Aufgaben Mathematik - WiSe 2020/2021 PDF

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Didaktik der Arithmetik

Aktivitäten

Thema 0

Grundsätzliche Einführung und Organisation

1

Mathematiklehrkraft werden …

Lesen Sie den Textausschnitt Gallin, P., & Ruf, U. (1990). Was Lehrer leisten können. In dies. (Hrsg.) Sprache und Mathematik in der Schule. Auf eigenen Wegen zur Fachkompetenz (S. 17-21). Zürich: Verlag Lehrerinnen und Lehrer Schweiz.* und bereiten Sie sich auf eine Diskussion in der Gruppe zu folgenden Impulsfragen vor: a) Vergleichen Sie die eigenen Vorstellungen des Berufs Lehrerin bzw. Lehrer mit denen aus dem Text. Was ist ungewohnt oder neu? Was ist interessant? Was überzeugt Sie, was nicht? b) Was ist die Kernaussage, die Sie für sich selbst aus dem Text herausziehen? c) Wie gelingt die Gestaltung von Lernumgebungen (in der Schule und in den Aktivitätengruppen) nach Gallin & Ruf?

* verfügbar im VC Kurs Lernwerksatt Mathematik Reader (Zugang über unseren VC Kurs; siehe Ergänzungen und Hinweise ganz unten)

2

Allgemeine Lernziele (Kompetenzen) des heutigen Mathematikunterrichts

Lesen Sie die Bildungsstandards Mathematik Primarstufe (VC Kurs) und erarbeiten Sie für sich, was sich hinter den fünf Begriffen der sogenannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen verbirgt.

3

Reloaded

Gehen Sie alle Folien der thematisch zugehörigen, gemeinsamen Seminarsitzung (montags) noch einmal durch. Haben Sie noch Fragen?

WS 20/21

Prof. Dr. Steinweg

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Aktivitätenblatt 0 Aufgabe 1a o Die Lehrkraft hat eine Doppelfunktion: Stoff ↔ Mensch o Es ist gut, das einzelne Schüler mehr als Individuum gesehen werden. o Der Text nimmt die Angst, dass man nicht alle mitnehmen kann. o Einstellung des Lehrers beeinflusst die SuS o Der Lehrer soll geduldig sein und keinen Schüler benachteiligen Aufgabe 1b o Lehrer kann nur ein gutes Umfeld schaffen → lernen muss der Schüler selbst o Lehrer schafft Grundvoraussetzungen o Der Lehrer soll den SuS mehr zutrauen, um selbst nicht überfordert zu sein Aufgabe 1c o Man hat mehr Verständnis für die Schüler, weil man selbst einmal Schüler/Student war o Es ist ein Miteinanderschaffen o Die Dozenten sind Lernbegleiter, die uns Studierenden im Lernen unterstützen Aufgabe 2 Zahlen und Operationen Zahldarstellungen o und o Zahlbeziehungen o verstehen Rechenoperationen o verstehen und beherrschen

o o o o o in Kontexten rechnen

o o o o o

Den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen, Zahlen bis 1.000.000 auf verschiedene Weise darstellen und zueinander in Beziehung setzen, Sich im Zahlenraum bis 1.000.000 orientieren (z.B. Zahlen der Größe nach ordnen, runden). die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen, die Grundaufgaben des Kopfrechnens (Einspluseins, Einmaleins, Zahlzerlegungen) gedächtnismäßig beherrschen, deren Umkehrungen sicher ableiten und diese Grundkenntnisse auf analoge Aufgaben in größeren Zahlenräumen übertragen, mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, verschiedene Rechenwege vergleichen und bewerten; Rechenfehler finden, erklären und korrigieren, Rechengesetze erkennen, erklären und benutzen, schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch Anwenden der Umkehroperation kontrollieren. Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben, das Ergebnis auf Plausibilität prüfen, bei Sachaufgaben entscheiden, ob eine Überschlagsrechnung ausreicht oder ein genaues Ergebnis nötig ist, Sachaufgaben systematisch variieren, einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen.

