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Versuch Balancierstab...

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Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Fakultät für Maschinenwesen Technische Universität München

Praktikum Mechanik – Schwingungen WS20/21 (Modul MW0285) Balancierstab – Stabilisierung eines stehenden Pendels Betreuer: Philipp Seiwald

Inhaltsverzeichnis 1 Modellierung und Bewegungsgleichungen

2

2 Zustandsraumdarstellung

3

2.1 Bewegungsgleichung in Zustandsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Eigenwerte, Eigenvektoren und Hauptvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Stabilität zeitinvarianter linearer Schwingungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1 Beispiel: PT2-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.2 Eigenwerte des Pendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4.1 Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit des Pendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Entwurf eines Zustandsreglers durch Polvorgabe

11

4 Realisierung der Regelalgorithmen

13

4.1 Beschreibung des Versuchsaufbaues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Das PD-Regelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Digitale Umsetzung des PD-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Aufgaben zur Versuchsvorbereitung

18

6 Versuchsdurchführung

19 1

6.1 Simulation des Führungsverhaltens mit dem einfachen Modell aus der Versuchsvorbereitung . . . . . 19 6.2 Simulation des Führungs- und Störverhaltens mit dem erweitertem Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.3 Der reale Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Literatur

22

1 Modellierung und Bewegungsgleichungen Ein (ebenes) Pendel mit raumfestem Drehpunkt (s. Abb. 1 links) besitzt eine stabile (α = π) und eine instabile (α = 0) Gleichgewichtslage. Wirkt auf das vertikal ausgerichtete Pendel eine kleine Störung (Wind, Stoß, etc.), dann kehrt das System nicht in den Ausgangszustand zurück. Erst durch eine gezielte Bewegung des Pendeldrehpunktes ist es möglich, die instabile Gleichgewichtslage zu stabilisieren. Die Drehpunktbewegung wird im Praktikumsversuch durch einen horizontal verschiebbaren Wagen, welcher durch die Antriebskraft F beschleunigt werden kann, realisiert (s. Abb. 1 rechts). Die elektromagnetische Antriebskraft F wird in Abhängigkeit des Wagenortes w und des Pendelwinkels α bestimmt (⇒ Regelgesetz).

α g

2a

m

α

S y

w

M F x

Abbildung 1: Stehendes Pendel. Links: mit raumfestem Drehpunkt. Rechts: mit horizontal bewegtem Drehpunkt.

Ein mechanisches System, dargestellt in Minimalkoordinaten q und Minimalgeschwindigkeitenq ,˙ kann in erster Näherung bzgl. einer Referenzkonfiguration (q 0 , q˙0 , q¨ 0 ) durch die linearisierte Bewegungsgleichung (BWGL) in Gleichung (1) beschrieben werden.

      M q¨ − q¨ 0 + (D + G) q˙ − q˙ 0 + (K + N) q − q 0 = h f q q˙ M = +M T D = +D T G = −G T K = +K T N = −N T h

∈ N>0 ∈ R f ×1 ∈ R f ×1 ∈ Rf ×f ∈ Rf ×f ∈ Rf ×f ∈ Rf ×f ∈ Rf ×f ∈ R f ×1

Anzahl Freiheitsgrade Minimalkoordinaten Minimalgeschwindigkeiten symm. Massenmatrix symm. Dämpfungsmatrix schiefsymm. Matrix der gyroskopischen Kräfte symm. Matrix der konservativen Lagekräfte schiefsymm. Matrix der nichtkonservativen Lagekräfte verallgemeinerter Kraftvektor 2

(1)

¨ 0 ) mit den Minimalkoordinaten Beschreibt man die Bewegung des Pendels an der Linearisierungsstelle (q 0 ,q ˙0 , q bzw. Minimalgeschwindigkeiten (s.a. Abb. 1) T  q= w α ,

 T q˙ = w˙ α˙ ,

 T q 0 = w0 0 ,

q˙ 0 = 0 ,

(2)

q¨ 0 = 0

dann lautet der verallgemeinerte Kraftvektor

 h= F

T 0 .

