Bài tập Toán Kinh Tế- Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông PDF

Preview

Summary

nullHỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNGBÀI TẬPTOÁN KINH TẾBiên soạn: TS. Lê Thị Ngọc DiệpKhoa Quản trị Kinh doanh 1Hà Nội, Năm 20 21Bài tập Toán Kinh tếMỤC LỤCCHƯƠNG 1. MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ ............................................................................ 2CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH QUY HOẠCH ...

Description

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ

Biên soạn: TS. Lê Thị Ngọc Diệp Khoa Quản trị Kinh doanh 1

Hà Nội, Năm 2021

Bài tập Toán Kinh tế MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ ............................................................................ 2 CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ...................................................... 7 CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI .................................................................. 14 CHƯƠNG 4. MÔ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG .......................................... 19 CHƯƠNG 5. MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG..................................... 23 CHƯƠNG 6. MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ .................................................................... 26

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

1

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 1 – Mô hình Toán kinh tế

CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1. Cho hàm tổng chi phí TC = 5000 +

5Q 2 (Q là sản lượng) Q3

a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC. b/ Tính chi phí trung bình AC tại Q = 100. c/ Vẽ đồ thị hàm chi phí biến đổi trung bình (VC/Q). d/ Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 17. Đáp số: b/ 54,85437; d/ 0,01638 1.2. Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 (Q là sản lượng). Giá P được xác định bởi phương trình Q = 800 – 2,5 P. a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC. b/ Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó. c/ Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80. Đáp số: c/ 1,695652 1.3. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = - 10Q2 + 1000Q và hàm tổng chi phí TC 1 2000 , trong đó Q là sản lượng. Hãy xác định mức sản lượng tối đa = Q3 – 25Q2 + 600Q + 3 3 hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Lời giải có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? Đáp số: Q* = 40 (đơn vị sản lượng); π* = 18000 (đơn vị tiền tệ) 1.4. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8, trong đó: K = 120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t. a/ Tính hệ số co giãn của Y theo K và L. b/ Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và kết quả sản xuất Y. c/ Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này. 1.5. Xét mô hình lợi nhuận  (Q) = TR(Q) – TC(Q) – a.TR(Q). Trong đó: TR là tổng doanh thu, TC là tổng chi phí, a là thuế suất theo doanh thu. a/ Xác định biểu thức điều kiện của Q để lợi nhuận đạt cực đại. b/ Khi thuế suất tăng, mức Q tối ưu biến động như thế nào? 1.6. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất dạng: Q = K0,65 + L0,35 với pK = 8, pL = 6 và p = 4 Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động. TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

