Übungen - (WS 2012/13) PDF

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(WS 2012/13)...

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Vorkurs: Mathematische Methoden der Physik

Oktober 2012 ¨ Ubungsblatt 5

Georg-August-Universit¨ at G¨ ottingen Institut f¨ ur Theoretische Physik PD Dr. Andreas Honecker

Aufgabe 5.1

Komplexe Zahlen I

Es sei i die imagin¨are Einheit und z1 = 1 + i ,

z2 = 1 − i .

Berechnen Sie die komplexen Zahlen z1 + z2 , z1 · z2 , z1 /z2 sowie ihre Betr¨age und stellen Sie sie in der komplexen Zahlenebene C dar.

Aufgabe 5.2

Komplexe Zahlen II

F¨uhren Sie die komplexen Ausdr¨ ucke a)

1 , i

b) (2 + i) · (1 + 2 i), c)

(1+i)2 , (1−i)2

√ d)⋆ (−1 + i 3)4 , auf die Standardform z = u + i v mit u, v ∈ R zur¨uck.

Aufgabe 5.3

Polardarstellung

Geben Sie die Polarschreibweise der komplexen Zahlen z1 = 2 + 2 i ,

z2 = 3 i

an. Berechen Sie z1 · z2 und z1 /z2 jeweils sowohl unter Verwendung der Polardarstellung als auch auf direktem Wege und vergleichen Sie die Ergebnisse.

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Aufgabe 5.4

Dreiecksungleichung

Zeigen Sie, dass f¨ur z1 , z2 ∈ C die Dreiecksungleichung gilt: |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | . Hinweise (¨uberlegen Sie, warum das jeweils richtig ist): 1. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, 2. ℜz = 21 (z + z¯), 3. man kann die Ungleichung quadrieren.

Aufgabe 5.5

Komplexe L¨osungen quadratischer Gleichungen

Es sei z ∈ C eine L¨ osung der quadratischen Gleichung z2 + p z + q = 0 mit p, q ∈ R. Zeigen Sie, dass die zu z komplex konjugierte Zahl z¯ ebenfalls eine L¨osung ist.

Aufgabe 5.6

Polynomiale Gleichungen im Komplexen

Geben Sie alle L¨osungen z ∈ C der folgenden polynomialen Gleichungen an: a) z 2 = 1, b) z 2 + (1 + i) z + i = 0, c)⋆ z 3 = −i, d) z 4 = −4.

Aufgabe 5.7⋆

Denksportaufgabe

1 −1 1 −1 i Man rechnet leicht nach, dass (11 ) = 1(1 ) und (−1−1 ) = −1(−1 ) ist. Wie sieht es mit (ii ) i und i(i ) aus?

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