(3)

Zur Erinnerung: • Kinetische Energie eines Starrkörpers: 1 1 T T T = TTrans + TRot = m I v S I v S + K ω K ΘS K ω 2 2 m K ΘS I vS Kω

(4)

Masse des Körpers Trägheitstensor bzgl. des Schwerpunktes S angegeben im körperfesten Koordinatensystem K Absolutgeschwindigkeit des Schwerpunktes S angegeben im Inertialsystem I Absolutwinkelgeschwindigkeit des Körpers angegeben im körperfesten Koordinatensystem K

• Lagrange II:     ∂T ∂V T d ∂T − + = QNK ∂q dt ∂ q˙ ∂q q q˙

Minimalkoordinaten Minimalgeschwind.

T V

(5)

kinetische Energie

QNK

nichtkonservative Kräfte

potentielle Energie

• Totales Differential: f = f (q , q˙ )

∂f ¨ ∂f ˙ d q+ f = q dt ∂q ∂ q˙

⇒

(6)

(s.a. Vorlesungsunterlagen zum Grundlagenfach Mechanik; Prof. dr.ir. Daniel J. Rixen)

2 Zustandsraumdarstellung Als Zustandsraum wird die Menge der Zustände bezeichnet, die ein dynamisches System zu einem bestimmten Zeitpunkt einnehmen kann. Der Zustand eines mechanischen Systems wird im Allgemeinen durch Angabe der Lage und der Geschwindigkeit des Körpers definiert.

2.1 Bewegungsgleichung in Zustandsform 

Der Zustand des Systems wird mathematisch mit dem Zustandsvektor x = q T q˙T sierte BWGL (s. Gleichung (1)) lautet in Abhängigkeit des Zustandvektors:

T

dargestellt. Die lineari-

1. Umformulierung der linearisierten BWGL:

q˙ = q˙



M q¨ = M q¨ 0 − (D + G) q˙ − q˙ 0



  − (K + N) q − q 0 + h

3

(7) (8)

2. Zwischenschritt:

    M q¨ = M q¨ 0 − (D + G) q˙ − q˙ 0 − (K + N) q − q 0 + h

(9) (10)

¨ + (D + G) q˙ 0 + (K + N) q 0 + h − (D + G) q˙ − (K + N) q = Mq | 0 {z } ¯ =:h

¯ = h − (D + G) q˙ − (K + N) q    q ¯  = h − (K + N) (D + G) ˙ q

(11) (12)

3. Zustandsdifferentialgleichung: ( I = Einheitsmatrix)



I 0 0 M

       0 q 0 I q˙ ¨q = − (K + N) − (D + G) q˙ + ¯h       0 I q˙ 0 = ˙ x+ ⇒x = ¨ ¯ M −1 h −M −1 (K + N) −M −1 (D + G) q | {z } | {z }

(13) (14)

Bu

A

4. Bewegungsgleichung in Zustandsform:

x˙ = Ax + Bu n m x x˙

∈N ∈N ∈ R n×1 ∈ R n×1

(15)

Anzahl der Zustände Ò = 2· f Anzahl der Eingangsgrößen

Zustandsvektor

∈ R n×n ∈ R n×m

A B

zeitliche Ableitung von x

Systemmatrix (Dynamikmatrix) Eingangsmatrix

Nachdem die BWGL für das Pendel aufgestellt und linearisiert wurde, erhält man folgende Systemmatrix A und Eingangsmatrix B :



 0 0 1 0 0 0 0 1 A= , 0 a1 0 0 0 a2 0 0

 0 0  B=b=  . b1 b2 

(16)

Die konstanten Parameter a1 , a2 , b1 und b2 ergeben sich aus den Systemparametern (Geometrie, Material, etc.). Die Eingangsgröße u ist hier die Antriebskraft F : (17)

u =u=F .

2.2 Eigenwerte, Eigenvektoren und Hauptvektoren 



T 

Im Folgenden wird das Verhalten des Systems bei gegebenen Anfangsbedingungen x 0 = q0 T q˙ 0T ohne Stellgrößeneinfluss (u = 0) untersucht. Dieses Verhalten wird Eigenverhalten genannt und erfordert die Betrachtung der homogenen DGL:

x˙ = A x .

(18)

Wählt man den Ansatz x = e λ (t−t 0 ) v , so folgt:

λ e λ (t−t 0 ) v = A e λ (t−t 0 ) v

⇒

(19)

(λ I − A) v = 0

Lässt man den trivialen Fall v = 0 außer Acht, so muss für (19) gelten:

det (λI − A) = P (λ) = λn + k1 λn−1 + ... + kn =

Y i

4

(λ − λi ) g i = 0 .