Raum und Form sich im Raum orientieren

o über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen, o räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und nutzen (Anordnungen, Wege, Pläne, Ansichten),

o zwei- und dreidimensionale Darstellungen von Bauwerken (z.B. Würfelgebäuden)

geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

o o o

o o einfache geometrische Abbildungen o o erkennen, benennen und darstellen o Flächen- und Rauminhalte o vergleichen und o messen

zueinander in Beziehung setzen (nach Vorlage bauen, zu Bauten Baupläne erstellen, Kantenmodelle und Netze untersuchen). Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen, Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen, Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...), Zeichnungen mit Hilfsmitteln sowie Freihandzeichnungen anfertigen. ebene Figuren in Gitternetzen abbilden (verkleinern und vergrößern), Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen, symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln.

die Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen und durch Auslegen mit Einheitsflächen messen, Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen, Rauminhalte vergleichen und durch die enthaltene Anzahl von Einheitswürfeln bestimmen.

Muster und Strukturen Gesetzmäßigkeiten o o erkennen, beschreiben und darstellen o funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen

strukturierte Zahldarstellungen (z.B. HunderterTafel) verstehen und nutzen, Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z.B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen, arithmetische und geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben. o funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben (z.B. Menge – Preis) und entsprechende Aufgaben lösen, o funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen, o einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen.

Größen und Messen o Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte Größenvorstellund Rauminhalte kennen, ungen o Größen vergleichen, messen und schätzen, o Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind, o Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln), o im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen mit Größen in Sachsituationen umgehen

o o o o

kennen und verstehen. mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen, wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen, in Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen, Sachaufgaben mit Größen lösen.

Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Daten erfassen und o in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen, darstellen o aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen. o Grundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich), Wahrscheinlicho Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) keiten von Ereigeinschätzen. nissen in Zufallsexperimenten vergleichen

Didaktik der Arithmetik

Aktivitäten

Thema 1

Natürliche Zahlen, Zahlaspekte, Geschichte der Zahlen freiwillige Abgabeaufgaben Einreichung bis Mo 09.11.2020 A1

Ägyptisch Multiplizieren

Die ägyptische Zahldarstellung eignete sich gut zur Addition oder auch zum Verdoppeln. Wenn man aber z. B. 13 ⋅ 17 also    ∩ mal        ∩ „ägyptisch“ berechnen wollte, nutzte man folgendes Verfahren:

1

17

2

34

4

68

8

136

16

272

a) Erklären Sie das Vorgehen und lösen Sie entsprechend 15 ⋅ 21. b) Gelingt das Verfahren immer? Finden Sie eine mathematische Begründung für das Verfahren.

A2

Rechnen wie im Mittelalter – Rechnen auf den Linien

Eine Beschreibung des Vorgehens bei der Multiplikation auf den Linien finden Sie im Video https://www.youtube.com/watch?v=oEk_vfbH-AA (ab ca. 2:12 min) Probieren Sie das Verfahren selbst am Beispiel 13 ⋅ 17 mit Rechenplättchen (Centstücken, Muggelsteinen ...) und Linien (vgl. Montagsfolien Thema 1) aus. Begründen Sie die wesentlichen Verfahrensschritte mathematisch. Leider hat auch Adam Ries selbst in seinen Werken keine Begründungen angegeben, sondern nur Verfahren beschrieben; vgl. entsprechender Ausschnitt aus Die Zahl, die multipliziert werden soll, sollst du auflegen, die andere dir aufschreiben und oben anfangen. Liegt ein Pfennig in einem Zwischenraum, so greife auf die Linie darüber und lege die aufgeschriebene Zahl halb, sofern du mit einer einziffrigen Zahl multiplizierst. Im Falle einer zweiziffrigen Zahl aber greife auf die zweite Linie über dem Pfennig und lege dort die Ziffer des höchsten Stellenwerts halb. Sodann greife herab, lege die letzte Ziffer auch halb und hebe den Pfennig im Zwischenraum auf. Wenn aber Pfennige auf der Linie liegen, so greife auf die oberste Linie. Multiplizierst du mit einer einziffrigen Zahl, so halte still und lege die aufgeschriebene Zahl dort sooft, wie Pfennige auf der Linie liegen. Handelt es sich um eine zweiziffrige Zahl, so greife auf die nächste Linie über dem Pfennig. Dort lege die Ziffer des höchsten Stellenwerts sooft wie Pfennige auf der Linie liegen. Danach greife herab, lege die letzte Ziffer sooft, wie Pfennige zu multiplizieren vorhanden sind, und hebe diese Pfennige auf. Auf gleiche Art verfahre, wenn die Zahl aus drei, vier oder mehr Ziffern besteht. Ries, Adam (1550). Rechenung nach der lenge/ auff den Linihen und Feder. Faksimiledruck von 1976. Karlsruhe: 49ff. / hier in einer Übersetzung nach Deschauer (1992) Das zweite Rechenbuch von Adam Ries. Braunschweig: Vieweg.

