Übungsaufgaben Teil 1 ohne Lösung WS19 20 PDF

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Physik Übung mit Lösungen...

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Dr.-Ing. Katja Tonisch

Übungsaufgaben Sammlung für die vorlesungsbegleitende Übung Physik 1 für Studierende der Ingenieurswissenschaften Institut für Physik – Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften

2019/20 Für die Bachelor- und Diplomstudiengänge BMT, BTC, EIT, FZT, II, LA, MB, MT, MTR, OST, TKS, WIW-ET, WIW-MB, WSW (Inklusive Studierende der Basic Engineering School)

Technische Universität Ilmenau

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Einteilung der Gebiete und Themen: G

Grundlagen 1. Skalen und Maßeinheiten 2. Fehler und Fehlerfortpflanzung K Kinematik 1. Eindimensionale Bewegungen 2. Mehrdimensionale Bewegungen D Dynamik 1. Ohne Berücksichtigung der Reibung 2. Mit Reibungskräften 3. Arbeit, Energie und Leistung R Rotation 1. Kreisbewegungen 2. Scheinkräfte in rotierenden Bezugssystemen 3. Rotationsdynamik 4. Präzession E Elastizität und Kompression bei Festkörpern F Statik und Dynamik von Fluiden 1. Statik 2. Dynamik idealer Flüssigkeiten 3. Dynamik realer Flüssigkeiten 4. Luftwiderstand _______________________________________________________________________2. Semester T Thermodynamik 1. Eigenschaften und Zustandsänderungen idealer Gase 2. Hauptsätze der Thermodynamik, Technische Kreisprozesse 3. Entropie, Reale Gase S Schwingungen 1. Freie mechanische Schwingungen 2. Gedämpfte mechanische Schwingungen W Wellen 1. Allgemeine Wellenlehre 2. Überlagerung von Wellen 3. Akustik O Optik 1. Strahlenoptik 2. Interferenz und Beugung 3. Quantenoptik Q Quantenphysik

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Aufgabenliste für die Übung Physik 1 In der Aufgabensammlung stehen mehr Aufgaben, als in der Übung gerechnet werden – diese können zur Klausurvorbereitung verwendet werden.

In der Übung sollen folgende Aufgaben gerechnet werden: Nr.

Woche

Inhalt

Aufgaben

1

KW 42

Mathematische Kenntnisse

G1.1 – G1.11

2

KW 43

Fehlerrechnung

G2.1 – G2.4

3

KW 44

1D Kinematik

K1.1, K1.2, K1.4, K1.5

4

KW 45

3D Kinematik

K2.1 – K2.4

5

KW 46

Dynamik (Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung)

D1.1 – D1.3 (ohne Reibung), D2.1 (wie D1.2 mit Reibung)

6

KW 47

Dynamik (Fortsetzung mit Reibung), Beginn Arbeit & Energie

D2.2, D2.4, D2.5, D3.1

7

KW 48

Arbeit, Energie und Leistung, IES

D3.2-D3.4, D4.1 (Rakete)

8

KW 49

IES und EES (Stöße)

D4.2, D4.6, D4.7, D4.11

9

KW 50

Rotation und Scheinkräfte

R1.1, R2.1, R2.2, R2.3

10

KW 51

Rotationsdynamik

R3.1, R3.3, R3.6, R3.7

11

KW 2

Abrollen und Präzession

R3.8, 4.1, 4.2 (je nach verfügbarer Zeit noch R3.14)

12

KW 3

Elastizität und Kompressibilität

E1.1 – E1.4

13

KW 4

Statik von Flüssigkeiten

F1.1 – F1.4, wenn Zeit F1.11

14

KW 5

Dynamik idealer Flüssigkeiten

F2.1 – F2.3, F2.8

15

KW 6

Klausurvorbereitung

Beantwortung von Fragen, nicht geschafftes (z.B. ausgefallene Übung)

Ab der zweiten Übung (Fehlerrechnung) ist das Vorbereiten und Vorrechnen der Übungsaufgaben für die Vergabe von Bonuspunkten möglich.

