AREAS DE UNA REGION EN UN PLANO PDF

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AREAS DE UNA REGION EN UN PLANO Y SUS MÉTODOS Y APLICACIONES EN LA MATEMÁTICA Y FÍSICA CON EJEMPLOS PARA UN MEJOR ENTENDIMIENTO HACIA EL RECEPTOR....

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Área de una región en un plano El área de una región en el plano nos indica la superficie que este ocupa en cierto plano de dos o dimensiones. Esta región debe ser totalmente cerrada y puede estar limitada por diferentes curvas. La forma más común para calcular esta área es a través de un proceso de integrales en donde se establecen diferenciales horizontales o verticales.

Área debajo de una curva Sea f : [a, b] → R una función continua y sea R la región acotada por la gráfica de la función f, el eje x y las rectas x = a y x = b. Entonces, si se verifica que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], el área de la región R, está determinada por: 𝑏

𝐴𝑅 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥

(1)

Sabemos de la teoría de integrales definidas, que si una función f : [a, b] −→ R verifica ser 𝑏

continua y además, f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces se tiene que: ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≥ 0 Este resultado, es sencillo de corroborar usando las sumas de Riemann y la definición de la integral definida. Ahora bien, se puede definir el área de una región acotada.

Recordemos que si P es una partición cualquiera de [a, b], tal que: P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} La integral definida de la función f entre las rectas x = a y x = b, se define por: 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = lim 𝑅 ( 𝑓, 𝑃 ) = lim ∑ 𝑛𝑘=1 𝑓( 𝑊𝑘 ) ∆𝑋𝑘 𝑃→0

𝑃→0

Para 𝑊𝑘 ∈ [𝑋𝑘 −1, 𝑋𝑘 ], 1≤ k ≤ n, siempre y cuando el límite en (2) exista.

(2)

La regla de Barrow se aplica para calcular el área de una región delimitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas. 𝑏

La integral definida de la función F en el intervalo [a,b] es ∫𝑎 𝐹 (𝑥 ) 𝑑𝑥

Regla de Barrow 1) Si f es una primitiva de F, es decir, f’ = F o, equivalentemente, ∫ F(x) dx = f, entonces 𝑏

∫ 𝐹(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

Bajo ciertas condiciones, la integral definida de F en el intervalo [a,b] coincide con el área de la región encerrada entre la gráfica de F y el eje de abscisas para a ≤ x ≤ b.

𝑏

El área de la región A es la integral definida 𝐴 = ∫𝑎 𝐹 (𝑥 ) 𝑑𝑥 Una de las condiciones para que la integral coincida con el área es que la región debe estar en el semiplano superior (y ≥ 0).

2) Si la región se encuentra en el semiplano inferior (y ≤ 0), entonces, la integral sigue siendo el área de la región, pero con signo negativo:

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral: 𝑏

𝐴 = | ∫ 𝐹(𝑥 ) 𝑑𝑥 | 𝑎

3) Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área se debe calcular una integral definida para cada región.

En las regiones de la parte superior, el resultado es no negativo. En las de la parte inferior, es no positivo. En el caso de la representación, el área de la región es: 𝑐

𝑐

A + B = ∫𝑏 𝐹 (𝑥 ) 𝑑𝑥 + | ∫𝑏 𝐹 (𝑥 ) 𝑑𝑥 | Si no se calculan las integrales por separado, el resultado de la integral es menor o igual que el área, puesto que estamos sumando áreas positivas y negativas.

4) El área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g en el intervalo [a,b] viene dada por la integral de la resta de las funciones: 𝑏

∫ (𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )) 𝑎

La integral anterior es la resta de las áreas que encierran, por separado, ambas gráficas con el eje de abscisas: 𝑏

∫ (𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )) 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 ) 𝑎

𝑎

Consideraciones: El integrando debe ser la función cuya gráfica está arriba menos la función cuya gráfica está abajo. Los extremos del intervalo de la integral son los puntos donde las gráficas intersectan.

Ejemplo de ejercicio Las rectas verticales son x=−1, x=1

Como tenemos que integrar la función f, es mejor desarrollar el producto: f(x) = x(x−2) = 𝒙𝟐 − 2x Representamos la gráfica y las rectas para ver si el eje horizontal divide la región:

Como el eje OX divide la región en dos (una sobre el eje y otra bajo éste), tenemos que calcular dos integrales. El resultado de la integral correspondiente al área que está por debajo será negativo, por lo que tenemos que cambiar el signo (o escribir el valor absoluto). Los intervalos de x de las regiones son: [−1,0] , [0,1]

Nota: el extremo 0 se calcula resolviendo la ecuación f(x)=0 (Estos intervalos son los extremos de las integrales.)

La integral indefinida de f es ∫ f(x) dx = ∫(𝑥 2 − 2x)dx = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 2x dx

=

𝑥3 3

− 𝑥2

Calculamos las áreas calculando las integrales definidas mediante la regla de Barrow:

El área es la suma del valor absoluto de los resultados obtenidos: 4 3 =

+ −

4 2 + 3 3 =

6 3

=2 Por tanto, el área de la región es 2. //

2 3...