(20)

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P(λ) werden Eigenwerte (λi ) des Systems genannt. Zu jedem Eigenwert (EW) mit Vielfachheit g i lassen sich di linear unabhängige Eigenvektoren (EV) v i finden. Die Anzahl di (Rangabfall) wird mit

di = n − rg(λi I − A)

(21)

berechnet. Ist der Rangabfall di gleich der Vielfachheit g i , kann der Ansatz aus Gleichung (19) für die Berechnung des Eigenvektors beibehalten werden. Ist der Rangabfall jedoch kleiner als die Vielfachheit, muss der Lösungsansatz (Eigenschwingungsform)

xi = e

λi (t−t 0 )



(t − t 0 )1 (t − t 0 )2 (t − t 0 )l vi + h i,1 + h i,2 + ... + h i,l 1! 2! l!



(22)

für einen Eigenwert λi gewählt werden. Die Hauptvektoren (HV) h i, j , Eigenvektoren der Stufe j , werden mit

(λi I − A) h i,1 = v i ,

(λi I − A) h i, j = h i, j−1

j = 2 ... l i

(23)

berechnet, wobei es genau l i = g i − di − 1 ≥ 0 zusätzliche Hauptvektoren gibt.

Die Eigenschwingung (homogene Lösung) der Differentialgleichung ist die Linearkombination der Eigenschwingungsformen (auch Eigenform oder Mode genannt):

x h (t) =

X

(24)

c i x i (t) .

i

Die Koeffizienten c i ergeben sich aus der Anfangsbedingung x h (t = t 0 ) = x 0 . Weiterführende Literatur: [6], [5] und [2, S.149ff].

2.3 Stabilität zeitinvarianter linearer Schwingungssysteme Das Stabilitätsverhalten linearer Systemex˙ = A x ist durch die Eigenwerte, unabhängig von den Anfangsbedingungen, vollständig charakterisiert (gilt i.A. nicht für nichtlineare Systeme). Für lineare Systeme lassen sich damit folgende Stabilitätsaussagen treffen: Die Gleichgewichtslage x = 0 eines linearen zeitinvarianten Systemsx ˙ = A x mit beschränkten Anfangswert x (t = t 0 ) = x 0 , ist genau dann (s.a. [2]) 1. asymptotisch stabil, wenn alle EW von A negative Realteile (Re{λi } < 0) haben. 2. stabil bzw. grenzstabil, wenn A keine EW mit positivem Realteil, aber solche mit verschwindendem Realteil besitzt (Re{λi } = 0). Bei mehrfachen Eigenwerten ( g i > 1) muss der Rangabfall di gleich der Vielfachheit g i dieser Eigenwerte sein (keine HV). 3. instabil, wenn mindestens ein EW von A einen positiven Realteil hat (Re{λi } > 0), oder der Rangabfall bei mehrfachen Eigenwerten kleiner der Vielfachheit g i ist. Im Folgenden wird angenommen, dass ein System mit einfachen konjugiert komplexen Eigenwerten vorliegt. Liegen mehrfache Eigenwerte vor, dann soll der Rangabfall gleich der Vielfachheit sein. Die homogene Lösung ist dann:

x h (t) =

X

c i e λi (t−t 0 ) v i .

(25)

i

Die zuvor getroffenen Stabilitätsaussagen lassen sich verdeutlichen, wenn man die Euler-Formel für e λ (t−t 0 ) verwendet:

e λ (t−t 0 ) = e (−δ± j ω)(t−t 0 ) = e −δ(t−t 0 ) [cos(ω (t − t 0 )) ± j sin(ω(t − t 0 ))] . 5

(26)

Berücksichtigt man, dass die Lösung der Differentialgleichung rein reell ist, ergibt sich folgender Zusammenhang für die homogene Lösung:

x h (t) =

X i

¯ci e−δi (t−t 0 ) sin(ωi (t − t 0 ) + ϕi ) .

(27)

Die Koeffizienten c¯i und ϕi ergeben sich wiederum aus den Anfangsbedingungen. Der Parameter δ i ist die Abklingkonstante und der Parameter ωi ist die Eigenkreisfrequenz der i -ten Eigenform. Da in Gleichung (27) die Dauerschwingung (sin(ωi (t − t 0 ) + ϕi ) ⇒ Abhängigkeit von den Anfangswerten und von dem Imaginärteil eines Eigenwertes) separat von der einhüllenden Kurve (e −δi (t−t 0 ) ⇒ Abhängigkeit von dem Realteil eines Eigenwertes) betrachtet wird, ist ersichtlich, dass in den Stabilitätsaussagen nur der Realteil der Eigenwerte auftritt. Im folgenden Kapitel soll der Einfluss von Abklingkonstante und Eigenkreisfrequenz für die Sprungantwort eines PT2-Gliedes betrachtet werden. 2.3.1 Beispiel: PT2-Glied Die Differentialgleichung eines PT2-Gliedes lautet (analog zum Einmassenschwinger)

¨ y + 2 ϑ ω ˙y + ω2 y = ω2 u .