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G

Grundlagen

G1.X – Mathematik und Einheitensystem G2.X – Fehlerrechnung G1.1:

Stellen Sie folgende Gleichungen nach den geforderten Größen um und prüfen Sie ihr Ergebnis mit einer Dimensionsanalyse:

a)

Lösen Sie nach t auf:

st

b)

Lösen Sie nach x auf:

mB

c)

Lösen Sie nach x auf:

d)

Lösen Sie nach p2, V 1 und ϒ auf:

a t L

m

m

pV

mM L

m

vE

L  x mB    m k v x

x

v

pV

G1.2:

Lösen Sie folgende Gleichung:

G1.3:

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem und bestimmen Sie u 1 und u2 :

G1.4:

u

u

u

u

x

x

Rechnen Sie folgende Ausdrücke in SI-Einheiten (kg, m, s) um und folgern Sie daraus, um welche physikalische Größe es sich jeweils handelt:

kg cm m l s kg km dm

a)

G1.5: a)

x

bar m g m cm

b)

Differenzieren Sie folgende Funktionen:

f x

G1.6:

ex

b)

f z

c)

z

f t

x

t

Lösen Sie folgende Integrale:

a)

∫

x

d)

∫x

x dx

x dx

b) e)

∫e ∫

x

c)

dx

x dx Seite 5

mit

∫ dx R für

und

vE

G1.7:

Lösen Sie folgende Gleichung nach v E auf:

∫

v

G1.8:

T

dv

F

∫  m

F mT

 t  dt 

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: P (-1/3) und Q (2/6)

    r   r   G1.9: Gegeben seien die Vektoren a   und b   . Berechnen Sie:         r r a) a b, r r b) den Betrag von a und b r r c) das Skalarprodukt a b r r d) das Kreuzprodukt a b vektoriell und als Betrag und bestimmen sie die Richtung in Bezug auf r r die Vektoren a und b . G1.10: Trigonometrische Funktionen In der Abbildung sind zwei Funktionsgraphen gezeigt. Um welche der folgenden Funktionen handelt es sich dabei? Es kann auch das Negative von einer der Funktionen sein:

x

x x x

G1.11:

x x

 x     x

x x

 x     x

x  x     x

Welche zwei Zahlen haben folgende Eigenschaften? Vergrößert man jede um 5, so wird die Differenz ihrer Quadrate um 100 größer, während ihr Produkt um 325 zunimmt.

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G2.1: Mittelwert und Standardabweichung Die Erdbeschleunigung g wurde 8-mal gemessen:

m

gi   s 

9,82

9,79

9,79

9,80

9,85

9,81

9,82

9,80

Berechnen Sie a) den Mittelwert sowie b) die Standardabweichung der Einzelmessung und c) des Mittelwertes.

G2.2: Pendel Für die Länge l eines Pendels erhalten Sie bei mehrfacher Messung die Werte 2,135

li m a) b)

2,143

2,152

2,139

2,141

2,148

2,147

2,139

2,151

Bestimmen Sie den Mittelwert und den Fehler des Mittelwertes. Sie haben ferner die Erdbeschleunigung g in der voran gegangenen Aufgabe bestimmt. Bestimmen Sie aus beiden Größen die Schwingungsdauer des Pendels mit T

l und g

geben Sie deren Fehler an.

G2.3: Höhe eines Turms Bestimmen Sie die Höhe eines Turms, in dem sie die Zeit messen, in der ein Stein vom Dach des Turms bis zum Boden fällt. Verwenden Sie den Zusammenhang h

g t mit g

m . Sie s

führen die Messung mehrfach durch und erhalten folgende Messwerte: ti s a) b) c)

2,45

2,39

2,41

2,35

2,36

2,44

Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Zeitmessung. Geben Sie für die Zeitmessung den absoluten und den relativen Messfehler an. Wie hoch ist der Turm und wie groß sind der relative und der absolute Fehler in der Bestimmung der Turmhöhe?