2

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 1 – Mô hình Toán kinh tế

a/ Hãy xác định mức sử dụng vốn và lao động tối ưu. b/ Hãy phân tích tác động của giá vốn, giá lao động đến mức sản lượng của DN. Đáp số: a/ K* = 0,04; L* = 0,1066 1.7. Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên: MC = 2Q2 - 12Q + 25, chi phí cố định FC và giá bán sản phẩm p. a/ Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20. Với p = 39 hãy xác định mức sản lượng và mức lợi nhuận tối ưu. b/ Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng và mức lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào? Đáp số: a/ Q* = 7; Π* = 143,3. b/ Khi giá tăng 10% thì sản lượng tối ưu tăng 3,48% và lợi nhuận tối ưu tăng 19% 1.8. Một doanh nghiệp có công nghệ sản xuất cho bởi hàm sản xuất: Y(t) = 0,4 K(t) + 0,7 L(t) Trong đó Y(t) là kết quả sản xuất năm t; K(t) là vốn đầu tư năm t; L(t) là sức lao động năm t (K > 0, L > 0). a/ Phân tích xu hướng thay đổi của kết quả sản xuất theo vốn đầu tư và theo sức lao động. Hàm sản xuất có tính chất hiệu quả thay đổi theo quy mô không? Vì sao? b/ Xác định hệ số thay thế của sức lao động cho vốn và ngược lại. Đáp số: b/ MRTS(L,K) = - 0,5714, MRTS(K,L) = -1,75. 1.9. Một doanh nghiệp có công nghệ sản xuất cho bởi hàm sản xuất: Y t  A  t  .K2 3  t  .L1 3  t  , trong đó Y(t) là kết quả sản xuất năm t, A  t   e 0.3t là tác động của tiến bộ khoa học – công nghệ năm t, K t  K0  0.6t là vốn đầu tư năm t; L  t  L0  0.5t là sức lao động năm t. a/ Xác định xu hướng thay đổi của hệ số tăng trưởng của kết quả sản xuất năm t khi chỉ K(t) thay đổi? Khi chỉ L(t) thay đổi? Khi chỉ A(t) thay đổi? Khi cả A(t), K(t), L(t) cùng thay đổi? b/ Quá trình sản xuất của doanh nghiệp có biến đổi theo quy luật hiệu quả thay đổi theo quy mô không? Vì sao? 1.10. Tổng chi phí sản xuất của một doanh nghiệp được cho bởi hàm: C(Q) = Q3 – 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0), trong đó Q là kết quả sản xuất. a/ Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất, từ đó có nhận xét gì về sự mở rộng sản xuất của doanh nghiệp. b/ Tính hệ số co dãn của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất tại Q = 4. Với Q = 4, thuế doanh thu là 20%, tìm điều kiện để doanh nghiệp có lãi? doanh nghiệp hòa vốn? doanh nghiệp lỗ vốn? Đáp số: b/ Hệ số co dãn của C(Q) theo Q tại Q = 4 là 0,4783. Với Q  4 , thuế doanh thu là 20%, doanh nghiệp có lãi khi p > 57,5, hòa vốn khi p = 57,5, lỗ vốn p < 57,5.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

3

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 1 – Mô hình Toán kinh tế

1.11. Một công ty có thể sản xuất và cung ứng cho thị trường hai mặt hàng với hàm tổng doanh thu và hàm tổng chi phí như sau: TR = P1Q1 + P2Q2 , TC = 2Q12 + Q1Q2 + 3Q22. Trong đó: Pi, Qi là giá cả và sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2). a/ Xác định công thức tính tổng lợi nhuận cực đại. b/ Áp dụng công thức tìm được ở câu a, tìm sản lượng cực đại lợi nhuận c/ Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo từng mặt hàng và hệ số co giãn đồng thời theo cả hai mặt hàng tại điểm cực đại lợi nhuận tìm được ở câu b. Đáp số : c/

 QTC,Q (Q1* , Q2* )  2 1

2

1.12. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau: Q1 = 40 – 2P1 – P2 ; Q2 = 35 – P1 – P2 . Tổng chi phí là hàm của các sản lượng: TC = Q12 + 2Q22 + 12. Trong đó: Pi , Qi là giá cả và sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2). a/ Xác định mức Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận đạt cực đại. b/ Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a. c/ Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng không? Đáp số : a/ Q1* = 25/7 ; Q2* = 65/14

c/ Hai mặt hàng không thay thế cho nhau.

1.13. Độ hữu dụng (U) của người tiêu dùng khi tiêu thụ hai loại hàng hoá a và b có dạng: U = 1,2A0,4B0,2 (trong đó A và B là mức tiêu thụ hàng hoá a và b). a/ Độ hữu dụng sẽ biến động như thế nào nếu người tiêu dùng tăng mức tiêu thụ cả hai loại hàng hoá lên 10%? b/ Có thể nói rằng hai loại hàng hoá trên có thể thay thế được cho nhau với tỷ lệ 1:1 hay không? 1.14. Hàm lợi ích của người tiêu dùng (U) khi tiêu dùng hai loại hàng hoá 1, 2 có dạng : U = (x1 + 2)(x2 + 1) (trong đó x1 và x2 là mức tiêu thụ hàng hoá 1 và 2). a/ Hai loại hàng hoá trên có thể thay thế cho nhau theo tỷ lệ 1:1 hay không? Lợi ích biên của chúng có như nhau không? b/ Cho biết giá của hai loại hàng hoá lần lượt là p1 = 4, p2 = 6 và thu nhập của người tiêu dùng là M = 130. Hãy xác định mức cầu hai loại hàng hoá trên nhằm tối đa hoá lợi ích của người tiêu dùng? Đáp số: b/ X1* = 16 ; X2* = 11. 1.15. Mức cung một loại nông sản (S) phụ thuộc vào giá của nông sản (P), lượng mưa (R) và có dạng: S = a + bP2 + R0,5, trong đó a < 0, b > 0. a/ Hãy xác định các biểu thức phân tích tác động (tương đối) riêng và đồng thời của giá, lượng mưa tới mức cung.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

