v

X Ai dx + x − αi j=1

hj x + k j dx + + p j x + qj i=1   a0 + a1 x + ... + am−1 xm−1 + . g ∗ (x) =

Z

Esempio 1. Calcolare il seguente integrale: Z 2x4 − x2 − x − 2 dx. x5 + x3 1

x2

Il polinomio g(x) = x5 + x3 = x3 (x2 + 1) ha uno zero reale α1 = 0 con molteplicit`a tre e due zeri complessi e coniugati semplici, quindi g ∗ (x) = x2 ed esistono cinque costanti A, h, k, a0 , a1 :   A hx + k d a0 + a1 x 2x4 − x2 − x − 2 = + 2 + = x5 + x3 x x +1 dx x2 A hx + k a1 x2 − (a0 + a1 x)2x = + = + 2 x4 x x +1 A hx + k −a1 x − 2a0 = + 2 = + x3 x x +1 Ax2 (x2 + 1) + (hx + k)x3 − (a1 x + 2a0 )(x2 + 1) = = x3 (x2 + 1) Ax4 + Ax2 + hx4 + kx3 − a1 x3 − a1 x − 2a0 x2 − 2a0 = = x3 (x2 + 1) (A + h)x4 + (k − a1 )x3 + (A − 2a0 )x2 − a1 x − 2a0 . = x3 (x2 + 1) Da cui per il principio di identit`a dei polinomi:  A+h= 2         k − a1 = 0      A − 2a0 = −1       −a1 = −1        −2a = −2. 0

Risolvendo il sistema si ottengono le seguente costanti:  A=1         h=1      k=1       a0 = 1        a1 = 1. Sussiste la seguente decomposizione:

1 x+1 d 2x4 − x2 − x − 2 + = + 2 x x + 1 dx x5 + x3

2



1+x x2



Integrando si ottiene: Z 2x4 − x2 − x − 2 dx x5 + x3

  Z Z 1 x+1 d 1+x dx + dx = = dx + x dx x2 x2 + 1 Z 1 2x + 2 1+x = log |x| + +c= dx + 2 x2 2 x +1 1 1+x = log |x| + log(x2 + 1) + arctgx + + c. x2 2 Z

Esempio 2. Calcolare il seguente integrale: Z 3 x + x2 + 3x + 1 dx. x(x2 + x + 1)2 Il polinomio g(x) = x(x2 + x + 1)2 ha uno zero reale α1 = 0 e due zeri complessi coniugati con molteplicit`a due, quindi g ∗ (x) = x2 + x + 1 ed esistono cinque costanti A, h, k, a0 , a1 tali che: x3 + x2 + 3x + 1 x(x2 + x + 1)2

  A hx + k d a0 + a1 x = + 2 + = x x + x + 1 dx x2 + x + 1 hx + k a1 (x2 + x + 1) − (a0 + a1 x)(2x + 1) A = + = + 2 (x2 + x + 1)2 x x +x+1 a1 x2 + a1 x + a1 − 2a0 x − 2a1 x2 − a0 − a1 x A hx + k + = + 2 = (x2 + x + 1)2 x x +x+1 A(x2 + x + 1)2 + (hx + k )x(x2 + x + 1) + x(−a1 x2 + a1 − 2a0 x − a0 ) = = x(x2 + x + 1)2 A(x4 + x2 + 1 + 2x3 + 2x + 2x2 ) + hx4 + hx3 + hx2 + kx3 + kx2 + kx + = x(x2 + x + 1)2 −a1 x3 + a1 x − 2a0 x2 − a0 x = + x(x2 + x + 1)2 (A + h)x4 + (2A + h + k − a1 )x3 + (3A + h + k − 2a0 )x2 + = x(x2 + x + 1) (2A + a1 + k − a0 )x + A . + x(x2 + x + 1)

Da cui per il principio di identit`a dei polinomi:  A+h= 0         2A + h + k − a1 = 1      3A + h + k − 2a0 = 1       a1 + k + 2A − a0 = 3        A = 1. 3

Risolvendo il sistema si ottengono le seguenti costanti:  A=1         h = −1      k=1       a0 = 1        a1 = 1. Sussiste la seguente decomposizione:

x3 + x2 + 3x + 1 1 −x + 1 d = + 2 + 2 2 x(x + x + 1) x x + x + 1 dx Integrando si ottiene: Z 3 x + x2 + 3x + 1 dx x(x2 + x + 1)2



 1+x . x2 + x + 1

  Z Z 1 −x + 1 d 1+x dx = = dx + dx + dx x2 + x + 1 x x2 + x + 1   Z Z Z 2x − 2 + 1 − 1 1 d 1+x 1 dx = dx − dx + = 2 dx x2 + x + 1 x x2 + x + 1 Z 1 1 3 1+x = log |x| − log(x2 + x + 1) + +c= dx + 2 2 x +x+1 2Z x +x+1 2 1+x 1 3 1  dx +  = log |x| − log(x2 + x + 1) + +c=  2 2 2 2 x + x + 1 3 2x+1 √ +1 4 3 Z

√ Z √ )dx D( 2x+1 1+x 1 3 3 2 + 2  +c= = log |x| − log(x + x + 1) + 2 2  x +x+1 2 2 2x+1 √ +1 3   √ 1+x 1 2x + 1 2 √ + 2 = log |x| − log(x + x + 1) + 3 arctg + c. 2 x +x+1 3

4...