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Apuntes asignatura Teomm...

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Apuntes de Teoría de Máquinas y Mecanismos Pablo Sevilla Escola Universtària Salesiana de Sarrià Octubre 2018

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Nota

Estos apuntes pueden obtenerse en formato pdf en la intranet de la asignatura Teoría de màquines i mecanismes: https://eussternet.euss.cat donde también se encuentra toda la información relativa al presente curso. Los apuntes no pretenden sustituir a ninguno de los excelentes textos que se citan en la bibliografía que se encuentran en la Biblioteca de la escuela a disposición de los alumnos y cuyo empleo como libros de consulta se aconseja encarecidamente. Con este objetivo, se citan a lo largo del texto secciones específicas de dichos manuales. La extensión de cada apartado no se corresponde exactamente con el contenido del curso; faltan ejemplos y algún tema adicional que se explicará durante las clases. También se han omitido algunas demostraciones matemáticas que pueden encontrarse en los textos de la bibliografía. Un curso de ingeniería necesita ineludiblemente de algunas herramientas matemáticas. Se ha añadido un capítulo especial denominado Complementos donde se introducen algunos de los conceptos necesarios de un modo informal. A medida que se hacen necesarios se hace referencia en el texto a dichos contenidos.

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ÍNDICE 1. Vectores 1.1.

Introducción .............................................................................. 7

1.2.

Magnitudes escalares y vectoriales .................................................. 7

1.3.

Tipos de vectores ........................................................................ 8

1.4.

Representación de vectores............................................................ 8

1.5.

Vector unitario ......................................................................... 10

1.6.

Operaciones con vectores ............................................................ 10

1.6.1. Suma de vectores ....................................................................................... 10 1.6.2. Igualdad de vectores (Cinemas) ..................................................... 11 1.6.3. Producto escalar (Proyecciones) .................................................... 12 1.6.4. Producto vectorial ..................................................................... 13

2. Fuerzas y momentos 2.1.

Introducción ............................................................................ 15

2.2.

Leyes de newton (1.4 Meriam Estática)............................................ 15

2.3.

Fuerzas (2.2 Meriam Estática)....................................................... 16

2.3.1. Línea de acción de una fuerza (principio de transmisibilidad)................... 16 2.3.2. Tipos de fuerzas ......................................................................................... 16 2.4.

Sistemas de fuerzas ................................................................... 17

2.4.1. Análisis de un sistema de fuerzas .............................................................. 17 2.5.

Momentos (2.4 Meriam Estática)................................................... 18

2.5.1. Momento de una fuerza respecto de un punto ......................................... 18 2.5.2. Momento de una fuerza respecto de un eje.............................................. 19 2.5.3. Dirección de un momento.......................................................................... 20 2.5.4. Teorema de Varignon................................................................................. 21 2.5.5. Par (2.5 Meriam Estática) ........................................................................... 21 2.6.

Sistema Fuerza-Par equivalente..................................................... 22

2.6.1. Casos particulares ..................................................................... 22

3. Equilibrio y DSL 3.1.

Introducción ............................................................................ 24

3

3.2.

Estática de un cuerpo rígido ......................................................... 24

3.3.

Diagrama de Sólido Libre (DSL) (3.2 Meriam Estática) .......................... 25

3.4.

Apoyos y ligaduras .................................................................... 27

3.4.1. Tipos de apoyos ........................................................................ 27 3.5.

Hiperestaticidad (3.3 Meriam Estática) ............................................ 28

3.5.1. Grado de hiperestaticidad.......................................................................... 29 3.6.

Equilibrio en 2 y 3 dimensiones (3.4 Meriam Estática) .......................... 29

4. Estructuras 4.1.

Introducción ............................................................................ 30

4.2.

Armaduras (4.2 Meriam Estática) .................................................. 30

4.2.1. Ejemplos de armaduras simples................................................................. 30 4.2.2. Cálculo de armaduras................................................................................. 31 4.2.2.1. Método de los nudos (4.3 Meriam Estática) ....................................... 32 4.2.2.2. Método de las secciones (4.4 Meriam Estática) ................................. 34 4.3.

Entramados y máquinas (4.6 Meriam Estática) .................................. 35

4.3.1. Rigidez en los entramados ........................................................... 36 4.3.2. miembros multifuerza y no multifuerza .................................................... 37 4.3.3. Pautas para resolver entramados y máquinas ........................................... 38

5. Fuerzas distribuidas 5.1.

Introducción ............................................................................ 41

5.2.

Tipos de fuerzas distribuidas

5.3.