4

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 1 – Mô hình Toán kinh tế

b/ Theo dự báo có khả năng thời tiết khô hạn nên mưa sẽ giảm. Để ổn định mức cung nông sản, Nhà nước sẽ trợ giá cho nông dân. Hãy xác định biểu thức tính mức trợ giá cần thiết theo dự đoán về mức giảm sút của lượng mưa. 1.16. Mức cầu tiền tệ (M) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có dạng như sau: M = 0,1Y0,02r -0,2 a/ Hãy xác định mối quan hệ giữa mức cầu tiền tệ với thu nhập và lãi suất. b/ Trong trường hợp thu nhập không đổi, nếu muốn giảm mức cầu tiền tệ 5% thì phải điều chỉnh lãi suất như thế nào? Đáp số : b/ Muốn M giảm 5% thì cần tăng lãi suất lên 25%. 1.17. Hàm cầu (D) và hàm cung (S) về một loại hàng hoá có dạng như sau: D = 0,2p-0,1M0,2 ; S = 0,1p0,4q-0,05 Trong đó: p là giá hàng hoá, M là thu nhập của người tiêu dùng, q là mức giá chung của các yếu tố được sử dụng để sản xuất hàng hoá. Với mô hình trên: a/ Nếu giá hàng hoá tăng 10% thì mức cầu sẽ biến động như thế nào? b/ Có thể cho rằng nếu giá hàng hoá và mức giá chung của các yếu tố được sử dụng để sản xuất hàng hoá tăng cùng tỷ lệ thì mức cung không đổi hay không? c/ Hãy phân tích tác động của thu nhập, mức giá chung của các yếu tố được sử dụng để sản xuất hàng hoá tới mức giá cân bằng. 1.18. Hàm cầu (D) và hàm cung (S) về một loại hàng hoá có dạng như sau: D = 100 – 0,3p ; S = – 50 + 0,2(p – t) Trong đó: p là giá hàng hoá, t là thuế đánh vào một đơn vị hàng hoá bán ra. Cho t = 10. a/ Tính độ co giãn của giá cân bằng theo thuế t và nêu ý nghĩa của kết quả thu được. b/ Nếu Chính phủ muốn giá cân bằng ở mức p = 280 và trợ cấp hàng hoá cho phía cầu thì số trợ cấp cần thiết là bao nhiêu? c/ Chính phủ muốn lượng cân bằng là 10. Để đạt được mục tiêu đó, Chính phủ có thể giảm thuế phía cung hoặc trợ cấp cho phía cầu. Cách làm nào sẽ lợi hơn nếu xét trên quan điểm thu – chi ngân sách? 1.19. Cho mô hình: Y = C + I + G + EX – IM Trong đó: C = βYd (0 < β < 1) ; IM = ρYd (0 < ρ < 1) ; Yd = (1 – t)Y; với Y là thu nhập quốc dân, Yd là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu của Chính phủ, EX là xuất khẩu, IM là nhập khẩu, t là thuế suất thuế thu nhập; β và ρ là các tham số. a/ Với β = 0,85; ρ = 0,3; I = 200; G = 500; EX = 150; t = 0,1, hãy xác định thu nhập quốc dân, cán cân thương mại ở tình huống cân bằng.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