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Didaktik der Arithmetik

Aktivitäten

Thema 1

Seminaraufgaben Zur individuellen Bearbeitungen vor der Gruppensitzung, um gemeinsam in der Gruppe mögliche Antworten und offene Fragen zu diskutieren. S1

Ann-Kristin und die Null Ann-Kristin (5 Jahre) sitzt vor einem großen Poster mit 1+1-Aufgaben, Abbildungen von Rechenmaterial

und

von

verschiedenen

Holzspielzeug-Tieren (Kühe, Schweine etc.)* In der Hand hält sie Karten mit den Zahlen von 0 bis 20. Sie ordnet die 2 einer 1+1-Aufgabe zu, in der die 2 vorkommt. Zur Karte mit der Null meint sie: „Die Null bedeutet gar nichts. Wir können sie aufs Schwein legen.“

Hat Ann-Kristin recht? Was würde sich verändern, wenn es die Null nicht gäbe? * Einspluseins-Tafel (vgl. auch mathe 2000 Rechenposter, im VC Kurs Lernwerkstatt)

S2

Eigenschaften von Zahlen

Mathematische Begriffe subsummieren theoretische Erkenntnisse über abstrakte mathematische Objekte. In der Grundschule beginnt die Begriffsbildung nicht über eine formale Definition. Vollrath (1984. Methodik des Begriffslehrens im Mathematikunterricht. Stuttgart: Klett.) vermutet drei ‚Stufen‘ der Begriffsbildung: 1. Der Begriff als Phänomen (intuitiv) 2. Der Begriff als Träger von Eigenschaften 3. Der Begriff als Teil eines Beziehungsgefüges (formal) Zahlen als mathematische Objekte können durch mathematische Begriffe unterschieden und genauer beschrieben werden. Aus Einheitsquadraten (Kästchenpapier) können ‚Zahlen als Rechtecke‘ gelegt bzw. ausgeschnitten werden. a) Wie könnten sich Grundschulkinder so den Begriffen Quadratzahl zusammengesetzte Zahl

I. II.

Primzahl gerade bzw. ungerade Zahl

III. IV.

anschaulich nähern? b) Welche ‚Stufen‘ der Begriffsbildung sind hier denkbar? S3

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Aktivitätenblatt 1 A1 Ägyptisch Multiplizieren a) Die linke Spalte bezieht sich auf die Zahl 13 und die rechte Spalte auf die Zahl 17. Die 17 wird in jeder Zeile verdoppelt. Also zunächst 17+17=34, dann 34+34=68 und so weiter. Die linke Spalte beginnt mit der Zahl 1 und wird ebenfalls in jeder Zeile verdoppelt. Also 1+1=2, dann 2+2=4 und so weiter. Die linke Spalte muss aufaddiert die Summe 13 ergeben. Alle Zahlen, die zu viel sind, werden weggestrichen. In diesem Fall die 2 und die 16. Somit ergibt sich die Rechnung: 1+4+8=13. In der rechten Spalte werden ebenfalls die Zahlen durchgestrichen, welche sich in der selben Zeile befinden, wie die durchgestrichenen Zahlen der linken Spalte. Also die 34 und die 272. Die übrigen Zahlen werden aufaddiert und ergeben dann das Ergebnis der Multiplikation 13 mal 17. Also 17+68+136=221. Weitere Rechnung: 15 · 21 1 2 4 8 16 Summe: 15

21 42 84 168 336 315

b) Ja, das Verfahren gelingt immer. Hier die mathematische Begründung: 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21 42

