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Analysis 2012 • Ubung 3 1. Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen nach x und y:

a)

2

f (x; y) = 3x + 4y x

@f (x;y ) @x @f (x;y ) @y

= 4y

2

= 8xy

b)

f (x; y) = e @f (x;y ) 3xy 2 = e

@x @f (x;y ) @y

c)

3xy2



(x



2

3

+y )

2 2

5

 

3x y + 2x + 3y 3xy 2 3 3 = 3ye 2x + 2xy + y

pxy  4xy p = 6y xy p = 6x xy

f (x; y) =

@f (x;y ) @x @f (x;y ) @y

d)

7

+3

1 3 f (x; y) = ln(x3 y 4 )

@f (x;y )

1 @x 3x @f (x;y ) 3 = 4y @y

@x @f (x;y ) @y

= x =

 1

y



+ (1

@m



1(

(y  +x y  )  1

 1

2

@k @f (k;m)

 )y 

1



)

4

mit 

2 (0; 1);  > 0

1) 1(

(y  +x y  ) 

f ) f (k; m) = k x + @f (k;m)

3

=

e) f (x; y) = (x @f (x;y )

1 3 3 1 Tipp!!!! ln(x 3 y 4 ) = ln x + ln y

1)

m

mit y > 0

ln y

= 2kx =

1 ln y

2. Berechnen Sie jeweils die Hesse - Matrix

 7,

3 2

a. f (x; y) = 3xy + 4x y



H =

b. f (x; y) = x



y

1 

H =

24xy 24yx

2

2

24yx

+3

2

8x

+3



3

,

x

 2



y

1 

 (

1   (  1)  x  (  1) y +1

 1) 

1   (  1)

x y

c.

2

x y

!

4

f (x; y) = g(x y + 3y ) Hier ist g eine Funktion, die wir so oft ableiten d• urfen, wie wir es ben• otigen.

fx = g

0

1

 2xy

fy

 H

=

00

g

0

 (x2 + 12y 3 )

 2xy  2xy + g  2y  (x2 + 12y 3 )  2xy + g  2x g

g

=

00

0

 (x2 + 12y 3 )  2xy + g 2x 2  (x + 12y 3 )  (x2 + 12y 3 ) + g  36y 2 g

0

g

00

00

0

0

3. Sch• atzen Sie mittels des Dierentials die dritte Wurzel aus 1001; 5: Die Idee: wir wissen nicht, wie wir diese dritte Wurzel berechnen sollen. Aber: wir wissen, was die dritte Wurzel aus 1000 ist. Also berechnen wir die und denken: die dritte Wurzel aus 1001,5 kann ja nicht soviel anders aussehen. Also approximieren wir die dritte Wurzel aus 1001,5, indem wir die dritte Wurzel aus 1000 berechnen und dann gucken, wie sich dieses Ergebnis a •ndert, wenn wir um 1,5 nach rechts gehen. Die dritte Wurzel aus 1000 ist 10. f (1001:5)

 f (1000) + f (1000)(1001:5  1000) = 0

10: 005 f (1001:5)

=

p3

1 1 1000 + 3 p 2 1:5 = 3 ( 1000)

p3

1001:5 = 10:004998

Das liegt ziemlich nah am wahren Wert 10,004998 und: wir haben die Approximation (hoentlich) ohne Taschenrechner durchgef• uhrt. Sie k• onnen aber fest darauf vetrauen, dass der Trick der Linearisierung auch bei komplizierteren Anwendungen sehr viel hilft. Hier ging es darum, Ihnen die prinzipielle Idee zu vermitteln, was durch Linearisieren und Absch• atzen gewonnen bzw. an Schwierigkeiten vermieden werden kann. 4. Bestimmen Sie n• ahreungsweise den Funktionswert von am Punkt

x

= 4:2:

 f (4) + f (4)(4:2  4) = 2 p 2 f (4:2) = 2 4:2  4:2 = 13: 541

f (4:2)

0

p

 42 +

4

5. Zeichnen Sie die zu einer Funktion

f ( x; y )



1 4

p

24

@x

f• ur einige Punkte (x; y )

0

@f (x; y )

und

@y

>

0

<

0

2 D, sowie

@f (x; y ) @x

f• ur einige Punkte (x; y )

>

<

0

@f (x; y )

und

@y

2D

Das einfachste Beispiel ist

f (x; y )

=

2

x

2

+y

0:2 =

=2

p

x

 x2

13: 5

passenden H• ohenlinien, so dass

gilt @f (x; y )



f ( x)

2



@f (x; y ) @x

= 2x

@x

@f (x; y )

und Genau so f• ur

@ f (x; y )

und

@x

<

>

0 wenn

0 wenn

x <

x >

0

0

y.

Die H• ohenlinie z.B. zum Niveau 2 2 x +y = 1

y

c

=1

3

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

x

-1

-2

-3 Zeigen Sie wo die Funktion in

x

und

y

steigt und wo f• allt. 2 2 erf• x + y ullt die vier

Nat• urlich gehen auch andere Funktionen, aber die Bedingungen.

3...