Aufgabe Induktive Kopplung - Kurzschlussschleife PDF

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Aufgabe – Magnetisches Feld – Induktive Kopplung In einem Leiter fließt eine sinusförmiger Strom IL = 7 A mit einer Frequenz f = 12,5 kHz. In der Nähe des Leiters befindet ein empfindlicher Sensor (siehe Skizze). Durch das magnetische Feld des Leiters wird der Sensor in seiner Funktion beeinträchtigt. Zur Reduzierung des magnetischen Feldes im Bereich des Sensors soll eine Kurzschlussschleife um den Sensor installiert werden, um eine korrekte Funktion des Sensors zu gewährleisten. Der Drahtdurchmesser der Kurzschlussschleife beträgt D = 2 mm und als Leitermaterial wird Kupfer mit einer elektrischen Leitfähigkeit κCu = 58∙106 S/m und µrCu ≈ 1 verwendet. Die geometrischen Abmessungen: a = 8 cm, b = 2 cm, c = 2 cm, d = 20 cm.

y Sensor

ÆD

c b a

d L

x

a) Berechnen Sie die induzierte Spannung in der Kurzschlussschleife unter der Annahme eines unendlich ausgedehnten Linienleiters. b) Berechnen Sie den resultierenden Strom in der Kurzschlussschleife. Hierfür soll geprüft werden, welche Parameter berücksichtigt werden müssen: -

Der ohmsche Widerstand der Kurzschlussschleife.

-

Die innere Induktivität eines Leiters.

-

Die Selbst- bzw. Eigeninduktivität der Kurzschlussschleife -

Bestimmung über Näherung: die kürze Ausdehnung wird nicht berücksichtigt. Induktivität zwei paralleler Leiter

-

Über das Diagramm zur Bestimmung der Eigeninduktivität von rechteckigen Leiterschleifen

c) Berechnen Sie den Verlauf des magnetischen Feldes H(0,y,0) ebenfalls für die Annahme von linienförmigen Leitern. -

Ohne Kurzschlussschleife

-

Mit Kurzschlussschleife

d) Auf wieviel Prozent kann die magnetische Feldstärke im Bereich des Sensor durch die Kurzschlussschleife verringert werden.

Lösung: a) Für die Berechnung der induzierten Spannung Uind wird die Gegeninduktivität M der gegebenen Anordnung benötigt. Zur Berechnung des magnetischen Flusses Φ wird folgendes Schema verwendet: I  H  BF M IL I ⋅m H= mit dem Materialgesetz B = m ⋅ H wird B = L 0 2⋅ p ⋅ y 2⋅ p ⋅ y

Mit dem Betrag für magnetischen Flussdichte B kann anschließend der magnetische Fluss Φ bestimmt werden. Hierfür wird die Beziehung F=

òò B ⋅ dA A

Das eigentliche Skalarprodukt der Vektoren muss nicht berechnet werden, da die Vektoren parallel gerichtet sind. Weiterhin kann das Doppelintegral in ein einfaches Integral überführt werden, da sich die magnetische Flussdichte B(x) für alle s den gleichen Wert hat. Es liegt nur eine Abhängigkeit in y-Richtung vor. Dadurch kann die Ausdehnung d in x-Richtung multipliziert werden. Da nur interessant ist, welcher magnetische Fluss Φ durch die Fläche der Kurzschlussschleife tritt, ergibt sich für die untere Integrationsgrenze die Abstand a zum ersten Leiter und für die obere Integrationsgrenze der Abstand a+b+c zum zweiten Leiter. Nach Einsetzen der magnetischen Feldstärke ergibt sich a+ b+ c

F=

ò a

æ a + b + c ÷ö IL ⋅ m0 ⋅ d I ⋅m ⋅ d ⋅ dy = L 0 ⋅ ln çç ÷÷ . çè ø a 2 ⋅p ⋅ y 2 ⋅p

Die Gegeninduktivität M errechnet sich aus dem magnetischen Fluss Φ, geteilt durch den Strom IL, der diesen magnetischen Fluss erzeugt. Es ergibt sich: F m0 ⋅ d çæ a + b + c ÷ö = ⋅ ln çç ÷÷. è a ø IL 2⋅ p Die induzierte Spannung Uind ergibt sich aus dem Induktionsgesetz: dF d d U ind = = M ⋅ i L (t ) = M ⋅ I L ⋅ 2 ⋅ sin (w ⋅ t ) dt dt dt M =

Für sinusförmige Größen, welche hier vorliegen, kann das induktionsgesetz auch im Frequenzbereich verwendet werden.

