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Mathematik für Maschinenbau I 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik PD Dr. Christian Stinner Felix Johlke & Anna Walter

WiSe 2019/20 02. - 06. Dezember 2019

Gruppenübung Aufgabe G1 (Komplexe p Quadratwurzel) (a) Berechnen Sie 5 + 12i . (b) Bestimmen Sie alle Lösungen in C der Gleichung z 2 − 2(2 + 3i)z − 10 = 0. Geben Sie die Lösungen in der Form x + i y , x, y ∈ R, an. Aufgabe G2 (Lineare Gleichungssysteme und Lösbarkeit) Geben Sie für jedes lineare Gleichungssystem in dieser Aufgabe auch an, ob es jeweils unter- oder überbestimmt oder quadratisch ist. (a) Gegeben seien



3 A1 =  2 6

 2 0 , 4

 2 0 , 0

 3 A2 = 0 2



 2 ~b =  −4 , 1 4



 2 ~b =  d  , mit d ∈ R. 2 −4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von A1 x~ =b~1 . Für welche Werte von d gibt es Lösungen für A2 x~ = b~2 ? Bestimmen Sie für diese Werte die Lösungsmenge. Was fällt Ihnen auf? (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von



−1 0 0 4

   2 3 . x~ = 2 0

(c) Für welche Werte des Parameters λ ∈ R besitzt das Gleichungssystem

x1 + x2 − λ x3 = 2

x 1 + 2x 2 + x 3 = 3

x 1 + 2 x 2 + (λ2 − 3) x 3 = λ + 1 (i) keine, (ii) genau eine, (iii) mehrere Lösungen? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Lösungen in Abhängigkeit von λ. Aufgabe G3 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme im R n richtig sind und begründen Sie a11 x 1 + . . . + a1n x n = b1 .. .. Ihre Antworten. Betrachten Sie das Gleichungssystem . .

am1 x 1 +

...

+ amn x n = bm

n

(a) Die Lösungsmenge enthält die Null in R genau dann, wenn das System homogen ist. (b) Ist die Anzahl der Gleichungen m größer als die Zahl der Variablen n, so hat das System keine Lösungen. (c) Das System hat genau dann eine Lösung, wenn es in Stufenform gebracht werden kann. (d) Ist bei einem homogenen System die Anzahl der Gleichungen m kleiner als die Anzahl der Variablen n, so gibt es Lösungen, die nicht gleich Null sind.

1

(e) Gilt in einem homogenen System r = n, ist also der Rang gleich der Anzahl der Variablen, so ist das System eindeutig lösbar. Aufgabe G4 (*Zusatzaufgabe: Anwendungen von LGS) Bei der Mischung von geschmolzenem Kupfer und Zink entsteht eine Legierung, die Messing genannt wird. Unterschiedliche Arten von Messing können nun am Gehalt des Kupfer in der Legierung unterschieden werden. Das sogenannte Messing 60 enthält 60% reines Kupfer, Messing 80 enthält 80% usw. Wie viel kg Messing 60 und wieviel kg Messing 80 sind notwendig, um 25kg Messing 67 herzustellen? Stellen Sie zur Lösung der Aufgabe ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie dieses. Schreiben Sie das Gleichungssystem außerdem auch in Matrixschreibweise auf. Handelt es sich um ein homogenes oder inhomogenes lineares Gleichungssystem?

Hausübung

Abgabe der Hausübungen in Ihrer nächsten Übungsgruppe (in der Woche vom 09.12. bis 13.12.2019) Aufgabe H1 (Ein kleiner Gauß zum Aufwärmen) Lösen Sie das Gleichungssystem A~ x = b~ mit  1 2 A= 0 5 −5 0

(3 Punkte)

 0 −2 , 1



 5 ~b =  4  −2

unter Verwendung des Gauß-Algorithmus. Aufgabe H2 (Gauß-Algorithmus, Rang und Kern, Dimensionsformel) Es sei k ∈ R. Betrachtet wird das Gleichungssystem

(1+4+3 Punkte)

x 1 − 3x 3 = −3,

x 1 + 2x 2 + kx 3 = 1,

2x 1 + kx 2 − x 3 = −2.

(a) Schreiben Sie das obige Gleichungssystem in eine Matrixgleichung A~ x =b~um. (b) Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von k . Verwenden Sie dazu den GaußAlgorithmus. (c) Bestimmen Sie den Rang und den Kern der Matrix A (in Abhängigkeit von k ) und überprüfen Sie die Dimensionsformel aus der Vorlesung:

dim ker(A) + rang(A) = n Aufgabe H3 (Gauß-Algorithmus, Geraden) Gegeben seien folgende Geraden im R2 :

g1 : g2 : hα :

(2+4+3 Punkte)

 · 1 = −1, 1   · −2 = −4, x~ , 1   · −α = 12, x~ , −3 

x~ ,

α ∈ R.

(a) Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, um den Schnittpunkt der Geraden g 1 und g 2 zu bestimmen. Bestimmen Sie die Lösung mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. (b) Stellen Sie jeweils ein lineares Gleichungssystem auf, um die Schnittpunkte der Geraden g 1 mit hα und von g 2 mit hα zu bestimmen. Für welche α ∈ R haben die Gleichungssysteme eine eindeutige Lösung? Für welche α sind es unendlich viele Lösungen und für welche existiert gar keine Lösung? Geben Sie ggf. die Lösungen (in Abhängigkeit von α) an. (c) Was bedeuten die Ergebnisse aus (b) anschaulich? Zeichnen Sie die Geraden g 1 und g 2 , sowie für jeden der Fälle (für α) aus (b) die Gerade hα .

2...