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Übung 13...

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Wintersemester 2017/2018

Prof. Dr. Michael Winkler Dr. Karin Mora

Mathematik 3 für Maschinenbauer Übungsblatt 13 Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf dem Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend zu erläutern. Verspätete Abgaben können nicht bewertet werden. Abgabe der Hausübungen bis Montag, 29.01.2018, bis 11:00 Uhr in den blauen Kästen im ersten Stock des D-Gebäudes. • Kasten Nr. 1: Übungsgruppen 1, 2 und 3 • Kasten Nr. 2: Übungsgruppen 4, 5 und 6 • Kasten Nr. 3: Übungsgruppen 7, 8 und 9 • Kasten Nr. 4: Übungsgruppen 10, 11 und 12

Gruppenübungen Aufgabe G 13.1 (Länge von γ ) Bestimmen Sie die Länge der Archimedischen Spirale gegeben durch den Weg γ   t cos(t) 2 γ : [0, 10π] → R , γ(t) := . t sin(t) Geben Sie dazu die Tangentenvektoren γ(t) ˙ explizit an. Aufgabe G 13.2 (Potentialfunktion) (a) Prüfen Sie, ob die folgenden Vektorfelder die Integrabilitätsbedingungen (IBen) erfüllen.  2  x1 + x22 2 2 (i) f : R → R , f (x1 , x2 ) := . x21 x2   x2 cos(x1 x2 ) (ii) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) :=  x1 cos(x1 x2 ) − x3 sin(x2 x3 ) . −x2 sin(x2 x3 ) (iii) f : D → R3 mit D := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x12 + x22 > 1} und f (x1 , x2 , x3 ) :=  −x2  

x12+x22 x1 x12+x22

x3

.

(b) In welchen Fällen besitzt f eine Potentialfunktion? 1

Aufgabe G 13.3 (Potentialfunktion) Zeigen Sie, dass das Vektorfeld 3

3

f : R → R , f (x, y, z) :=

2xy + z 3 ! x2 + 3z 3z 2 x + 3y

R eine Potentialfunktion besitzt. Was können Sie jetzt über das Kurvenintegral γ f (x) • dx für einen geschlossenen Weg γ : [0, 1] → R3 aussagen? Bestimmen Sie anschließend die Potentialfunktion.

Hausübungen Abgabe: 29.01.2018, bis 11 Uhr Aufgabe H 13.1 (Länge von γ (5+5 Punkte)) (a) Gegeben ist der Weg γ1 : R → R3 , γ1 (t) :=

3 cos(2t) ! 3 sin( 2t ) . t 4

Stellen Sie den Abschnitt des Weges, der die Punkte (3, 0, 0) und (3, 0, 3π) verbindet, im xyz-Koordinatensystem graphisch dar und berechnen Sie die entsprechende Länge. (b) Gegeben ist der Weg 2

γ2 : [0, 2π] → R , γ2 (t) :=



2 cos3 t 2 sin3 t

 .

Stellen Sie den Weg γ2 im xy-Koordinatensystem graphisch dar und bestimmen Sie seine Länge. Aufgabe H 13.2 (Kurvenintegral (2+2+6 Punkte)) Gegeben ist das Vektorfeld f : R2 \ {0} → R2 , f (x, y) :=

1 x2 +y 2



−y x



und der Weg

 h πi  cos(t) 2 . γ1 : 0, → R \{0}, γ1 (t) := sin(t) 2 (a) Stellen Sie den Weg im xy-Koordinatensystem graphisch dar (machen Sie dabei auch die Laufrichtung deutlich). (b) Prüfen Sie die Integrabilitätsbedingungen (IBen). R (c) Berechnen Sie das Kurvenintegral γ1 f (x) • dx.

2

Aufgabe H 13.3 (Kurvenintegral (2+6+2 Punkte)) Gegeben ist das Vektorfeld f : R2 \ {0} → R2 , f (x, y) :=

1 x2 +y 2

der Weg  cos(πt)     − sin(πt) γ2 : [0, 2] → R2 \ {0}, γ2 (t) :=  t−2     t−1



−y x



(siehe H 13.2) und

falls t ∈ [0, 1] . falls t ∈ [1, 2]

Stellen Sie den Weg im xy-Koordinatensystem graphisch dar (machen SieR dabei auch seine Laufrichtung deutlich). Berechnen Sie anschließend das Kurvenintegral γ2 f (x) • dx. Vergleichen Sie das Ergebnis mit H 13.2, warum ergibt sich kein Widerspruch zu Satz 3.7? Hinweis: Für a, b ∈ R gilt d(arctan(at − b))/dt = (b−at)a2 +1 .

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