+ 84

42

+ + 168

42

+ 84

42

+

42

+

42

+

42

+ 21

+

84

+

42

+ 21

+

84

+

42

+ 21

315 A2 Rechnen wie im Mittelalter – Rechnen auf der Linie: 13 · 17 M D C L X V I

M D C L X V I

M D C L X V I

M D C L X V I

M D C L X V I

Heutige schriftliche Multiplikation: 1 3 · 1 7 5 1 + 1 7 0 2 2 1 Mathematische Begründung der Verfahrensschritte: Genauso, wie im heutigen schriftlichen Multiplizieren multipliziert man jede Zahl vom ersten Faktor mit jeder Zahl vom zweiten Faktor. Dies wird hier auch im ersten Schritt vollzogen. Danach werden bei der heutigen schriftlichen Multiplikation die Zwischenergebnisse zusammen addiert. Bei der Methode aus dem Mittelalter wird durch vereinfachen indirekt ebenfalls alles zusammen addiert.

Aktivitätenaufgaben – Seminar S1 Ann-Kristin und die Null Was würde sich verändern, wenn es die Null nicht gäbe? • Es würde keine 10, 20, 30, … geben • Hohe Zahlen, wie 1.000.000, die fast nur aus Nuller besteht, würde es nicht geben. • Das Rechnen wird schwer fallen • Babylonier: Die Zahlen zu erkennen fällt schwer: 36, 306 → 3 6, Abstand wird nur größer • Die Null als Code, Telefonnummer, Uhrzeit und Datum darstellen (Codezahlen) S2 Eigenschaften von Zahlen a) 1. Quadratzahl:  Punkte nebeneinander, zählen 3 nach unten und 3 nach rechts: 3² = 3·3=9  Nur bis zu einem bestimmten Grad, also nur solange, wie das Quadrat auf das Papier passt 2. zusammengesetzte Zahl (Gegenteil von Primzahl):  Rechtecke zum abzählen (wie oben nur Rechteck, statt Quadrat)  4·2=8 3. Primzahl:  Wenn man kein zusammengesetztes Dreieck bilden kann 4. gerade bzw. ungerade Zahl:  2er Spalten stapeln, ist oben eine Stufe, dann ungerade, wenn oben beide gleich abschließen, dann gerade b) 1. Der Begriff als Phänomen (intuitiv):  Kinder können Quadratzahlen, zusammengesetzte Zahlen, Primzahlen und gerade bzw. ungelegte Zahlen bildlich darstellen und legen 2. Der Begriff als Träger von Eigenschaften:  Quadratzahl: Zeichnung besteht aus Quadrat, gleich lange Seiten  Zusammengesetzte Zahl: Zeichnung besteht aus Rechteck, Seitenlängen ungleich  Gerade Zahlen: haben bei zwei Spalten dieselbe Länge (weil durch 2 teilbar) 3. Der Begriff als Teil eines Beziehungsgefüges  Quadratzahlen und zusammengesetzte Zahlen können keine Primzahlen sein, weil es hier immer ein vollständiges Rechteck sein muss.  Die Quadratzahl ist eine Sonderform der zusammengesetzten Zahl, weil jedes Quadrat ein Rechteck ist.  Aber es ist kein Gesamtüberblick vorhanden, denn Kubikzahlen, negative Zahlen, … fehlen noch.

S3 Reloaded Wiederholung Grundrechenarten Multiplizieren: Faktor 1 · Faktor 2 = Produkt Division: Dividend : Divisor = Quotient Addition: Summand 1 + Summand 2 = Summe Subtraktion: Minuend – Subtrahend = Differenz Rechnen in anderen Systemen: Beispiel 7er-System Zahl im 10er-System 7³ = 343 7² = 49 9(10): 0 0 365(10): 1 0

71 = 7 1 3

➔ Immer die einzelnen Zahlen aussprechen ➔ Beispiel: nicht „zwölf“ sagen, sondern „eins, zwei“.

