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Aufgaben und Lösungen des gesamten WS19/20...

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Aufgaben Übung 1 1.1 In den folgenden Gleichungen ist der Abstand x in Metern, die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde gegeben. Bestimmen Sie jeweils die SI-Einheiten der Konstanten C1 und C2: a) x = C1 + C2 ⋅ t ; b) x = ½ C1 ⋅ t2 ; c) v2 = 2 C1⋅x ; d) x = C1⋅ cos (C2 ⋅t) ; e) v = C1 ⋅e − C2 ⋅ t . 1.2 Eine Skateboardfahrerin, die sich mit der Geschwindigkeit 10 m⋅s -1 fortbewegt, überholt einen Jogger. Fünf Minuten später legt die Skateboardfahrerin eine Verschnaufpause von zwei Minuten ein. Dann fährt sie mit der gleichen Geschwindigkeit wieder zurück und trifft den immer noch in gleicher Richtung laufenden Jogger nach weiteren drei Minuten. Wie schnell läuft der Jogger? 1.3 Eine Prinzessin lässt ihre goldene Kugel in einen Brunnen fallen (vom Rand). Genau 2 Sekunden nachdem sie losgelassen hat, hört sie den Aufprall der Kugel auf der Wasseroberfläche. Wie lange braucht später der Froschkönig von der Wasseroberfläche bis zum Brunnenrand, wenn er mit 0,1 m⋅s -1 nach oben klettert, um Ihr die Kugel zurückzubringen? [Schallwellen bewegen sich mit der Geschwindigkeit vs = 331 m⋅s -1] 1.4 Sie fahren auf einer Autobahn von A nach B die Hälfte der Zeit mit 55 km/h, die andere Hälfte mit 90 km/h. Auf dem Rückweg von B nach A fahren Sie die Hälfte der Strecke mit 55 km/h und die andere Hälfte mit 90 km/h. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit (a) auf der Hinfahrt, (b) auf der Rückfahrt und (c) für die gesamte Fahrt? 1.5 Ein horizontal geworfener Ball stößt gegen eine senkrechte Wand, die sich 5 m vom Ort des Wurfes entfernt befindet. Die Auftreffstelle des Balles auf der Wand liegt 1 m tiefer als die Abwurfstelle. a) Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit wurde der Ball geworfen? b) Unter welchem Winkel  trifft er auf die Wand? c) Zeichnen Sie das Weg-Zeit-Diagramm und das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm für die xRichtung und für die y-Richtung!

Aufgaben Übung 2 2.1 Gegeben sei die in der Abbildung gezeichnete Anordnung dreier Massen mit m1 = m2 = 20 kg, m3 = 25 kg, α = 30° und h = 0,5 m. Berechnen Sie: a) die Beschleunigung des Systems aus den drei Massen, b) die Seilkräfte und c) die Zeit, nach der die Masse m1 den Boden erreicht. d) Wie groß müsste der Winkel α sein, damit die Massen in Ruhe verbleiben? (Massen der Rollen und der Seile seien vernachlässigbar klein) 2.2 Eine Frau (Masse 65 kg) und ein Mann (Masse 70 kg) wollen im Skiurlaub einen 30 m hohen Skihang hinab fahren. Die Frau als bessere Skifahrerin wählt dabei die Piste mit einer Neigung von 25°, während der Mann sich lieber für die Piste mit 10° Neigung entscheidet. In beiden Fällen sei die Steigung unterwegs konstant und beide sollen geradlinig ins Tal fahren. Die beiden wetten darum, wer am Fuße des Berges die höhere Geschwindigkeit haben wird. a) Welche Geschwindigkeiten haben Frau und Mann am Fuß des Berges, wenn man einen reibungsfreien Skilauf annimmt? b) Welche Geschwindigkeiten haben Frau und Mann am Fuß des Berges, wenn man die realistischere Situation eines Reibungskoeffizienten von 0,1 annimmt, der für beide gleich sein soll. (Luftreibung sei vernachlässigt) 2.3 Ein Teilchen bewege sich auf einer horizontalen Kreisbahn mit dem Radius r = 1 m. Zum Zeitpunkt t = 0 startet es aus der Ruhe. Seine Winkelbeschleunigung betrage konstant 0,2 s-2. Wie lange benötigt das Teilchen für (a) die erste halbe Umdrehung und (b) die erste volle Umdrehung? (c) Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit und seine Geschwindigkeit nach der ersten vollen Umdrehung? 2.4 Eine Punktmasse m = 20 g bewegt sich auf einer vertikalen Kreisbahn vom Radius R und wird dabei von einem Faden gehalten. Im höchsten Punkt der Bahn beträgt die Fadenkraft Fo = 0,2 N. Wie groß ist die Fadenkraft Fu am tiefsten Punkt der Bahn? (Faden sei masselos und undehnbar; Luftreibung sei vernachlässigt) 2.5 Eine Punktmasse m wird oben auf eine Kugel (Radius R) gelegt und beginnt reibungsfrei von dieser herunter zu gleiten. Bei welcher Höhe h löst sich die Masse von der Oberfläche der Kugel?