Centros de masas y centroides (Meriam Estática 5.2)........................... 42

........................................................ 41

5.3.1. Centro de masas o de gravedad................................................................. 42 5.3.2. Centroide (5.3 Meriam Estática) ................................................................ 43 5.3.2.1. Elección del elemento infinitesimal para la integración (Meriam Estática 5.3) ....................................................................................................... 44 5.3.3. Figuras compuestas (5.4 Meriam Estática) ................................................ 45 5.4.

Teoremas de Pappus-Guldin (Meriam Estática 5.5) ............................. 46

6. Rozamiento 6.1.

Introducción ............................................................................ 48

6.2.

Rozamiento seco (Meriam Estática 6.3) ........................................... 48

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7. Cinemática plana 7.1.

Introducción ............................................................................ 51

7.2.

Tipos de movimiento plano .......................................................... 51

7.3.

Rotación (5.2 Meriam Dinámica) ................................................... 52

7.3.1. Nomenclatura y derivadas en la rotación .................................................. 52 7.3.2. Rotación con aceleración angular constante ............................................. 53 7.4.

Relación entre rotación y traslación (2D) .......................................... 53

7.4.1. Ecuaciones vectoriales del movimiento circular ........................................ 54 7.5.

Movimiento absoluto (5.3 Meriam Dinámica) .................................... 55

7.6.

Velocidad relativa o Campo de velocidades (5.4 Meriam Dinámica) ......... 55

7.7.

Centro instantáneo de rotación (CIR) (5.5 Meriam Dinámica) ................. 56

7.8.

Aceleración relativa o Campo de aceleraciones (5.6 Meriam Dinámica) ..... 57

7.8.1. Resolución de aceleraciones mediante cinemas ....................................... 58 7.9.

Movimiento relativo a ejes en rotación o (Arrastre y Relativo) (5.7 Meriam

Dinámica) ....................................................................................... 59 7.9.1. Aceleración de coriolis (5.7 Meriam Dinámica) ......................................... 61

8. Dinámica plana 8.1.

Introducción ............................................................................ 63

8.2.

Ecuaciones generales del movimiento (6.2 Meriam Dinámica) ................ 63

8.3.

DSL y Diagrama Dinámico

8.4.

Ecuación del momento resultante respecto a un punto cualquiera ........... 65

8.5.

Movimiento vinculado y no vinculado

8.6.

Casos particulares de movimiento plano .......................................... 67

........................................................... 64 ............................................. 66

8.6.1. Traslación pura (6.3 Meriam Dinámica) ..................................................... 67 8.6.2. Rotación en torno a un eje fijo (6.4 Meriam Dinámica) ............................. 67

9. Cinemática 3D 9.1.

Introducción ............................................................................ 68

9.2.

Traslación (7.2 Meriam dinámica) .................................................. 68

9.3.

Rotación entorno a un eje fijo (7.3 Meriam Dinámica).......................... 69

9.4.

Rotación entorno a un punto fijo (7.5 Meriam Dinámica) ...................... 69

9.5.

Movimiento general (7.6 Meriam Dinámica) ..................................... 72

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Complementos Introducción .................................................................................... 74 Trigonometría básica ......................................................................... 74 Teorema de Pitágoras ........................................................................ 74 Teoremas del seno y el coseno .............................................................. 74 Cinemática de la partícula ................................................................... 75

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VECTORES

1.1. I NTRODUCCIÓN

La teoría de Máquinas y mecanismos consiste, principalmente, en aplicar las leyes de Newton al estudio de sistemas mecánicos que estén sometidos a la acción de fuerzas externas. Dichos sistemas pueden estar en reposo y obedecer a las leyes de la Estática o en movimiento, obedeciendo las leyes de la Dinámica. Durante este curso asumiremos que los cuerpos son rígidos y no sufren ninguna deformación debida a las tensiones producidas por las fuerzas aplicadas en los cuerpos de estudio. El estudio de la mecánica requiere de la formulación y resolución de ecuaciones vectoriales de un modo preciso y sistemático. Por ello, el uso de magnitudes vectoriales va a ser constante durante todo el curso. En este capítulo se describen las propiedades vectoriales y las operaciones básicas para el estudio analítico de sistemas mecánicos.