70 = 1 2 1

Didaktik der Arithmetik

Aktivitäten

Thema 2

Stellenwertsystem(e) & Teilbarkeit in ℕ freiwillige Abgabeaufgaben Einreichung bis Mo 16.11.2020 A1

Probieren, Vermuten, Begründen

Gegeben sei die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, … ,n}. Für welche Zahlen n lässt sich diese Menge in zwei summengleiche Teilmengen zerlegen? --Tipp: Probieren Sie systematisch die ersten Fälle für n einfach aus und vermuten Sie dann. --

* Frage zum Weiterdenken: Warum gelingt es genau bei diesen n (und bei anderen nicht)? A2

Endstellenregeln 10er-System

a) Welche Teilbarkeit(en) wird durch die letzten beiden Ziffern bestimmt? Warum ist das so? b) Welche Teilbarkeit(en) ist an den letzten drei Ziffern ablesbar? Warum ist das so? Seminaraufgaben Zur individuellen Bearbeitungen vor der Gruppensitzung, um gemeinsam in der Gruppe mögliche Antworten und offene Fragen zu diskutieren. S1

Rechnen in Stellenwertsystemen

Versuchen Sie die folgenden Rechenaufgaben im jeweiligen Stellenwertsystem zu lösen, d. h., ohne dass Sie die Zahlen zunächst in das Dezimalsystem umrechnen. 15347 + 54327 2200213 – 1120223 2536 : 46 12345 · 435 Welche Schritte fallen Ihnen leicht? Wo haben Sie Schwierigkeiten? Können Sie Ihr Vorgehen für andere beschreiben? Welche Grundkenntnisse wären hilfreich, um die Aufgaben schnell lösen zu können? S2

Kurz nachgedacht…

In manchen Schulbüchern oder Kopiervorlagen finden sich Anregungen zur Stellentafel, bei der nicht Punkte, Plättchen oder Würfelchen die Ziffern der Stelle darstellen, sondern Zehnerstangen, Hunderterplatten … oder 10 € - Scheine und 100 € - Scheine in die Stellentafel gelegt werden. Diese Praxis ist hoch fragwürdig. Was würde es mathematisch bedeuten, eine Zehnerstange in die Zehnerspalte einer Stellentafel zu legen? S3

Reloaded

Gehen Sie alle Folien der thematisch zugehörigen, gemeinsamen Seminarsitzung (montags) noch einmal durch. Haben Sie noch Fragen?

WS 20/21

Prof. Dr. Steinweg

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Aktivitätenblatt 2 A1 Probieren, Vermuten, Begründen n=4 1+4=5, 2+3=5 n=7 2+5+7=14, 1+3+4+6=14 n=8 1+2+7+8=18, 3+4+5+6=18 n=11 11+10+9+3=33, 1+2+4+5+6+7+8=33 n=12 12+11+10+6=39, 1+2+3+4+5+7+8+9=39  Es funktioniert nur bei Zahlen, deren Quersumme gerade ist.  Somit kann die Quersumme auf 2 gleiche Teile aufgeteilt werden.  Die anderen Zahlen bis 13 gehen nicht! A2 Endstellenregeln 10er-System a) Die Teilbarkeiten 4 und 25 werden durch die letzten beiden Ziffern bestimmt. 10³ = 1000 10² = 100 101 = 10 100 = 1 1000:4=250 100:4=25 10:4=2,5 1:4=0,25 1000:25=40 100:25=4 10:25=0,4 1:25=0,04  Die 100 und 1000 sind Vielfache von 4 und 25.  Jeder 100er ist durch 4 und 25 teilbar.  Zu 101 und 100 kann keine Aussage getroffen werden.  Alle Stellen bis 100er müssen nicht betrachtet werden, weil sie auf jeden Fall durch 4 bzw. 25 teilbar sind, die Stellen danach, also 10er und 1er müssen noch überprüft werden. b) Die Teilbarkeit 8 wird durch die letzten drei Ziffern bestimmt. 10³ = 1000 10² = 100 101 = 10 100 = 1 1000:8=125 100:8=12,5 10:8=1,25 1:4=0,125  Die 1000 ist ein Vielfaches von 8  Zu 10², 101 und 100 kann keine Aussage getroffen werden  Alle Stellen bis 1000er müssen nicht betrachtet werden, weil sie auf jeden Fall durch 8 teilbar sind, die Stellen danach, also 100er, 10er...