(28)

Hierbei sind ω die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems und ϑ das Lehrsche Dämpfungsmaß. Transformation in den Frequenzbereich liefert die Übertragungsfunktion

G(s) =

Y (s) ω2 . = 2 s + 2 ϑ ω s + ω2 U(s)

(29)

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen sich zu

λ1,2 = −ϑ ω ±

p p ϑ2 ω2 − ω2 = −ϑ ω ± ω ϑ2 − 1 = −δ ± j ω⋆ .

(30)

Hierbei sind die Abklingkonstante δ und die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems ω⋆ definiert durch

δ := ϑ ω , Hiermit gilt auch

ω=

ω⋆ :=

p ω2 − δ 2

p δ ω⋆2 + δ 2 und ϑ = p ω⋆2 + δ 2

(31)

für |ω| 6= 0 .

(32)

Es lassen sich drei wichtige Fälle unterscheiden1 : 1. Fall: Aperiodischer Fall Die Eigenwerte des Systems sind rein reell: Im{λ} = 0. Forderung: ϑ2 − 1 ≥ 0

⇒

|ϑ | ≥ 1

1. Unterfall: stabil (s. Abb. 2) ⇒ ϑ ≥ 1 (d. h. δ > 0)

Die Einschwingzeit bei größerer Abklingkonstante δ ist größer.

2. Unterfall: instabil (s. Abb. 3) ⇒ ϑ ≤ −1 (d. h. δ < 0)

Das System mit betragsmäßig größerer Abklingkonstante δ erreicht schneller große Auslenkungen.

1

Bemerkung: Die Eingangsgröße wird mit ω2 verstärkt.

6

1.2 1

5

0.8 0

0.6 0.4

-5

0.2 0 -5

0

5

0

2

4

6

8

10

1

Abbildung 2: Eigenwerte und Sprungantwort eines PT2-Gliedes: aperiodisch stabil (mit ω = 2 s ).

1.2

0.4

1 0.2 0.8 0

0.6 0.4

-0.2 0.2 -0.4 -0.4

0 -0.2

0

0.2

0.4

0

2

4

6

8

10

1

Abbildung 3: Eigenwerte und Sprungantwort eines PT2-Gliedes: aperiodisch instabil (mit ω = 0.1 s ).

2. Fall: Periodischer Fall Die Eigenwerte des Systems sind konjugiert komplex: Im{λ} 6= 0. Forderung: ϑ2 − 1 < 0

⇒

|ϑ | < 1

1. Unterfall: asymptotisch stabil (s. Abb. 4) ⇒ 0 < ϑ < 1 (d. h. δ > 0)

Größere Eigenkreisfrequenzen führen einerseits zu größeren Überschwingungen und anderseits zu hochfrequenteren Systemantworten. Die Einschwingzeit bleibt jedoch unverändert.

2. Unterfall: instabil (s. Abb. 5) ⇒ −1 < ϑ < 0 (d. h. δ < 0)

Es ergibt sich eine Schwingung mit ansteigender Amplitude.

3. Unterfall: grenzstabil (s. Abb. 6) ⇒ ϑ = 0 (d. h. δ = 0)

Es stellt sich eine Dauerschwingung konstanter Amplitude ein.

7

1.5

2

1 1 0 0.5 -1

-2

0 -2

0

2

0

2

4

6

8

10

1

Abbildung 4: Eigenwerte und Sprungantwort eines PT2-Gliedes: periodisch stabil (mit ω = 2 s ).

20

3 2

10 1 0

0 -1

-10 -2 -3

-20 -2

0

2

0

2

4

6

8

10

1

Abbildung 5: Eigenwerte und Sprungantwort eines PT2-Gliedes: periodisch instabil (mit ω = 3 s ).