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G2.4: Fehlerfortpflanzung Die Messgleichung zur Bestimmung der Brennweite einer dünnen Linse lautet:

f

 a 

f ae

e a

  

für a

f ,

wobei a der Abstand zwischen Gegenstand und Schirm und e der Abstand zweier Linsenstellungen für scharfe reelle Bilder ist. Die Mittelwerte von a und e sowie die empirische Standardabweichung der Mittelwerte wurde zu a

cm und e

cm sowie s a

cm und s e

cm

aus Messreihen ermittelt. Die Skaleneinteilung für die Längenmessung ist 1 mm. a)

Berechnen Sie den Mittelwert für f !

b)

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen für die oben genannte Messgleichung und geben Sie die Fehlergleichung zur Berechnung des absoluten Fehlers (kombinierte Standardunsicherheit

u c f ) von f unter Berücksichtigung der Fehlerfortpflanzung an! c)

Geben Sie das Messergebnis f

f

uc f an!

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K

Kinematik

K1.X – Bewegung entlang einer Achse (1D) K2.X – Bewegung im Raum (2D oder 3D)

K1.1: Eindimensionale Bewegung Ein Körper beginnt zu einem Zeitpunkt t 0= 0 ausgehend von einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung sich gleichmäßig verzögert zu bewegen. Innerhalb der ersten 8 Sekunden legt er die Strecke von 180 m zurück und hat danach noch eine Geschwindigkeit von 5 m/s. a) Wie groß war die Anfangsgeschwindigkeit? b) Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit nach 3 s! c) Zu welchem Zeitpunkt kommt der Körper zur Ruhe und welche Strecke hat er dann zurückgelegt? d) Skizzieren Sie das a-t-, v-t- und x-t-Diagramm! Tragen Sie die gegebenen und berechneten Werte in die Diagramme ein!

K1.2: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (1D) Aus einem Ballon fällt in der Höhe von 300 m ein Sandsack. Die Fallzeit bis zum Auftreffen auf dem Erdboden wurde mit 8,9 s ermittelt. a) Berechnen Sie die Steiggeschwindigkeit des Ballons! Diese werde als konstant angenommen. Der Luftwiderstand werde vernachlässigt und auch das „Herauswerfen“ des Sandsacks möge keinen Einfluss auf die Steiggeschwindigkeit des Ballons haben. Für die Fallbeschleunigung nehmen Sie den Wert 9,81 m/s² an! Welche Zeit verstreicht bis zum Aufprall eines weiteren Sandsacks aus einer Höhe von 500 m b) für die unter a) berechnete konstante Steiggeschwindigkeit? Es gelten ebenfalls die Annahmen von a).

K1.3: Die springende Kugel Eine Stahlkugel springt auf einer elastischen Platte auf und ab. Die Aufschläge haben den zeitlichen Abstand Δt = 0,4 s. Welche Maximalhöhe erreicht die Kugel?

K1.4: Lineare Beschleunigung (1D) Eine Testfahrzeug wird auf ebener Strecke und geradliniger Bewegung computergesteuert durch eine zeitlich ansteigende Bremskraft mit der Beschleunigung (Verzögerung) gemäß a(t) = -c·t mit c = 3 m/s3 ausgehend von der Geschwindigkeit 108 km/h zum Stillstand gebracht. a) Bestimmen Sie die Zeit bis zum Stillstand des Testfahrzeuges und den Bremsweg! b) Geben Sie qualitativ das a-t-, v-t- und das x-t-Diagramm für den Bremsvorgang an!

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K1.5: Beliebige Beschleunigungen (1) Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs nimmt in den ersten 10 Sekunden mit v t

A

C t zu, anschließend

bleibt sie konstant (siehe nebenstehendes Bild). Die Parameter A und C sind konstant mit:

A a) b) c) d)

e)

m s

C

s

Welchen Maximalwert erreicht die Geschwindigkeit? Berechnen Sie die Beschleunigung in Phase (I)! Wie groß ist der zurückgelegte Weg am Ende der Phase (I)? Welchen Weg hat das Fahrzeug nach 20 s insgesamt zurückgelegt? Berechnen Sie den Weg, der in Bereich (II) zurückgelegt wird, zunächst separat! Geben Sie qualitativ das a-t und das x-t-Diagramm für diesen Bewegungsvorgang an!

