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TRABAJO COLABORATIVO EL CAMBIO CLIMATICO GRUPO

NESTOR JULIAN JARA BENTANCOURTH CODIGO 1911027728 CRISTHIAN JOSSEPHY GARCIA MOLINA CODIGO 1911027410 CARLOS ARTURO VASQUEZ CARRANZA CODIGO 1911028533

ELISABETH ECHAVARRIA

DOCENTE

POLITECNICO GRANCOLOMBIANO INSTITUCION UNIVERSITARIA CALCULO II 2020

OBJETIVO GENERAL

•

Diseñar operaciones matemáticas con el fin de calcular las temperaturas que existen en los meses junio y julio en la ciudad de Bogotá. garantizando resultados óptimos, demostrándolos mediante operaciones graficas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

•

Calcular el área bajo la curva implementado el método del trapecio.

•

Analizar la variación climática que existen entre los dos meses.

•

Demostrar mediante graficas el accenso y descenso climático en cada mes.

El cambio climático

El cambio climático es una realidad admitida y preocupante para la comunidad científica mundial, el calentamiento global se ha acelerado debido a gases de efecto invernadero, la destrucción del ozono y las lluvias acidas; y un ejemplo de esto fue que la Organización Meteorológica Mundial (OMM) afirmó que el año 2019 fue el segundo año más cálido, solo superado por 2016. Teniendo en cuenta que el clima, según OMM, puede definirse como un conjunto de condiciones atmosféricas propias de un lugar en cierto periodo de tiempo y que algunos elementos del clima son: humedad, visibilidad, radiación solar, temperatura, precipitación, viento y otros. En el Politécnico Gran colombiano se desarrolló una Estación de Monitoreo Ambiental (EMA), esta herramienta ha permitido medir la temperatura, la humedad relativa, la radiación solar global, el nivel de lluvia, la presión atmosférica y la dirección y velocidad del viento y recolectar la información de estos datos meteorológicos que se usarán a continuación. http://ema.poligran.edu.co/ Objetivos de aprendizaje: 1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de integral definida. 2. Aplicar el concepto de los métodos numéricos de integración (reglas de Simpson y trapecios) para aproximar el área de una región plana en la solución de situaciones problema. Indicaciones generales: Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: • Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito. • Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal.

• Tenga en cuenta las pautas generales de participación y entrega en el foro. Consulta En esta versión del trabajo colaborativo, se quiere que explore la naturaleza de las herramientas del análisis numérico en el contexto del cálculo integral con problemas aplicados, para los cuales no se conoce una solución analítica fácil de obtener, por esto debe consultar sobre la regla del trapecio y la regla de Simpson; y el significado con sus unidades respectivas de las variables: humedad, temperatura, presión, rapidez del viento y precipitación acumulada, no olvide escribir la fuente de consulta

Regla del trapecio

En análisis numérico la regla del trapecio es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. el Método de los trapecios es un Método basado en la interpolación lineal. La idea esencial, por tanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)), es aproximar f(x) por su polinomio de interpolación lineal en [a, b] (ver figura).

En definitiva, se trata de aproximar el valor de la integral I por el área del trapecio que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos: (a, f(a)) y (b, f(b)).

Cálculo del error: El término de error corresponde a:

Siendo un número perteneciente al inter Stewart 4ta edición – Wikipedia)

.

(fuente: Calculo James

Regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida

representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada u

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde

y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

El error en esta aproximación se corresponde con:

Siendo n el número de subintervalos (fuente: Calculo James Stewart 4ta edición – Wikipedia)

Regla de Simpson 1/3: En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [ a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson

sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado. En síntesis, Este método consiste en la aproximación del cálculo del área plana bajo una curva utilizando trapecios curvilíneos a partir una interpolación con una función cuadrática

Regla de Simpson 3/8 simple Esta forma es muy similar a la regla de Simpson clásica, pero se usa polinomios de Lagrange de tercer orden. Se tiene en consideració hora el paso , ya que l a función se tabula con cuatro puntos de igual distancia h y formando tres subintervalos. Si xn+1= xn+h con x0=a, se define de la siguiente manera:

El error al usar la regla de Simpson de 3/8 se puede obtener usando:

donde

se encuentra dentro del intervalo [a,b].