5

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 1 – Mô hình Toán kinh tế

b/ Với các chỉ tiêu ở câu a, có ý kiến cho rằng: Nếu Chính phủ tăng thuế suất 10% thì có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. Hãy nhận xét ý kiến này. 1.20. Một số chỉ tiêu của nền kinh tế quốc dân có mối liên hệ như sau: Y = C + I + G + EX – IM Trong đó: C = 0,9Yd; IM = 0,15Yd ; Yd = (1 – t)Y; với Y là thu nhập quốc dân, Yd là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu của Chính phủ, EX là xuất khẩu, IM là nhập khẩu, t là thuế suất thuế thu nhập. Cho I0 = 200; G0 = 270; EX0 = 180; t0 = 0,15 a/ Tại mức thu nhập quốc dân cân bằng, có thặng dư hay thâm hụt ngân sách, có thặng dư hay thâm hụt thương mại hay không? b/ Có thể nói rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì Chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng hay không? c/ Chi tiêu của Chính phủ cần tăng thêm bao nhiêu để thu nhập quốc dân đạt mức Y = 1800, khi đó các chỉ tiêu khác (đo bằng các biến nội sinh của mô hình) thay đổi như thế nào? 1.21. Một số chỉ tiêu của nền kinh tế quốc dân có mối liên hệ như sau: Y = C + I + G + NX C = 20 + 0,75Yd; G = 20 + 0,1Y ; Yd = (1 – t)Y với Y là thu nhập quốc dân, Yd là thu nhập khả dụng, C là tiêu dùng, I là đầu tư, G là chi tiêu của Chính phủ, NX là xuất khẩu ròng, t là thuế suất thuế thu nhập. Cho I0 = 25; NX0 = 15. a/ Nếu Nhà nước muốn cân đối ngân sách thì phải định thuế suất t là bao nhiêu? b/ Có ý kiến cho rằng: việc gia tăng đầu tư I không ảnh hưởng tới tình huống cân đối ngân sách ở câu a. Ý kiến này đúng hay sai? Tại sao?

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

6

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính

CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4  max 3x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 8 x1 + 2x2 - 4x3 + 3x4 = 3 -2x1

+ x3 + 3x4 = 5

xj  0 ( j = 1 ÷ 4) a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập bởi hệ số các ẩn x1, x2, x3 ở hệ ràng buộc là độc lập tuyến tính. b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 nếu có. 2.2. Cho bài toán QHTT: f(x) = x1 + 2x2 - x3 + 3x4  max 6x1 + 4x2 - 2x3 + 2x4 x1 + 2x2 - x1

-

x4

= 16 = 4

+ 2x3 + 5x4 = 10

xj  0 ( j = 1 ÷ 4) Tìm tất cả các PACB suy biến của bài toán và cơ sở tương ứng của nó. Đáp số: Vậy x = (0, 3, 0, 2) là PACB suy biến (duy nhất) với các cơ sở tương ứng là A1, A2, A4 hoặc A2, A3, A4. 2.3. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4 + x5  max 3x1 - 2x2 + 3x3 + 5x4 – x5 = 10 - 2x1 + x2 + 2x3 + x4 – 3x5 = 1 4x1 + 3x2 – x3 – 7x4 + x5 = 9 xj  0 ( j = 1÷ 5)

a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập bởi hệ số các ẩn x1, x2, x3 ở hệ ràng buộc là độc lập tuyến tính. b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 nếu có. 2.4. Cho bài toán QHTT: f(x) = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 + x5  max 3x1 + 4x2 - x3 + x4 x1 - 3x2 -2x1

-

= 11

x4 + x 5 = 0

+ x3 + 3x4

= 9

xj  0 ( j = 1÷ 5) Tìm một PACB của bài toán và cơ sở của nó. TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

7

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính

2.5. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 2x1 – x2 + 4x3  max x1 + 2x2 – x3 ≥ 1 3x1 – x2 + 4x3 ≤ 12 x1

+ 2x3 ≤ 10

xj  0 (j = 1÷3) a/ Chứng minh bài toán có phương án tối ưu. b/ Với f(x)  min, chứng minh bài toán không có phương án tối ưu. Hãy chỉ ra một dãy các phương án mà trên đó f(x) giảm vô hạn. 2.6. Cho bài toán QHTT:

f(x) = x1 + 8x2 + 10x3  min x1 + x2 + 4x3 = 2 x1 - x2 + 2x3 = 0 xj  0 ( j = 1,3 )