U ind = w ⋅F = w ⋅ M ⋅ I L = w ⋅

æ a+ b+ c ÷ö æ a+ b+ c ÷ö I L⋅ m0 ⋅ d ⋅ ln ççç ÷÷ = f ⋅ I L ⋅ m0 ⋅ d ⋅ ln ççç ÷÷ è ø è ø 2⋅p a a

U ind = 14,3mV b) Berechnung des Stromes in der Kurzschlussschleife. Es müssen alle Parameter der KS bestimmt werden, welche den Strom begrenzen. Der ohmschen Widerstand der Kurzschlussschleife Aufgrund der hohen Frequenz und des großen Querschnitts des Leiters muss geprüft werden, ob in der Kurzschlussschleife der Skineffekt berücksichtigt werden muss. Hierfür wird die Eindringtiefe δ und der Raduis rKS des Leiters bestimmt und mit einander verglichen. Für die Eindrin gtiefe δ und den Radius rKS er gibt sich

d=

2 2 D 4 mm = 2 mm = = 0,763mm und rKS = = 2 2 w ⋅ m ⋅ kCu w ⋅ m0 ⋅ mrCu ⋅ kCu

Aus den Ergebnissen für die Eindringtiefe und den Radius rKS ergibt sich, dass der Skineffekt einen Einfluss auf den Widerstandswert der Kurzschlussschleife hat. Somit muss diese Widerstandserhöhung berechnet werden. Es wird für die Berechnung davon ausgegangen, dass nur im Bereich der Eindringtiefe δ (äquivalente Leitschichtdicke) ein Strom fließt. Es wird ersichtlich, dass sich dadurch die Querschnittsfläche verringert und dadurch der Widerstand steigt. Der Gleichstromwiderstand mit der Querschnittsfläche des Leiters ergibt sich zu: 2 ⋅ ( b + c) + 2 ⋅ d l R DC _ KS = KS = = 0,85mW 2 kCu ⋅ A kCu ⋅ p ⋅ rKS Für den Wechselstromwiderstand verringert sich die Fläche und er ergibt sich zu: 2⋅ (b + c )+ 2⋅ d l R AC _ KS = KS = = 1,38mW 2 2 kCu ⋅ A kCu ⋅ p ⋅ rKS - (rKS - d )

(

)

Weiterhin muss die innere Induktivität der Kurzschlussschleife bestimmt werden. Hierfür wird die Gleichung aus dem Script verwendet und muss nicht hergeleitet werden. Die innere Induktivität ergibt sich zu: m⋅  KS m0 ⋅(2 ⋅(b + c ) + 2 ⋅ d ) Li = = = 31nH 8⋅ p 8⋅ p Für die Berechnung des Stromes in der Kurzschlussschleife muss der induktive Blindwiderstand berechnet werden, da die dieser die maßgebende Größe für die Strombegrenzung ist. Dieser ergibt sich für die innere Induktivität zu X Li = w ⋅ Li = 2⋅ p ⋅ f ⋅ 31nH = 1, 46mW .

Weiterhin muss die Eigeninduktivität der Kurzschlussschleife bestimmt werden. Variante 1: Nutzung der Näherung, dass die Leitungen der Stirnseiten vernachlässigt werden und somit für die Berechnung der Induktivität die Formel für die Induktivität einer Doppelleitung mit der Länge d verwendet werden kann. æ b +c ö÷ m0 ⋅d æ b +c ö÷ m ⋅d LE = 0 ⋅ ln çç ÷÷ = ⋅ ln çç ÷ = 340,1nH çè rKS ø÷ çè rKS ø÷÷ p p Der induktive Blindwiderstand ergibt sich zu X LE = w ⋅ LE = 2 ⋅ p ⋅ f ⋅ 340,1nH = 16,03mW Variante 2: Nutzung des Diagramms Bild 4-47 zur Bestimmung der Selbstinduktivität für rechteckige Leiterschleifen aus dem Script verwendet. Aus den geometrischen Eigenschaften ergibt sich µH L c +b c +b = 0, 24 und damit die bezogene Induktivität Dia =1,5 = 0, 24 und d m d d µH Und nach Auflösung LDia =1,5 ⋅ d = 375nH und X LDia = 17, 67mW m Die Summe aus inner Induktivität und der Näherung für die Doppelleitung entspricht ungefähr dem Wert der Induktivität aus dem Diagramm. Der ohmsche Widerstand mit Berücksichtigung des Skineffekt hat keinen Wesentlichen Einfluss auf die Impdanz.

Z KS = R 2AC _ KS + X 2 LDia = 17,73mW

Deshalb kann angenommen werden, dass ausschließlich der induktive Blindwiderstand der Kurzschlussschleife den Strom begrenzt. Dieser ergibt sich zu I KS =

14,3mV U ind = = 0,811A X LDia 17, 67mW

c) Die magnetische Feldstärke in Abhängigkeit von y ohne Schleife ergibt sich aus der Annahme für linienförmige unendlich ausgedehnte Leiter zu IL H ohne _ KS ( y) = 2 ⋅p ⋅ y Die magnetische Feldstärke mit Kurzschlussschleife ergibt sich aus der Superposition und der Näherung der Doppelleitung, wenn von der Kurzschlussschleife nur die lange Seiten einen Einfluss haben zu æ 1 ö 1 IL I H mit _ KS ( y ) = - KS ⋅ çç ÷÷÷ ç 2 ⋅ p ⋅y 2 ⋅ p è y - a y - a - b - c ø Da der ohmsche Widerstand vernachlässigt werden kann gibt es keine Phasenverschiebung zwischen den Strömen IL und IKS. Somit ist die skalare Überlagerung korrekt. d) Die Verringerung der magnetischen Feldstärke am Ort des Sensor y = a + b = 15 cm ergibt sich damit zu: ö H mit _ KS ( y) I æ y y = 1- KS ⋅ çç ÷÷÷= 0, 459 ç H ohne_ KS (y ) I L è y -a y -a -b -c ÷ø Die magnetische Feldstärke am Ort des Sensor verringert sich auf 45,9%....