3

5

2.5 2 1.5

0

1 0.5 -5

0 -5

0

0

5

2

4

6

8

10

Abbildung 6: Eigenwerte und Sprungantwort eines PT2-Gliedes: periodisch grenzstabil (d. h. ϑ = 0).

8

3. Fall: Aperiodischer Grenzfall Der aperiodische Grenzfall kennzeichnet den Übergang zwischen periodischem und aperiodischem Systemverhalten aus. Es liegt ein rein reeller Doppelpol (Eigenwert) vor. Forderung: |ϑ| = 1 Analog zu den vorhergehenden Fällen lassen sich instabile bzw. stabile Konfigurationen erstellen (s. Abb. 2 und 3). Der stabile aperiodische Grenzfall besitzt die kürzeste Einschwingzeit ohne Überschwingung. Weiterführende Literatur: [8, S.228ff], [9] und [3]

2.3.2 Eigenwerte des Pendels Für das ungeregelte stehende Pendel erhält man folgendes charakteristisches Polynom für die linearisierte Bewegungsgleichung:

  λ2 λ2 − a2 = 0

(33)

Daraus resultieren die Eigenwerte

λ1,2 = 0 (doppelt)

und

p λ3,4 = ± a2 (einfach) .

(34)

Da a2 > 0 und damit Re{λ3 } > 0 ist, erhält man für das ungeregelte System ein instabiles Eigenverhalten, womit die praktische Beobachtung, dass sich das stehende Pendel in einer instabilen Gleichgewichtslage befindet, bestätigt wird. Eine kleine Störung des Pendels führt demzufolge zu einer instabilen aperiodischen Bewegung. Diese Aussage ist jedoch nur für sehr kleine Winkelausschläge zutreffend. In der Realität würde das Pendel in der stabilen Gleichgewichtslage nach endlicher Zeit zum Stehen kommen. Doppelte EW λ1,2 = 0 treten immer in Starrkörper-Systemen auf, die in einem oder mehreren Freiheitsgraden nicht inertial gefesselt sind (freie Starrkörperbewegung). Weiterführende Literatur: [5], [9] und [2].

2.4 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Bisher wurde anhand der Analyse des Eigenverhaltens bestätigt, dass sich das stehende Pendel in einer instabilen Gleichgewichtslage befindet. Anschließend muss untersucht werden, ob das System mit den vorhandenen Messgrößen und Aktoren überhaupt stabilisiert werden kann. Einerseits muss das System steuerbar („System gehorcht“) und andererseits beobachtbar („Systemzustand identifizieren“) sein. Zusätzlich zu der Zustandsgleichung (15) wird anhand der Messgleichung (35) definiert, welche Zustände bzw. Stellgrößen gemessen werden. (35)

y =C x +Du C D x u y

∈ R p×n ∈ R p×m ∈ R n×1 ∈ R m×1 ∈ R p×1

Ausgangsmatrix Durchgangsmatrix Zustandsvektor Eingangsgröße Ausgangssgröße

n m p

∈N ∈N ∈N

Anzahl der Zustände Ò = 2· f Anzahl der Eingangsgrößen

Anzahl der Ausgangsgrößen

Ein linear zeitinvariantes System

x˙ = A x + B u ,

(36)

y =C x +Du

• ist vollständig steuerbar, wenn für jeden Anfangszustand x 0 und jeden beliebigen Zustand x 1 ein endlicher Zeitpunkt t 1 und eine im Zeitintervall [0, t 1 ] definierte Eingangsfunktion u existieren, so dass die in x 0 beginnende Lösungstrajektorie für t = t 1 den Wert x 1 annimmt. 9

Kriterien für den Nachweis: 1. Kalman-Kriterium (Vollständige Steuerbarkeit) rg



B

A2 B ... An−1 B

AB



(37)

=n

2. Hautus-Kriterium (Steuerbarkeit der einzelnen Eigenwerte λi überprüfen) rg

  λi I − A B = n

(38)

• ist vollständig beobachtbar, wenn für jeden Anfangszustand x 0 ein Zeitpunkt t 1 existiert, so dass man aus der Kenntnis der Steuerfunktion u und der Messgröße y im Zeitintervall [0, t 1 ] die Anfangsbedingung x 0 bestimmen kann. Kriterien für den Nachweis: 1. Kalman-Kriterium (Vollständige Beobachtbarkeit)



 C   C A    rg    ..  = n .

(39)

C An−1

2. Hautus-Kriterium (Beobachtbarkeit der einzelnen Eigenwerte λi überprü...