Không giải, hãy chứng minh bài toán có PACB tối ưu. 2.7. Cho bài toán QHTT sau: f(x) = x1 + 4x2 + x3  max 4x1 + 11x2 + 3x3 ≥ - 7 x1 + x 2 - x 3 = 0 xj ≤ 0 (j = 1,3 ) Không giải, hãy chứng minh bài toán có PACB tối ưu và xác định một PACB tối ưu. 2.8. Cho bài toán QHTT:

f(x) = x1 + 8x2 + x3  min x1 + x2 + 4x3 = 10 - x1 - 2x2 + x3 = 0 xj  0 ( j = 1 ÷ 3)

a/ Không giải, hãy chứng minh bài toán có PACB tối ưu. b/ Tìm tập hợp các PACB của bài toán. Đáp số: b/ Tập hợp các PACB: X = {x1, x2} với x1 = (0, 10/9, 20/9) và x2 = (2, 0, 2) 2.9. Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình: f(x) = x1 - x2 - 3x3  min 2x1 - x2 + x3  2 4x1 - 2x2 + x3  - 4 3x1

+ x3  10

xj  0 ( j = 1 ÷ 3) Đáp số: Phương án tối ưu: x* = (2/3, 22/3, 8) với fmin = - 92/3 TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

8

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính

2.10. Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình : f(x) = 2x1 + x2 - x3  min x1 - 2x2 + x3 = 8 x2 - 4x3 

4

x2 - 2x3  - 10 xj  0 (j = 1 ÷ 3) Hướng dẫn: Đưa bài toán về dạng chính tắc. Sau đó lập bài toán M, giải bằng phương pháp đơn hình. Từ bảng cuối cùng xác định được bài toán M không có lời giải nên bài toán chính tắc cũng có lời giải. Vậy bài toán gốc cũng không có lời giải. 2.11. Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình: f(x) = x1 + 5x2 + 4x3 - 6x4  max 2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4  1 5x1 - 6x2 + x3 - x4  3 4x1 + x2 - 2x3 + 3x4  2 xj  0 ( j = 1,4 ) 2.12. Cho bài toán QHTT:

f(x) = - 10x1 + 3x2  min mx1 + 3x2  8 mx1 + x2  15 x1  0 , x2  0 với m  0

a/ Bằng phương pháp đơn hình, giải và biện luận bài toán theo tham số m. b/ Áp dụng giải bài toán khi m = 8. Hướng dẫn: Đưa về dạng chính tắc; lập bảng đơn hình, giải và biện luận theo bảng đơn hình. Kết quả: với m < 0 thì bài toán không có lời giải; với m > 0 thì lời giải của bài toán là: xopt = (8/m, 0); fopt = - 80/m . 2.13. Cho bài toán QHTT:

f(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5  max x1 + 3x2 + 3x3 + x4 + 9x5 = 18 x1 + 5x2

+ 2x4 + 8x5 = 13 x3

+ x5 = 3

xj  0 ( j = 1,5 ) a/ Chứng tỏ véc tơ x0 = (0, 1, 2, 0, 1) là phương án cực biên. b/ Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình xuất phát từ x0.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

9

Bài tập Toán Kinh tế 2.14. Cho bài toán QHTT:

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính f(x) = 2x1 - x2

- x3 + 3x4  min

x1 + ax2 + x3

= 16

bx2 - 4x3 + x4 

8

x2 - 2x3 + 3x4  - 20 xj  0 ( j = 1,4 ) Với b  0, chỉ ra một khoảng giá trị của a để bài toán vô nghiệm. 2.15. Giải bài toán QHTT sau đây bằng phương pháp đơn hình: f(x) = 2x1 + x2 - x3 + 3x4

 min

x1 - 2x2 + x3

(1)

= 16

x2 - 4x3 + x4 

8

(2)

x2 - 2x3 + 3x4  - 20 xj  0 ( j = 1,4 ) 2.16. Cho bài toán QHTT:

(3)

f(x) = -2x1 + 5x2 - 4x3 + x4  max

(1)

2ax1 + 3x2 - x3 + x4 = 3 ax1 - 6x2 + x3

= 1

(2)

xj  0 ( j = 1,4 )

(3)

với a R; a  0 a/ Giải và biện luận bài toán theo a b/ Giải bài toán với a = 2. c/ Với a = 3, giải bài toán, đồng thời tìm các phương án của bài toán sao cho giá trị hàm mục tiêu bằng 0,1. 2.17. Cho bài toán QHTT:

f(x) = 8x1 - 2x2 - 6x3 → min 2x1 + 6x2 - 8x3 ≥ - 4

(1)

2x2 - 2x3 ≤ 10

(2)

4x1 - 8x2 + 6x3 ≥ - 6

(3)

2x1 - 6x2 - 2x1

+ 4x3

≥ - 15

(4)

≤ 6

(5)

và véc tơ x0 = (-1, 1, 1) a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu. b/ Phân tích các tính chất của x0 đối với bài toán đã cho. c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB của bài toán đối ngẫu. Đáp số: b/ x0 là PACB không suy biến và là phương án tối ưu của bài toán gốc. c/ Tập PA tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = {y0 = (1, 0, 1, 0, -1)}. PACB chính là y0. TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

10

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính

2.18. Cho bài toán QHTT: f(x) = 7x1 - 3x2 - 6x3 + 2x4 + 4x5 – 9x6  Min x1 - x2 - 2x3

+ x5 - 3x6 = - 16

(1)

+ 2x6  19

(2)

-2x1+ 2x2 + 4x3 + x4 + 3x5 + 6x6 ≤ 32

(3)

2x2 + 5x3 + x4 xj ≥ 0 (j = 1 ÷ 6) và phương án x0 = (0, 2, 1, 0, 0, 4)

a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu. b/ Nêu những tính chất có thể có của x0 đối với bài toán đã cho. c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB tối ưu của bài toán đối ngẫu. Đáp số: b/ x0 là phương án tối ưu của bài toán gốc nhưng không phải là PACB. c/ Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là: y* = {y = (3+ 2y3, 0, y3), y3 ≤ 0} PACB tối ưu: y0 = (3, 0, 0). 2.19. Cho bài toán QHTT: f(x) = - 9x1+ 5x2 + 15x3 + 6x4 + 7x5  Min 4x2 +

x3 - x4 + 2x5 = 4 (1)

3x1 + x2 – x3 + x4 - x5 ≤ 1 (2) - x1 – x2 + x3 - 2x4

≥ - 1 (3)

xj  0 (j = 2 ÷ 5) a/ Viết bài toán đối ngẫu. Chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu. b/ Cho véc tơ x0 = (1, 0, 0, 0, 2). Phân tích tính chất của x0 đối với bài toán gốc. c/ Xác định tập phương án tối ưu và các PACB tối ưu của bài toán đối ngẫu. Đáp số: b/ x0 là phương án cực biên tối ưu. c/ Tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = {y=(

7  y2 , y2, 9+3y2), - 3≤ y2 ≤ 0} 2

Các PACB tối ưu: y1 = (7/2, 0, 9), y2 = (2, -3, 0). 2.20. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính và véc tơ x* = (0, 1, 0, 2, 3): f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → min 3x1 + x2 + x3

=1

5x1 + x2 + x3 + x4

=3

2x1 + 5x2 + x3

+ x5 = 8

xj ≥ 0 (j = 1÷5). a/ Viết bài toán đối ngẫu, các cặp ràng buộc đối ngẫu. b/ Phân tích các tính chất của x* đối với bài toán đã cho.

TS. Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT

11

Bài tập Toán Kinh tế

Chương 2 – Mô hình quy hoạch tuyến tính

2.21. Cho bài toán QHTT: f(x) = 11x1 + 7x2 - 4x3 - 16x4  min x1 - 2x2 + x3 + 3x4 ≤ - 12

(1)

- x1 + 4x2 - 3x3 - 8x4  20