K1.6: Beliebige Beschleunigungen (2) Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs nimmt in den ersten vt A t B t 10 Sekunden mit zu, anschließend bleibt sie konstant (siehe nebenstehendes Bild). Die Parameter A und B sind konstant mit:

A a) b) c)

K1.7:

m s

B

m s

Berechnen Sie die Beschleunigung in beiden Phasen! Wie groß ist der zurückgelegte Weg am Ende der Phase (I)? Welchen Weg hat das Fahrzeug nach 20 s insgesamt zurückgelegt?

Beliebige Beschleunigungen (3)

Ein Fahrzeug soll mit einer zeitlichen Abhängigkeit a t c t mit c ms und geradlinigen Fahrbahn beschleunigt werden. a) Wie groß sind die Momentanwerte der Beschleunigung für 5 s und 10 s? Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach 10 s erreicht? b)

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auf einer ebenen

K1.8: Geladenes Teilchen Ein geladenes Teilchen (Ion) bewegt sich im Vakuum kräftefrei mit der Geschwindigkeit v 0 längs der x-Achse. Am Ort x 0 tritt es zur Zeit t 0 = 0 in ein elektrisches Gegenfeld ein und bewegt sich mit der Beschleunigung a t Parameter: a) b) c)

b t weiter.

x

mm

v

km s

b

m s

Leiten Sie die Funktion v(t) und x(t) für t ≥ 0 her! Skizzieren Sie v(t) qualitativ! Wo und wann ändert sich die Bewegungsrichtung des Teilchens? Berechnen Sie die Umkehrzeit tu und den dazugehörigen Umkehrort xu (t u)!

K1.9: Beliebige Beschleunigungen (4) Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand mit a 0 = 3 m/s². Während des Beschleunigungsvorgangs sinkt die Beschleunigung um 0,2 m/s² pro Sekunde. a) Bestimmen Sie die Beschleunigung a(t) und zeichnen Sie das a-t-Diagramm qualitativ! b) Wie groß ist die erreichte Geschwindigkeit nach 10 s? c) Wie groß ist der bis dahin zurück gelegte Weg?

K1.10: Treffpunkt (1D) Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Körper A aus einer Höhe von 800 m fallengelassen. Gleichzeitig wird ein zweiter Körper B vom Boden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 200 m senkrecht nach oben geschossen. Nach welcher Zeit und in welcher Höhe begegnen sich die Körper?

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K2.1:

Bewegung in der Ebene (2D)

r

Der Ortsvektor für die Bewegung eines Massepunktes in der x-y-Ebene lautet r t

a  b

t   t 

mit a = 14 cm, b = 10 cm und ω = 2π s-1 . a) Bestimmen Sie die Bahnkurve y(x) für die Bewegung des Massepunktes in der Ebene! Hinweis: Nutzen Sie die Beziehung b) c) d)

x

x r Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Punktes v t

.

r r& t des Massepunktes auf der Bahn

und geben Sie die Geschwindigkeitsvektoren für die Zeitpunkte t 1 = 0,25 s und t 2 = 0,5 s an! Berechnen Sie die Beträge der Geschwindigkeiten zu den oben genannten Zeitpunkten! Skizzieren Sie die Bahnkurve in der x-y-Ebene und tragen Sie die Lage der Geschwindigkeitsvektoren für die unter b) genannten Zeitpunkte ein!

K2.2: Schräger Wurf (2D) Viele interessante Bewegungen (Kugelstoß, Speerwurf, Kanonenkugel usw.) können nicht mit Hilfe der Gleichungen des horizontalen Wurfes beschrieben werden, da die Abwurfgeschwindigkeit v0 einen Winkel α mit der Horizontalen bildet.

r

a)

Stellen Sie den Geschwindigkeitsvektor v t in Abhängigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit v 0 und dem Winkel α auf!

b)

Ermitteln Sie den dazugehörigen Ortsvektor r t für eine Abwurfhöhe z0 ungleich null durch Integration! Ermitteln Sie die Gleichung der Wurfparabel z(x)!

r

c)

K2.3: Bewegung im Raum (3D) Der Ortsvektor für die Bewegung eines Massepunktes lautet

r r t a) b) c)

t  r   t  mit r  b t   

r

cm

s

und b

m . s

Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor und ermitteln Sie Betrag und Richtung für t = 10 s! Skizzieren Sie die Bahn des Massepunktes im Zeitintervall 0 ≤ t 20 s! Welchen Weg hat der Massepunkt nach t = 20 s auf der Bahnkurve zurückgelegt?