Regla de Simpson 3/8 compuesta

Es más exacta que la regla de Simpson 3/8 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos. Se expresa de la siguiente forma:

tomando donde n que n sea múltiplo

es el número de subintervalos, con la condición de

de 3 y que en cada sumatorio se tomen los valores de

Para el cálculo del error, se obtiene la cuarta derivada de la función y tomando en cuenta que debe pertenecer al intervalo de integración, se aplica la siguiente fórmula:

RESUMEN VARIABLE

CONCEPTO

UNIDADES FUENTE DE MEDIDA HUMEDAD Es la relación porcentual entre la cantidad de en gramos Wikipedia vapor de agua real que existe en la atmósfera y por la máxima que podría contener a idéntica kilogramo de temperatura aire. TEMPERATURA La temperatura es una magnitud física que Grados Wikipedia expresa el grado o nivel de calor o frío de los Celsius , cuerpos o del ambiente kelvin y Fahrenheit PRESION Se denomina presión a la magnitud que Wikipedia relaciona la fuerza aplicada a una superficie y el área de la misma (solo aplicada a fluidos). VELOCIDAD DEL mide la componente horizontal del metros por Wikipedia VIENTO desplazamiento del aire en un punto y en un segundo instante determinados. (m/s). PRECIPITACION La medición se expresa en milímetros de agua milímetros Wikipedia ACUMULADA y equivale al agua que se acumularía en una de agua, o superficie horizontal e impermeable durante el litros caídos tiempo que dure la precipitación por unidad de superficie (m²) (Fuente: Elaboración propia)

Ejercicio 1 En la estación de monitoreo ambiental (EMA) se cuenta con un piranómetro que permite medir la radiación solar 𝐸e(𝑡) en ( 𝑊⁄𝑚^2 ), es decir la energía emitida por el sol, en este caso, que incidente sobre la superficie del Campus Principal en Bogotá. A continuación, se encuentra el comportamiento de dicha magnitud durante el 19 de febrero de 2020. Muchas veces es necesario calcular la exposición radiante 𝐻e ( en 𝐽⁄𝑚^2) durante un periodo de tiempo, esto es:

Donde 𝑡i es un tiempo inicial y 𝑡f es un tiempo final. El propósito es medir entonces 𝐻e Para el día 19 de febrero de 2020 usando los datos suministrados por EMA y recurriendo al método de trapecios.

(Fuente: Guía trabajo colaborativo)

2. Reconstruir gráficamente la función en el intervalo dado Para hacer el grafico solo usamos dos columnas para los datos, teniendo en cuenta que son 15 minutos en total desde las 14:45:00 hasta las 15:00:00,

t (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ee(t) (W/m^2) 440,72 431,02 400,44 355,01 329,43 316,63 300,17 276,2 251,36 236,21 221,51 211,07 198,87 185,49 167,7 152,56

E VS T 500 450 400 350

E

300 250 200 150 100 50 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

T (MIN)

(Fuente: Elaboración propia)

3. Calcular el área bajo la curva usando el método de trapecios Para realizar el cálculo de la exposición radiante usamos dos columnas para los datos del método del trapecio, teniendo en cuenta que son 15 minutos en total desde las 14:45:00 hasta las 15:00:00

T(minutos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Radiación (E(t)) 440,72 431,02 400,44 355,01 329,43 316,63 300,17 276,2 251,36 236,21 221,51 211,07 198,87 185,49 167,7 152,56

por el teorema del cambio total la exposición radiante es: 15

𝐻𝑒 = ∫ 𝐸𝑒 (𝑡)𝑑𝑡 0

Para estimar el valor del área aplicamos la regla trapezoidal con n= 15 intervalos. La longitud de cada intervalo es ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

=

15−0 15

= 1, de modo que:

Aplicamos la siguiente fórmula:

Donde 15

y n es el número de divisiones, con h=∆𝑥:

𝐻𝑒 = ∫ 𝐸𝑒 (𝑡)𝑑 ≈ 0

≈

1 [𝐸 (0) + 2𝐸𝑒 (1) + 2𝐸𝑒 (2) + 2𝐸𝑒 (3) + 2𝐸𝑒 (4)+. . +2𝐸𝑒 (14) + 𝐸𝑒 (15)] 2 𝑒

1

𝐻𝑒 ≈ [(440,72) + 2(431,02) + 2(400,44) + 2(355,01) + 2 (329,43) + 2 2(316,63) + 2(300,17) + 2 (276,2) + 2(251,36) + 2 (236,21) + 2(221,51) + 2(211,07) + 2(198,87) + 2 (185,49) + 2(167,7) + (152,56)] 𝐻𝑒 =

1 (8355,5) = 𝟒𝟏𝟕𝟕, 𝟖 𝑱/𝒎𝟐 2

Ejercicio 2 El sistema meteorológico de Colombia, registro diariamente para la ciudad de Bogotá las temperaturas promedio (en °𝐶) durante los meses de junio y julio. Esto con el fin de determinar la influencia que tiene el fenómeno del niño en estos meses. El sistema meteorológico ha monitoreado esta información y ha generado reportes gráficos

(Fuente: Guía trabajo colaborativo)

Estime: a. La temperatura promedio durante el mes de junio Aproximamos las temperaturas diarias y promediamos: t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7

JUNIO Temp. (°C) 11 11 11 11 11,5 12 12 13

t (días) 16 17 18 19 20 21 22 23

Temp. (°C) 12 11 11 11 10 10 11 11

8 9 10 11 12 13 14 15

14 14 15 15 15 14 14,5 12,5

13 14 14,5 14 15 15 15

24 25 26 27 28 29 30

Sumamos las temperaturas y las dividimos entre 31 días: 𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑠

1 1 (11 + 11,3 + ⋯ + 15 + 15) → 𝑝𝑟𝑜𝑚. 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑚𝑝. 𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑛𝑖𝑜 = ∑ 𝑇𝑖 = 31 31 𝑖=1

𝒙 𝒋𝒖𝒏𝒊𝒐 =

𝟑𝟗𝟑, 𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟗°𝑪 𝟑𝟏

b. La temperatura promedio durante el mes de julio Aproximamos las temperaturas diarias y promediamos:

t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

JULIO Temp. (°C) 10 10 11 11,5 12 13 13 14,5 15 14 15 15

t (días) 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Temp.(°C) 15,5 16 17 18 19 19 18,5 18,5 18,3 18 18 19

15 12 15 13 15 14 15 15 (Fuente: Elaboración propia)

28 29 30

19 19 20

Sumamos las temperaturas y las dividimos entre 31 días: 𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑠

1 1 ∑ 𝑇𝑖 = (10 + 10 + ⋯ + 19 + 20) → 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑇𝑒𝑚𝑝. 𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜 = 31 31 𝑖=1

𝒋𝒖𝒍𝒊𝒐 = 𝒙

𝟒𝟖𝟕, 𝟖 = 𝟏𝟓, 𝟕°𝑪 𝟑𝟏

c. Si hubo aumento de la temperatura promedio entre un mes y otro a raíz del inicio del fenómeno del niño? R/Si hubo un delta de temperaturas relativas en este bimestre; es claro que los gráficos muestran como la diferencia de temperaturas es apreciable en los dos meses, claramente el mes de Julio presenta mayores temperaturas y su grafica es creciente casi en todo su recorrido, la evidencia se muestra en los cálculos: 𝑥𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜 > 𝑥𝑗𝑢𝑛𝑖𝑜 ↔ 15,70°𝐶 >12,69°𝐶

CONCLUSIONES

•

Logramos identificar las temperaturas promedio de los meses junio y julio de la ciudad de Bogotá.

•

Identificamos que existió un aumento en temperatura promedio entre un mes y otro debido al fenómeno del niño, identificando que en el mes de julio presento mayores temperaturas y su grafica es creciente en la mayoría de su recorrido.

WEBGRAFIA

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https://es.symbolab.com/solver https://www.mathway.com/es/Precalculus https://www.wikipedia.com https://www.youtube.com/watch?v=e7cXGmqjtiA https://web2.0calc.es/...