1.2. M AGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Una magnitud es una propiedad susceptible de ser medida. Las magnitudes físicas se dividen en escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares quedan totalmente definidas mediante un número real y la unidad en la que se miden. Las magnitudes vectoriales requieren, además, especificar la dirección y sentido en los que actúan en el espacio definido. Por tanto, una magnitud vectorial es aquella que queda definida mediante:

E’ P E

O

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 

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ) Módulo (El valor numérico, correspondiente a la longitud del segmento 𝑂𝑃 Dirección (La recta de soporte donde se aloja el vector. Es la recta EE’)

 

Sentido (se indica con una punta de flecha en el punto P) Unidad (La unidad en la que se mide el módulo de la magnitud)

1.3. T IPOS DE VECTORES

Los vectores se pueden clasificar en tres tipos:  Vectores libres: Aquellos que pueden ocupar cualquier lugar en el espacio mientras no cambie su dirección y sentido. En general, los momentos torsores se pueden considerar vectores libres.  Vectores deslizantes: Aquellos vectores que pueden desplazarse libremente por su recta de soporte pero no salir de la misma. Las fuerzas puntuales son un claro ejemplo de vectores deslizantes.  Vectores fijos: Aquellos vectores que no pueden desplazarse en el espacio. En general, las velocidades y aceleraciones lineales de cuerpos en movimiento suelen considerarse como vectores fijos.

1.4. R EPRESENTACIÓN DE VECT ORES

Los vectores se pueden representar tanto matemáticamente como gráficamente. La representación gráfica de un vector se puede realizar en 1, 2 o 3 dimensiones y su dirección puede quedar definida de dos formas: 

Mediante sus ángulos directores: Los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes ortogonales (, , ).



Mediante la proyección del vector sobre sus ejes ortogonales. 8

De aquí se puede deducir, por tanto, que existe una relación entre las componentes x, y, z de un vector y sus ángulos directores. Conociendo el módulo de 𝑣󰇍󰇍󰇍 como |𝑣󰇍󰇍󰇍 |:

𝑣𝑥 = |𝑣| ∙ cos 𝛼 𝑣𝑦 = |𝑣| ∙ cos 𝛽 𝑣𝑧 = |𝑣| ∙ cos 𝛾

Por tanto, el módulo de un vector se puede obtener a partir de sus componentes, ya que:

|𝑣| = √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 Aunque también se puede utilizar un sistema de coordenadas polares, la representación matemática de los vectores utilizada en esta asignatura consiste en definir las componentes x, y, z del vector usando los versores cartesianos de la siguiente manera:

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘

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1.5. V ECTOR UNITARIO

El vector unitario de un vector cualquiera es aquel vector que tiene misma dirección y sentido pero que su módulo es igual a 1. La notación habitual consiste en añadir el acento circunflejo al nombre del vector. Por ejemplo: el vector unitario del vector 𝑣󰇍󰇍󰇍 se denomina 𝑣 . Matemáticamente, se cumple que:

𝑣 𝑣 = |𝑣|

;

|𝑣| = 1

𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝑣𝑥  ; 𝑣𝑧 = ; 𝑣 𝑣𝑥 = 𝑦 = |𝑣| |𝑣| |𝑣| En mecánica vectorial, el uso del vector unitario puede ser muy útil para obtener las componentes de fuerzas en sistemas de barras y cables. Ver el vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=D_I9pbzv3t0&feature=youtu.be

1.6. O PERACIONES CON VECTORES

Aunque existen muchas otras operaciones, en este apartado se describen las operaciones matemáticas vectoriales utilizadas habitualmente en la asignatura.

1.6.1. SUMA DE VECTORES

La suma de vectores da como resultado otro vector llamado resultante o vector R. El vector R se obtiene llevando el origen de un vector al extremo de otro encadenando, así, todos los vectores que componen la suma. La unión gráfica del origen con el final de esta cadena de vectores nos da el vector resultante R.

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V2

v3 v4 v5

v1

R 󰇍󰇍󰇍󰇍1 + 𝑣 󰇍󰇍󰇍󰇍2 + 𝑣 󰇍󰇍󰇍󰇍3 + 󰇍󰇍󰇍 𝑣4 + 𝑣 󰇍󰇍󰇍󰇍5 = 𝑅󰇍 𝑣 Para obtener el módulo y dirección de R se pueden sumar las componentes x, y, z de cada vector por separado, de manera que:

𝑣1𝑥 + 𝑣2𝑥 + 𝑣3𝑥 + 𝑣4𝑥 + 𝑣5𝑥 = 𝑅𝑥

𝑣1𝑦 + 𝑣2𝑦 + 𝑣3𝑦 + 𝑣4𝑦 + 𝑣5𝑦 = 𝑅𝑦 𝑣1𝑧 + 𝑣2𝑧 + 𝑣3𝑧 + 𝑣4𝑧 + 𝑣5𝑧 = 𝑅𝑧

1.6.2. I GUALDAD DE VECTORE S (C INEMAS )

Los polinomios de vectores son muy utilizados en cinemática para resolver las velocidades y aceleraciones de cuerpos en movimiento. A la representación gráfica de estas ecuaciones vectoriales polinómicas se le denomina CINEMA. Los cinemas nos permiten obtener el módulo y dirección de hasta 2 vectores incógnita de una ecuación. Como ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente ecuación vectorial:

󰇍󰇍 + 𝐸󰇍 𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶 = 𝐷

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Como se ha comentado anteriormente, la suma de vectores da una resultante y por tanto:

𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶 = 𝑅󰇍 󰇍󰇍 + 𝐸 󰇍 = 𝑅󰇍 𝐷

Siendo…

…la representación gráfica o cinema correspondiente será:

Puesto que en una suma el orden de los factores no altera el resultado, pueden existir diferentes cinemas similares dependiendo del orden en que se concatenan los vectores de la suma. Aun así, el vector resultante R siempre tendrá el mismo módulo, dirección y sentido.

1.6.3. P RODUCTO ESCALAR (P ROYECCIONES ) El producto escalar de dos vectores 𝑎 · 𝑏󰇍 da como resultado una magnitud escalar cuyo 󰇍 multiplicado por el módulo coincide con la proyección del vector 󰇍𝒂 sobre el vector 𝒃 vector 𝑏󰇍 .

Gráficamente:

𝑎 · 𝑏󰇍 = |𝑎| · |𝑏󰇍 | · cos 𝜃

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Donde:

|𝑎| · cos 𝜃 = |𝑃󰇍 | ,

por tanto:

|𝑎| · |𝑏󰇍 | = |𝑃󰇍| · |𝑏󰇍|

El vector 𝑃󰇍 es la proyección del vector 𝑎 sobre la recta de soporte del vector 𝑏󰇍 y se obtiene multiplicando el módulo del vector 𝑎 por el coseno del ángulo , formado por los dos vectores. La proyección de un vector sobre un eje se utiliza habitualmente para obtener las componentes ortogonales de un vector. Teniendo las componentes ortogonales de los vectores 𝑎 y 𝑏󰇍 , su producto escalar se resuelve fácilmente:

Cabe notar que:  

𝑎 · 𝑏󰇍 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧

Si los vectores 𝑎 y 𝑏󰇍 son perpendiculares entre sí, su producto escalar será igual a 0. Si los vectores 𝑎 y 𝑏󰇍 son paralelos, el producto escalar es máximo.

1.6.4. P RODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial es muy utilizado en mecánica vectorial para el cálculo de momentos, velocidades y aceleraciones. El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular al plano formado por los dos vectores del producto. Además, el módulo del vector resultante del producto vectorial coincide con el valor de la superficie del plano que forman estos dos vectores.

Si…

𝑎 × 𝑏󰇍 = 𝑐 Entonces…

|𝑐| = 𝑆 = |𝑎| ∙ |𝑏󰇍 | ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

La resolución del producto vectorial se realiza mediante el cálculo del determinante de la matriz 3 x 3 formada por el versor cartesiano y los dos vectores del producto. De esta manera:

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𝑎 × 𝑏󰇍

𝑎𝑖𝑥 =| 𝑏𝑥

𝑎𝑗𝑦

𝑏𝑦

Cabe notar que:  

𝑎𝑘𝑧

𝑏𝑧



|= ((𝑎𝑦 · 𝑏𝑧 ) − (𝑎𝑧 · 𝑏𝑦 )) 𝑖 + ((𝑎𝑧 · 𝑏𝑥 ) − (𝑎𝑥 · 𝑏𝑧 ))𝑗 + ((𝑎𝑥 · 𝑏𝑦 ) − (𝑎𝑦 · 𝑏𝑥 )) 𝑘

si los dos vectores son paralelos, su producto vectorial será igual a 0, 𝑎 × 𝑏󰇍 ≠ 󰇍𝑏 × 𝑎.

Si los dos vectores sólo tienen una componente ortogonal, serán perpendiculares entre sí y su producto vectorial se puede obtener rápidamente utilizando la regla de la mano derecha o del sacacorchos.

Por ejemplo:

𝑎 = 2 𝑗

󰇍𝑏 = 3 𝑘

;

𝑎 × 𝑏󰇍 = 6 𝑖

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FUERZAS Y MOMENTOS 2.1. I NTRODUCCIÓN

Este tema corresponde al capítulo 2 del libro Mecánica para ingenieros (Estática) de J.L Meriam y L.G Kraige. A partir de ahora se indicará como Meriam Estática. La mecánica vectorial estudia el comportamiento de partículas o cuerpos sometidos a sistemas de fuerzas qu...