Aufgaben Übung 3 3.1 Zwei Teilchen mit den Massen m1 = m und m2 = 2⋅m bewegen sich mit jeweils gleichem Geschwindigkeitsbetrag v aufeinander zu. Sie stoßen rein elastisch miteinander. Berechnen Sie: a) den Gesamtimpuls des Systems, b) die Geschwindigkeiten v1' und v2' der beiden Teilchen nach dem Stoß und c) den Betrag des Energieübertrags zwischen den Teilchen. 3.2 Ein anfangs ruhender Güterwagen (m1 = 15 t) rollt einen Rangierberg (geneigte Ebene) hinab und trifft an dessen Fuß auf einen stehenden Güterwagen (m2 = 10 t). Beide kuppeln automatisch aneinander und rollen mit der gemeinsamen Geschwindigkeit v´= 3 m⋅s -1 weiter. Wie hoch ist der Rangierberg? (reibungsfrei, Drehbewegung der Räder vernachlässigen) 3.3 Die Geschwindigkeit v0 eines Geschosses der Masse m wird bestimmt, indem man das Geschoss auf ein Pendel (mathematisches Pendel, Masse M, Länge L) aufprallen lässt. Der Auslenkwinkel α des Pendels ist ein Maß für die Geschwindigkeit v0 des Geschosses vor dem Zusammenstoß. Ermitteln Sie v0(α) in drei Fällen: a) Das Geschoss bleibt im Pendelkörper stecken. b) Es wird mit der Geschwindigkeit v' elastisch reflektiert. c) Es fällt nach dem Zusammenstoß senkrecht nach unten. 3.4 Ein Auto (1500 kg) fährt ostwärts auf eine rechtwinklige Kreuzung zu. Es hat eine Geschwindigkeit von 25 m/s. Gleichzeitig nähert sich von Süden kommend ein Kleintransporter (2500 kg) mit 20 m/s der Kreuzung. Beide Fahrzeuge stoßen auf der Kreuzung zusammen und verkeilen sich ineinander. Die Fahrzeuge sind als Punktmassen zu betrachten. (a) Mit welcher Geschwindigkeit und in welche Richtung bewegen sie sich nach dem Zusammenstoß weiter? Als Richtung ist der Winkel gegen die Ostrichtung anzugeben. (b) Welcher Anteil der kinetischen Energie wird in andere Energieformen umgewandelt? 3.5 Eine 4 kg schwere Druckgasflasche gleite reibungsfrei in der horizontalen x-y-Ebene mit einer Geschwindigkeit von 8 m/s in x-Richtung. Sie explodiert in zwei Teile mit 3 kg bzw. 1 kg Masse. Das 1kg-Stück bewegt sich danach mit 5 m/s entlang der horizontalen Fläche genau in yRichtung. a) Bestimmen sie die Geschwindigkeit des 3-kg-Stückes. b) Wie groß sind die Geschwindigkeit und der Impuls des Massenmittelpunktes nach der Explosion? c) Welche Energie wurde bei der Explosion freigesetzt?

Aufgaben Übung 4 4.1 Ein waagerechter Stahlträger der Länge L = 3 m ist in ein senkrecht stehendes Kastenprofil der Kantenlänge b = 0,3 m eingesteckt. Die Masse des Trägers beträgt m = 500 kg. An seinem freien Ende hängt eine Last F = 20 kN. Wie groß sind die Stützkräfte in den Punkten A und B?

4.2 Berechnen Sie die Trägheitsmomente eines homogenen dünnen Stabes für zwei Rotationsachsen, die jeweils senkrecht zur Stabachse verlaufen: (a) durch den Schwerpunkt und (b) durch ein Stabende. 4.3 Ein Schöpfgefäß der Masse m = 5,2 kg hängt an einem Seil, das um eine Welle (Radius r = 11 cm) mit einem daran befindlichen Handrad (Radius R = 35 cm) gewickelt ist. Das gesamte Wellrad (Welle + Handrad) hat das Trägheitsmoment Ja = 0,92 kgm2 .

