Übungen - (WS 2011/12) PDF

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Fachrichtung Mathematik 02.01 Institut ur Analysis Ubung 09. bis 13. Prof. Dr. S. Siegmund Dr. A. Kalauch Analysis I 13. Ubungsblatt: Sei R2 mit der euklidischen Metrik versehen. Entscheiden Sie, ob die Aufgabe 13 (U) folgenden Teilmengen von R2 folgenkompakt sind. 1 1 , , (a) n) : n (b) n n (c) Sei...

Description

Fachrichtung Mathematik

02.01.2011

Institut f¨ ur Analysis ¨ Ubung 09.01. bis 13.01.

Prof. Dr. S. Siegmund Dr. A. Kalauch

Analysis I ¨ bungsblatt: 13. U ¨ Sei R2 mit der euklidischen Metrik versehen. Entscheiden Sie, ob die Aufgabe 13.1 (U) folgenden Teilmengen von R2 folgenkompakt sind.    1 1 , :n∈N , (c) B[0, 1]. (a) {(n, n) : n ∈ N}, (b) n n ¨ Sei α > 0. Berechnen Sie einige der folgenden Grenzwerte, wenn sie Aufgabe 13.2 (U) existieren:   2 1 1 −α , (a) lim x · ln x, − · (d) lim x→1 x→∞ x−1 x + 3 3x + 5 √ 1 − 1 − x2 α , (b) lim x · ln x, (e) lim x→0 x2 x→0+ r 1 exp(x) − 1 , (f) lim x · 1 + 2 . (c) lim x→0 x→0 x x ¨ Seien x, x1 , x2 , a, b > 0, a 6= 1. Zeigen Sie die G¨ultigkeit folgender Aufgabe 13.3 (U) Beziehungen: ln x , ln a (b) loga(x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 ,

(a) loga x =

(c) loga(bx ) = x · loga b, (d) loga b · logb a = 1 (b 6= 1).

Aufgabe 13.4 (V) Prove or disprove: (a) ∀z ∈ C \ {iy : y ∈ R} : (b) ∀z ∈ C \ {0} : (c) ∀z ∈ C \ {0} : (d) ∀z ∈ C :

1 1 Re = , z Rez 1 1 Im = − 2 Imz, z |z |   1 Re z + = 0 ⇐⇒ Re z = 0, z Re(exp(z)) = exp(Re z).

¨ Aufgabe 13.5 (U) (a) Best¨ atigen Sie die Moivre’sche Formel (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ

(n ∈ N0 , ϕ ∈ R).

(b) W¨ ahlen Sie in der Moivre’schen Formel n = 3 und wenden Sie auf die linke Seite den binomischen Satz an. Welche Formeln erh¨alt man durch Vergleich von Realund Imagin¨ arteil?   (c) Sei ϕ ∈ − π2 , π2 und x = tan ϕ. Zeigen Sie:

1 + ix = exp(2iϕ). 1 − ix

¨ Ermitteln Sie s¨ amtliche Zahlen z ∈ C, die den folgenden Gleichungen Aufgabe 13.6 (U) gen¨ugen: (a) z 4 = −16, (b) z 3 + 3iz 2 − 3z − 9i = 0,

Hinweis: Kubische Erg¨anzung.

(c) z 2 − 3z + 3 − i = 0.

Hinweis: Der Ansatz (x + iy)2 = a + ib f¨ uhrt auf die nichtlinearen Gleichungen √ 2 2 2 2 2 2 x + y = a + b und x − y = a zur Bestimmung von x und y.

Aufgabe 13.7 (H) Die Hyperbelfunktionen oder hyperbolischen Funktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus sind definiert durch cosh(x) :=

1 (exp(x) + exp(−x)) 2

1 sinh(x) := (exp(x) − exp(−x)) 2

und

(x ∈ R).

(a) [1] Best¨ atigen Sie die Formel cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1

(x ∈ R).

(b) [4] Zeigen Sie, dass die Funktion sinh : R → R streng monoton wachsend und bijektiv ist, und dass die Umkehrfunktion arsinh : R → R (Areafunktion: Area

Sinus hyperbolicus) stetig ist und gegeben ist durch   √ arsinh(x) = ln x + x2 + 1 . 2

Bemerkung: Die Funktion cosh : [0, ∞) → [1, ∞) ist ebenfalls streng monoton wachsend und bijektiv und besitzt die Umkehrfunktion (Area Cosinus hyperbolicus) arcosh : [1, ∞) → [0, ∞) mit 

arcosh(x) = ln x +

√

x2

 −1 .

Aufgabe 13.8 (H) Sei f : [0, 1] → R monoton wachsend. Beweisen Sie: (a) [2] F¨ ur alle a ∈ [0, 1) existiert der Grenzwert f (a+ ) := limx→a+ f (x), f¨ur alle a ∈ (0, 1] existiert der Grenzwert f (a− ) := limx→a− f (x).

(b) [1] F¨ ur alle a ∈ [0, 1] gilt: f ist genau dann unstetig in a, wenn a Sprungstelle von ur f ist, d.h. wenn f (a− ) 6= f (a+ ) bzw. f (0) 6= f (0+ ) fur ¨ a = 0 bzw. f (1− ) 6= f (1) f¨ a = 1 gilt.

(c) [1] Die Menge der Sprungstellen von f ist abz¨ahlbar.  Hinweis: Betrachten Sie die Menge Mn := x ∈ (0, 1) : f (x+ ) − f (x− ) ≥ n ∈ N.

1 n



ur f¨

(d) [1] Konstruieren Sie eine monoton wachsende Funktion f : [0, 1] → [0, 1], welche unendlich viele Sprungstellen besitzt.

(e) [2 Zusatzpunkte] Geben Sie eine monoton wachsende Funktion f : [0, 1] → [0, 1] an, deren Sprungstellen dicht in [0, 1] liegen.

Aufgabe 13.9 (Z) Es sei B die Menge aller beschr¨ankten Abbildungen von R nach R. Auf B sei die folgende Metrik erkl¨art: d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| . x∈R

Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : B → B, welche gegeben ist durch (ϕ(f )) (x) := max{f (x), f(x + 1)} auf B gleichm¨aßig stetig ist.

3

(f ∈ B, x ∈ R),...