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K2.4: Waagerechter Wurf (2D) a) Berechnen Sie Bahnkurve z = z(x) für den 2-dimensionalen Bewegungsvorgang einer

r Punktmasse mit dem zugehörigen Ortsvektor r t

b) c)

     

   mit v  g t  

v t

m . s

Wie groß ist der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung nach t = 2 s? Wie groß ist die Länge s der Bahnkurve nach dieser Zeit? Es gilt:

∫

x

a dx

x x 

a

a

x

x

a  C 

K2.5: Ball auf Treppe Ein Ball rollt mit einem Geschwindigkeitsbetrag von 1,52 m/s horizontal über den Rand der obersten Stufe einer Treppe. Die Treppenstufen sind 20,3 cm hoch und 20,3 cm tief. Auf welcher Treppenstufe trifft der Ball zuerst auf?

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D

Dynamik

D1.X - Anwendung des 2. Newtonschen Axioms ohne Berücksichtigung von Reibungseffekten D2.X - Anwendung des 2. Newtonschen Axioms mit Berücksichtigung von Reibungseffekten D3.X - Berechnung von Arbeit, Energie und Leistung D4.X - Impuls- und Energieerhaltungssatz

D1.1: Seilzug (1) Zwei Körper der Massen M 1 = 5,2 kg und M 2 = 4,8 kg sind über eine Rolle mit einem Körper der Masse M 3 = 4 kg verbunden (Skizze). Die Rollen- und Fadenmasse werden vernachlässigt. a)

b)

Berechnen Sie die Beschleunigung, mit der sich die drei Massen bewegen, falls keine Reibungskräfte vorhanden sind! Welche Seilkraft wirkt an Körper 3, wenn die Massen M1 und M2 (1) arretiert sind bzw. (2) sich gemäß Aufgabenteil (a) beschleunigt bewegen?

D1.2: Seilzug (2) Bei der Anordnung zweier über Seil und Rolle miteinander verbundener Massen M 1 = 3 kg und M2 = 2 kg wird eine Abwärtsbewegung von M 2 beobachtet. Der Neigungswinkel der schiefen Ebene beträgt α = 30°. a) b) c)

Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die Massen? Wie müssen M2 verkleinert, bzw. der Winkel α vergrößert werden, damit sich das System mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, nachdem es einmal in Bewegung gekommen ist? Die Massen von Rolle und Seil, sowie die Reibung werden vernachlässigt!

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D1.3: Atwoodsche Fallmaschine Zwei identische Massen sind mit einem Seil verbunden und werden in verschiedenen Höhen (siehe Bild) über eine Rolle gehängt. a) Was passiert, wenn man sie los lässt? Begründen sie! 1. Die linke Masse geht nach unten. 2. Die rechte Masse geht nach unten. 3. Die Massen bewegen sich nicht. b) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Beschleunigung der beiden Massen berechnet werden kann, wenn m 1 > m2 gilt! c) Welche Überlegung stellen Sie bezüglich des Fadens und der Umlenkrolle an, damit ihre Gleichung aus (b) gilt? d) Berechnen Sie die Beschleunigung für m1 = 502 g und m 2 = 498 g! Zeichnen Sie die Bewegungsrichtung in die Skizze ein! e) Berechnen Sie die Seilkraft auf den Körper 1!

D1.4: Beschleunigung gegen Schwerkraft Welche Kraft muss auf eine Masse von 2 kg senkrecht nach oben ausgeübt werden, damit diese sich a)

m

mit einer Beschleunigung von (nur) a

nach unten, bzw.

s b)

mit einer Beschleunigung von a

m

nach oben bewegt?

s

Lösung: Einfach die Formel aus D1.3 e) verwenden. a) 13,62 N b) 25,62 N

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D2.1: Paketrutsche a) Um wieviel Grad muss eine Paketrutsche mindestens gegen...