(a) Welche Kraft muss am Rande des Handrades angreifen, damit sich das Schöpfgefäß nicht bewegt? (b) Welche Geschwindigkeit erreicht das Schöpfgefäß nach Zurücklegen einer Strecke z = 10,5 m, wenn das Rad losgelassen wird? (Reibungseinflüsse und Seilmasse werden vernachlässigt)

4.4 Ein dünnwandiger Hohlzylinder (Masse mH, Radius RH; Trägheitsmoment JH = mH฀(RH) 2 ) rollt mit der Geschwindigkeit v0 auf einer horizontalen Ebene. Anschließend rollt er einen Hang hinauf. Welche maximale Höhe h erreicht er? 4.5 Auf eine Trommel mit der Masse M = 9 kg ist eine Schnur aufgewickelt, an deren Ende eine Last mit der Masse m = 2 kg angebunden ist. Gesucht ist die Beschleunigung der Last nach ihrem Freilassen. Die Trommel ist als homogener Zylinder anzunehmen, die Reibung und die Masse der Schnur sind zu vernachlässigen. Hinweis: JVZ = ½ MR 2

Aufgaben Übung 5 5.1 Welche von zwei Kugeln ist schneller am Ziel: Die erste legt eine Strecke L im freien Fall zurück (Fallzeit tF). Die zweite Kugel hängt an einem nicht dehnbaren Faden der Länge L und wird um einen kleinen Winkel aus der Senkrechten ausgelenkt (so dass ihre nachfolgende Schwingung als harmonisch betrachtet werden kann). Nach dem Loslassen benötigt sie eine Zeit tP bis zum Durchlaufen der Senkrechten (tiefster Punkt der Schwingung). Vergleichen Sie die Zeiten tF und tP.

5.2

Gegeben ist ein Federschwinger mit der Masse m. In einem dämpfenden Medium wird eine Kreisfrequenz R für die freien Schwingungen gemessen. Halbiert man die Masse des Federschwingers, so tritt der aperiodische Grenzfall auf. Bestimmen Sie die Federkonstante k! [Die Reibungskraft sei proportional zur Geschwindigkeit]

5.3. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenzen der drei Systeme in der Abbildung.

5.4 Eine Seilwelle mit der Wellenlänge , der Frequenz f und der Amplitude ym läuft in positive xRichtung. Zur Zeit t1 = T/2 befindet sich bei x1 = ¾  ein Wellental. Stellen Sie die Funktion y(t; x) für diese Welle auf. 5.5 Eine geschlossene Pfeife erzeugt den Grundton c, der eine Frequenz von 130,5 Hz hat. a) Welche Länge hat die Pfeife ? Die Pfeife wird dann geöffnet. b) Einen Grundton welcher Frequenz erzeugt sie jetzt ? [Schallgeschwindigkeit in Luft: c = 340 m/s]

5.6 Drei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen einer Orgelpfeife sind 1310 Hz, 1834 Hz und 2358 Hz. a) Ist die Pfeife an einem Ende geschlossen oder an beiden Seiten offen? b) Wie hoch ist ihre Grundfrequenz? c) Welche effektive Länge hat die Pfeife?

Aufgaben Übung 6 6.1. Aufgabe Ein Hohlzylinder, ein Vollzylinder und eine Kugel rollen mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit eine Ebene entlang. An die Ebene schließt sich ein Hang. Welcher Körper erreicht die höchste Höhe? 6.2. Aufgabe Ein Stern mit Radius r1 = 106 km und einer Rotationsdauer von 1 Monat wandelt sich am Ende seiner Lebenszeit in einen gleichschweren Pulsar mit nur noch r2 = 20 km Radius um. Berechnen Sie dessen Umlaufzeit unter Annahme der Drehimpulserhaltung! 6.3. Aufgabe Eine Eiskunstläuferin beginnt eine Pirouette, in dem sie für eine Umdrehung 0,6 s benötigt. Durch Heranziehen der Arme verringert sich das Trägheitsmoment um 25 %. Welche Drehzahl hat sie nun? 6.4. Aufgabe Das Trägheitsmoment einer massiven Holzwalze von 6 kg Masse, 12 cm Durchmesser und 1m Länge soll durch Einhüllen in einen Bleimantel verdreifacht werden. Wie dick muss dieser sein? (Dichte von Blei: 11,3 g/cm3 ) 6.5. Aufgabe Eine Schwungscheibe (Vollzylinder) mit 100 cm Durchmesser und dem Trägheitsmoment 1200 kgm2 hat eine Drehzahl von 70min-1 . Sie wird 20s lang durch ein konstantes Drehmoment von 2000Nm beschleunigt. Zeichnen Sie das Drehwinkel-Zeit-Diagramm und das Winkelgeschwindigkeit-ZeitDiagramm für die Zeit 5 Sekunden vor Beginn der Beschleunigung bis zum Ende der Beschleunigungsphase. Berechnen Sie die Geschwindigkeit am Rand der Scheibe nach der Beschleunigung. Wie groß ist die Masse der Scheibe?...